2021年中考数学复习：圆中常见辅助线的作法专题练习

1、圆中常见辅助线的作法1.如图，。0为4ABC的外接圆，/ A= 72°，那么/ BCC的度数为A.15B.182.如下图，AB是。O的弦，OH 1,那么/ APB的度数是A.60 °B.50°C.4OHLAB于点H,点P是优弧上一点，假设 AB= 2 '3,0°D.30°3. 如图，AB是O O的直径，弦 CDLAB,垂足为P,假设CD= 8, OP= 3,那么O O的 半径为A.10B.8C.5D.34. 如下图，O O的半径是3,点P是弦AB延长线上的一点，连接0P假设0P=4, Z APO= 30°，那么弦AB的长是A.

2、2 5 B. 5C.213 D. 135. 如图，AB是O O的直径，弦 CDLAB,垂足为P,假设CD= 8, OP= 3,那么O O的 半径为A. 10 B . 8 C . 5 D . 36. 如下图，：AB是。0的直径，点 C D在。O上，/ ABC= 50°，那么/ D 为A.50 °B.45C.40 °D.307. 如图，半圆O的直径AB= 10,弦AC= 6, AD平分/ BAC那么AD的长为A. 8 B . 5 '5 C . 5 D . 4 ' 58. 如下图，在半径为5的。O中，AB,CD是互相垂直的两条弦，垂足为 P,且AB=CD

3、=8贝卩OP的长为A. 3 B . 4 C . 3 2 D . 4、： 29. 如图，AB是O O的弦，AB= 6,点C是O O上的一个动点，且/ ACB= 45° .假设 点M N分别是AB BC的中点，贝S MN长的最大值是.10. 如图，AB是O O的直径，且经过弦CD的中点H,过CD延长线上一点E作O O的切线，切点为F.假设/ ACF= 65°，那么/ E=.11. ：AB是O O的直径，点C, D在O O上，/ ABC= 50°,那么/D-.12. 如图，直线AB与OO相切于点A, AC CD是O O的两条弦，且CD/ AB假设5OO的半径为2，CD=

4、 4,那么弦AC的长为 13. 如图，在O O中，CD是直径，弦 AB1 CD,垂足是E,连接BC,假设AB=c2.'2cm,/ BCD=22 30' 那么O O的半径为.14. 如下图，点 A，B, C, D分别是O O上四点，/ ABD= 20° BD是直径,那么/ ACB=.15. 如图，两圆圆心相同，大圆的弦 AB与小圆相切，AB= 8,那么图中阴影局部的面积是.结果保存n 16. 如图，是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点A、 B,并使AB与车轮内圆相切于点 D,作CDLAB交外圆于点C,测得C> 10cmAB= 60cm那么这个

5、外圆半径为17.如下图，在 ABC中,BC= 3,以BC为直径的。O交AC于点D,假设D是AC的中点，/ ABC 120° .(1) 求/ ACB的大小；求点A到直线BC的距离.18.如图，AB是半圆O的直径,CDL AB于点C,交半圆于点E, DF切半圆于点F./ AEF= 135°(1) 求证：DF/ AB 假设OC= CE BF= 22,求DE的长.19. ：如图，O O为厶ABC勺外接圆，BC为直径，点E在AB上，过点E作 EF丄BC点G在FE的延长线上，且 GA= GE.(1)求证：AG与O O相切；假设AC= 6, AB= 8, BE= 3,求线段0E的长.20

6、. 如图，以 ABC的一边AB为直径作O 0,0O与BC边的交点恰好为BC边的中点D,过点D作O 0的切线交AC于点E.(1)求证：DEL AC假设AB= 3DE求tan / ACB的值.21. 如下图，MN是。O的直径，直线PQ与O O相切于P点，NP平分/ MNQ.(1) 求证：NQL PQ(2) 假设OO的半径R=3 NP=3 3，求NQ的长.22. 如下图，在 Rt ABC与 Rt OC中, Z ACB=Z DC890° O为 AB的中点八、(1)求证：Z B=Z ACD 点E在AB上，且BC= AB- BE3 假设 tan Z ACD= 4, BC= 10,求 CE的长；

7、试判定CD与以A为圆心、AE为半径的O A的位置关系，并请说明理由23. 如下图，在 ABC中，AB= BC= 2,以AB为直径的O O分别交BG AC于 点D E,且点D为BC的中点.(1)求证： ABC为等边三角形；求DE的长；(3) 在线段AB的延长线上是否存在一点 卩，使厶PBDA AED假设存在，请求出 PB的长；假设不存在，请说明理由.24. 如图，AB为。O的直径，EF切。O于点D,过点B作BHL EF于点H,交。O 于点C,连接BD.(1)求证：BD平分/ ABH如果AB= 12, BC= 8,求圆心0到BC的距离.25. 如图， ABC是O 0的内接三角形，AB为直径，过点B

8、的切线与AC的延长 线交于点D, E是BD中点，连接CE.(1) 求证：CE是O 0的切线；(2) 假设 AC= 4，BC= 2, 求 BD和 CE的长.参考答案:1-8 BACAC CDC9. 3-210. 50 °11. 40 °12. 4513. 214. 7015. 16 n16. 5017.解:(1)连接BD ,：以BC为直径的O O交AC于点D, /-Z BDC=90° .TD是AC的中点，/ BD是AC的垂直平分线./ AB =BC ,/Z A = Z C. vZ ABC = 120° , /Z A = ZC = 30° ,即 Z

9、 ACB =30°.过点A作AE丄BC交CB的延长线于点 E , / BC = 3, Z3ACB =30° , Z BDC = 90° , /BD = ?.在 Rt BCD 中，由勾股定理可得 CD = ；BC2 - BD2 =竽.：AD = CD , / AC = 3 ,3.v 在 Rt AEC 中，ZACE = 30 ° , / AE = 2aC = fx 3 3=竽，即点 A 到直线BC的距离为32317. 解：(1)如图，连接OF v DF切半圆O于点F,/DF丄OF.vZ AEF= 135°,四边形 ABFE为圆内接四边形，/Z B=

10、 45° . /Z FOA= 90°,/ AB!OF/ DF/ AB 如图，连接 OE v BF= 2;'2,Z FO= 90° .在Rt BOF中，由勾股定理，得 OB+ OF= bF2OB= (2 2,解得 OB= 2. /OB= OF= OE= 2. v O(= CE CEL AB 在 Rt OCE中，由勾股定理，得 CE+ OC= OE2CE= 22 , / CE= 2 v DC/ OF, DF/ AB / DC= OF= 2. /DE= DC-CE= 2 2.18. (1) 证明：如图，连接 OA.vOA= OB /Z B=Z BAO又v EF!

11、BC /Z BFE =90°, /Z B+Z BEF= 90° . v GA= GE, /Z GA=Z GEA.vZ GE=Z BEF /Z GA=Z BEF /Z BAObZ GA=Z B+Z BEF= 90° , / GAL AO.又v OA 为OO 的半径，/ AG与OO相切；(2)解：如图，过点O作OHLAB垂足为H.由垂径定理，1 1得 BHh AHh 2AB= 2x 8=4. v BC 是OO 的直径，/Z BAC= 90° .又v AB= 8 , AC= 6, / BC=82+ 62= 10 , / OB= 5 , OHh 3.又 v BH

12、h 4 , BE= 3, / EHh 1,/OE= i 32 + 12= , 10.20.解(1)：如图，连接OD , TDE为过点D的0O的切线，.：0D丄DE于点D, Z ODE = 90° .又TO为AB中点，D为BC中点，二DO 1为厶 ABC 中位线且 OD 綊2AC. /.Z DEA + Z ODE = 180 ° ， /-Z DEA = 90° ，/.DE 丄AC. (2)连接 AD，那么Z ADB = 90°= Z ADC. 又t BD = CD，AD = AD，/ ADB ADC，/ AB = AC.在 Rt ADC 中，Z ADE +

13、 Z EDC = 90°，在 Rt DEC 中，Z EDC + Z C =90° ，/.Z C = Z EDA，又 Z AED = Z DEC = 90° ，/ ADE琴EC，DCE. / DE = DE， / ED2 = AE- EC = EC- (AC EC) = EC- (AB EC).又 AB = 3DE，/ DE2 3DE- EC + EC2= 0，解得 DE/tan ZACB = D|-=与521.解：证明：连接OP.t直线PQ与O O相切于P点，MN是O O的直径，/ OP 丄 PQ.又/ NP 平分 Z MNQ， ./Z MNP = Z QNP.又

14、Z OPN = Z MNP = Z QNP，./ OP II NQ，/ NQ 丄 PQ. (2)连接 MP，在 Rt MNP 中，/ MN = 2R = 6，NP = 3 3，/ MP = MN 2 PN2=3，那么 Z MNP = 30° ，./Z QNP = 30 °/ PQ =故 NQ =22. 解:(1) tZ ACB=Z DC(= 90°，/Z ACB-Z ACO=Z DCO-Z ACO 即 Z ACD=Z OCB 又T点 O是 AB的中点，/ OC= OB /Z OC=Z B,./Z AC=Z B;(2)t BC=AB- BEBC=BEAB= BCtZ

15、 B=Z B,. AB3A CBE3/Z ACB=Z CEB= 90°，vZ AC=Z B,./ tan Z AC= tan Z B= 4,设 BE= 4x， CE= 3x，由勾股定理可知：Bl+ CE= BC，./(4x) 2 + (3x) 2 = 100, /解得 x = 2 5, / CE=6 5;过点 A 作 AF 丄 CD于点 F, tZ CEB= 90°, /Z B+Z ECB= 90°, TZ AC+Z ECB= 90°,/Z B=Z ACE tZ ACDZ B,./Z AC=Z ACE/ CA平分Z DCE t AF丄 CD AEL CE

16、 / AF= AE /直线 CD与0 A 相切.23. 解：(1)证明：连接 AD t AD是00 的直径，/Z ADB= 90°.T点D是BC的中点，二AD是线段BC的垂直平分线，二AB= AC.vAB= BC, AB= BC= AC.a ABC为等边三角形; 连接BE.vAB是直径，/ AEB= 90°,二BE!AC.vABC是等边三角形， AE= EC,即E为AC的中点.TD是BC的中点，故ABC的中位线，1 1 DE= ：AB=二 X 2= 1;2 2 '(3) 存在点 P> PBD2A AED.由(1)(2)知，BD= ED v/ BAC= 60&#

17、176; DE/ AB / AED= 120° .v/ ABC= 60° ,PBD= 120° ,PBD= / AED.要使 PBDA AED 只需 PB= AE= 1.24. 解：(1)证明：连接 OD.v EF 是OO 的切线， ODLEF.又 v BH!EF, OD/ BH.aZ OD=/ DBH而 OD= OB / OD=/ OBD/. / OB=/ DBH BD平分/ ABH 过点 O作 OGL BC于点 G,贝S BG= CG= 4.在 Rt OB(中 ,OG= B BG= ;62-42 = 2 ；5.所以圆心O到BC的距离为2 '' 5.25. 解：(1)连接OC如下图：v BD是OO的切线，/ CBE=Z