(完整word)2015年高考理科数学试卷全国卷1含答案),推荐文档

1、试卷第1页，总15页 2015 年高考理科数学试卷全国卷 1 1设复数 1 z 满足 z =i , 则 |z|=( ) 1 z (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 2 2. sin20o cos10o cos160osi n10o =( ) (A)仝 (B) (C) 1 1 (D - 2 2 2 2 3 .设命题 p : n N,n2 2n，则 p为（ ) (A) n N, n2 2n (B) n 2 n N, n 2 (C) n N, n2 2n (D) n 2 n N ,n =2 4 .投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中 的概率为0.6

2、，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ） （A） 0.648 （ B）0.432 （ C） 0.36 （ D 0.312 2 5.已知M（ X0,y。）是双曲线C： y2 1上的一点, 2 uuur uuuir MF1?MF2 6 .九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题 ：“今有委米依 垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米 （如 图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部 的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少 ？”已 知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺

3、，圆周率约为 3,估算出堆放斛的米约有（）(C)( 2.2 2.2、 3 3 (D)( F1, F2是 C 上的两个焦点，若 (A) 14斛 (B) 22 斛 UUU (C) 36 斛 UUU (D) 66 斛 7 .设 D为 ABC所在平面内一点 BC 3CD，则（ ) UUL 1 ULUU 4 UULT UULT 1 UULT 4 UULT (A) AD AB AC (B) AD -AB 4 AC uuuuur UULT 4 UUU 1 (C) AD AB -AC 3 3 uuuuuuur UULT 4 UUU 1 (D) AD -AB -AC 3 3 8 .函数 f (x) =cos(

4、X ）的部分图像如图所示，则 f（x）的单调递减区间为0，则y。的取值范围是（ ) 3 3 3 3 试卷第2页，总15页 1 3 1 3 (A) (k -,k ), k Z (B) (2k ,2k ), k 4 4 4 4 1 3 1 3 (C) (k -,k -), k Z (D) (2k -,2k -), k Z 9 .执行右面的程序框图，如果输入的 t=0.01 ,则输出的 n=( 12.设函数f(x)=ex(2x 1) ax a,其中 aS，若存在唯一的整数x。，使得f(X0)C 0，则a的取值范围是() /、 3 、 . 3 3、 /、 3 3、 /、 3 、(A) - , 1) (

5、B)- ) (C) , (D) , 2e 2e 4 2e 4 2e 13.若函数 f (x) = xln(x . a 2 x )为偶函数, 则 a= 准方程为 x 1 0 15 .若x,y满足约束条件 x y 0 ，则的取大值为 x x y 4 0 16 .在平面四边形 ABCC 中，/ A=Z B=Z C=75 , BC=2 则 AB 的取值范围是 .面哥/输入t厶 s= 1 :n=O:m= 1 押“-用” (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 10. (x2 y)5的展开式x5y2的系数为( (A) 10 11 .圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 图中的正视图和俯视图如图

6、所示 (B) 20 (D) 60 r )组成一个几何体，该几(C) 30 (D) 8 2 2 14 一个圆经过椭圆二 16 4 1的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则该圆的标 ) 输出n结東| 是 试卷第3页，总15页 17 （本小题满分 12 分）Sn为数列 an的前n项和已知an 0, a： an=4Sn 3. （I）求 an的通项公式; 18 .如图，四边形 ABCD 为菱形，/ ABC=120 , E, F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE1 19 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费， 需了解年宣传费 对年销售量 y （单位： t ） 和年利润 z （单位：千元）的影响

7、，对近 8 年的年宣传费xi和 年销售量 y （ i=1,2 , 8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计 40 2 44 4右腦 50 S4 M 刁逍辑如T环 r x I y I w 8 (Xi X)2 i 1 8 (Wi w)2 i 1 8 (Xi x)(yi y) i 1 8 (Wi w)( y y) i 1 46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 (n)设 bn 1 anan 1 求数列 bn的前n项和. x （单平面 ABCD DF 丄平面 ABCD BE=2DF AE EC. 试卷第4页，总15页 ir 1 8 表中 wi Xj , w = w

8、i 8 i 1 y=a+bx 与 y=c+d x哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费（I）根据散点图判断, 试卷第5页，总15页 x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由) (H)根据(I)的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程； (川)已知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x.根据(n)的结果回答下 列问题： (i) 年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ (ii) 年宣传费 x为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数据(Ui, Vi) ,(U2,V2), , (Un,Vn),其回归线V U的斜率和截 距的最小二乘估计

9、分别为： 另(的一哑月-y) 徒 m - Lx - r . . . . . x2 , 20.(本小题满分 12 分)在直角坐标系xoy中，曲线 C： y= 与直线y kx a ( a 4 0)交与 M,N 两点， (I)当 k=0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程； (n) y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动时，总有/ OPMN OPN 说明理由. (I)当 a 为何值时，x 轴为曲线y f(x)的切线; 讨论 h (x)零点的个数 22.(本题满分 10 分)选修 4-1 :几何证明选讲 如图，AB 是0 的直径，AC 是0 的切线，BC 交0 于 E. (I)若 D 为

10、 AC 的中点，证明:DE 是|：斗|的切线; (n)若 OA 、3CE，求/ ACB 的大小. 21 .(本小题满分 12 分)已知函数 (x) =x3 ax 1 4，g(x) ln x. (n)用 min m, n 表示 m,n中的最小值，设函数h(x) min f(x),g(x) (x 0), 试卷第6页，总15页 23 .(本小题满分 10 分)选修 4-4 :坐标系与参数方程 一 2 2 在直角坐标系xOy中，直线C1: x = 2，圆C2: x 1 y 2 1 ,以坐标原点试卷第7页，总15页 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 (I)求Ci , C2的极坐标方程； C2MN的

11、面积. 已知函数 f:工)=|x+1|-2|x-a| , a0. (I)当 a=1 时，求不等式 f (x) 1 的解集； (n)若 f (x )的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 【答案解析】 1. 【答案】A 【解【解析】由1一z i得，z =丄i)(1 - =i，故|z|=1 ,故选 A. 1 z 1 i (1 i)(1 i) 考点：本题主要考查复数的运算和复数的模等 2. 【答案】D 1 【解析】原式=sin20cos10 cos20o sin10o = sin30 =，故选 D. 2 考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式 3. 【答案】C 【解析】 p： n N, n

12、2 2n，故选 C. 考点：本题主要考查特称命题的否定 4. 【答案】A 【解析】根据独立重复试验公式得， 该同学通过测试的概率为 Cs 0.62 0.4 0.63 =0.648 , 故选A. 考点：本题主要考查独立重复试验的概率公式与互斥事件和概率公式 5. 【答案】A 故选 A. 考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法 6. 【答案】B 1 16 【解析】设圆锥底面半径为 r ,则丄2 3T 8 = r 16 ,所以米堆的体积为 4 3 1 1 3 (眇)2 5=型，故堆放的米约为320十 1.62沁22,故选 B. 4 3 3 9 9(n)若直线 C3的极坐标方程

13、为 - R，设C2与C3的交点为M , N ,求 4 24.(本10 分)选修 4 5 :不等式选讲 6,求 a 的取值范围 【解【解析】由题知FJ . 3,0), F2(3,0), 2 Xg 2 2 uuuu LUULT y2 1，所以 MF/MF2 = (5 x0, y。)？(廳 x0, y) = x： 2 2 y。 3 3y。 1 0,解得 y0 试卷第8页，总15页 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式 7. 【答案】A 1 uuu 4 uuur AB AC，故选 A. 3 3 考点：平面向量的线性运算 8. 【答案】D m m =0.00390625 ,n=7,S=0.0078125 t

14、=0.01,否, 2 输出 n=7,故选 C. 考点：本题注意考查程序框图 10. 【答案】 5 2 x y）的 5 个因式中，2 个取因式中X剩余的 3 个因式中 1 个取X , 其余因式取 y,故x5y2的系数为C；C3C；=30,故选 C. 考点：本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数 【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档 题，求【解【解析】 由题知 uuur uuur umr AC CD uur AC 1 1 uuur uur 1 uuur uuu 【解【解析】 由五点作图知, 1 4 5 4 解得 =7 所以 f(x) cos

15、( x -)， 令2k x 2k 4 1 3 间为（2k - , 2k - 4 4 考点：三角函数图像与性质 9.【答案】C Z，解得 2k x v 2k ，k Z，故单调减区 4 ), Z ,故选 D. 1 【解【解析】 执行第 1 次，t=0.01,S=1,n=0,m= =0.5,S=S-m=0.5, 2 m m =0.25, 执行第 2 次, S=S-m=O.25, m 执行第 3 次, S=S-m=0.125, m m =0.125,n=2,S=0.25 t=0.01,是，循环， 2 m =0.0625,n=3,S=0.125 t=0.01,是，循环, 2 执行第 4 次, S=S-m

16、=0.0625, m 执行第 5 次, S=S-m=0.03125, m 执行第 6 次，S=S-m=0.015625, =0.03125,n=4,S=0.0625 t=0.01,是，循环， 2 m =0.015625,n=5,S=0.03125 t=0.01,是，循环， 2 m =0.0078125,n=6,S=0.015625 t=0.01,是，循环, 2 执行第 7 次，S=S-m=0.0078125, 【解【解析】 在 (x2 试卷第9页，总15页 多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如 何得到该项，再利用排列组知识求解 . 11. 【答案】B 【解析】

17、由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球试卷第10页，总15页 的半径都为 r，圆柱的高为 2r，其表面积为 1 4 r2 r 2r 2 2 - 2 5 r 4r =16 + 20 ，解得 r=2，故选 B. 考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式 12. 【答案】D 考点：本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题 13. 【答案】1 【解析】由题知y In(x a 函数，所以 ln(x va) ln( x va茫) 2 2 =ln(a x x ) ln a 0，解得 a =1. 考点：函数的奇偶性 3 2 2 25 14. 【

18、答案】(x )2 y2 2 4 【解析】设圆心为(a , 0),则半径为4 a，则(4 a)2 a2 22，解得a -，故 2 圆的方程为(x 3)2 y2 25. 2 4 考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程 r2 2r 2r = 【解【解析】设g(x)=ex(2x 1), y ax a，由题知存在唯一的整数 Xo， 使得g(xo)在 直线 ax a的下方 因为 (x) eX(2x 1)，所以当 x 1 时，g (x) v 0，当 x 1时, 2 g (x) o,所 以当 1 时，g(X)max=-2e 2 , 当x 0时, g(0) =-1，g(i) 3e 直线y ax a恒过(1,0 )

19、斜率且a，故 av1,故选 D. 试卷第11页，总15页 15. 【答案】3 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知， 1是可行域内一点与原 x试卷第12页，总15页 A (1,3 )与原点连线的斜率最大，故 y的最大值为 3. x 16. 【答案】(.6 2，6+、2) 范围为(-.6 ,2，-、6+ 2 ) 考点：正余弦定理；数形结合思想 1 1 17. 【答案】(I) 2n 1 (n)- 6 4n 6 【解析】 试题分析： (I)先用数列第n项与前n项和的关系求出数列 an的递推公式，可以判 断数列 an是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列 an的通项公式；(n)

20、 根据(I)数列 bn的通项公式，再用拆项消去法求其前 n项和 试题解析：(I)当 n 1 时，a； 2a1 4S, 3 4a1+3，因为 an 0,所以 a1=3, 2 2 点连线的斜率，由图可知，点 【解【解析】如图所示，延长 BA, CD 交于 E,平移 AD,当 A 与 D 重合与 E 点时，AB 最长, 在厶 BCE 中，/ B=Z C=75，/ E=30 , BC=2 由正弦定理可得 BC sin E BE sin C ，即 2 o sin 30 - o，解得 BE = 、. 6+ 2 , sin75 与 AB 交于 F，在 BCF 中，/ B= / 平移 AD，当 D 与 C 重

21、合时，AB 最短，此时 BFC=75 , / FCB=30 ,由正弦定理知， BF sin FCB BC ，即 sin BFC sin 30 时，解得BF=、2，所以AB的取值 考点：线性规划解法 试卷第13页，总15页 当 n 2 时，an an an 1 an 1 = 4Sn 3 4Sn 1 3 = 4an ,即 (an an 1)(an an 1) 2(an an 1)，因为 an 0 ,所以 an an 1=2,试卷第14页，总15页 所以数列 an是首项为 3,公差为 2 的等差数列, 所以 an = 2n 1 ； （n）由（I）知， bn = (2n 1 1)(2 n 3) 1 -

22、I 2 r 1 1 、 2n 1 2n 3 所 以 数 列 bn 刖 n 项 和 为 th b2 L b 111 11 1 1 1 1 -( )( ) L ( -) 3 5 5 2n i 1 2n 3 6 4n 6 考点：数列前 n项和与第 n项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法 18. 【答案】（I）见解析（n） 【解析】 试题分析：（I）连接 BD 设 BDA AC=G 连接 EG FG EF,在菱形 ABCD 中,不妨设 GB=1 易证 EGL AC,通过计算可证 EGL FG 根据线面垂直判定定理可知 EG 丄平面 AFC 由面 面垂直判疋疋理知平面 uuu UULT AFCL

23、平面 AEC （n）以 G 为坐标原点，分别以 GB,GC的方向 uuu 为X轴，y 轴正方向，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系 G-xyz ,利用向量法可求 出异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值. 试题解析：（I）连接BD,设BDA AC=G连接EG FG EF,在菱形ABCD中 ,不妨设GB=1 由/ ABC=120 ,可得 AG=GC= 3 . 由 BE 丄平面 ABCD AB=BC 可知 , AE=EC 又 AEL EC, EG=. 3 , EGLAC, 在 Rt EBG 中 ,可得 BE= , 2 ,故 DF=2 . 2 在 Rt FDG 中 ,可得 FG= . 2 在直

24、角梯形 BDFE 中, 由 BD=2 BE= 2, DF= 可得 EF=3 , 2 2 2 2 2 EG FG EF , EGL FG / AS FG=G EGL 平面 AFC / EG 面 AEC 平面 AFCL平面 AEC.试卷第15页，总15页 所以直线 AE 与 CF 所成的角的余弦值为 一 3. 3 考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力 19. 【答案】(I) y c dX适合作为年销售 y关于年宣传费用 x的回归方程类型； (n) $ 100.6 68 x (川)46.24 【解析】 试题分析：(I)由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的

25、函数； (n)令 w -、x，先求出建立y关于w的线性回归方程，即可y关于x的回归方程；(川)(i) 利用y关于x的回归方程先求出年销售量 y的预报值，再根据年利率 z 与 x、y 的关系 为 z=0.2y-x 即可年利润 z 的预报值；(ii)根据(n)的结果知，年利润 z 的预报值， 列出关于x的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费 用. 试题解析： (I)由散点图可以判断，y c d x适合作为年销售 y关于年宣传费用x的回归方 程类型. 8 _ _ (Wi w)( yi y) (n)令 w x,先建立y关于w的线性回归方程，由于 $ 丄厂 (wi w)2 i

26、 1uuu uuur (n)如图，以 G 为坐标原点，分别以 GB,GC的方向为x轴，y 轴正方向, uuu |GB|为单 位长度，建立空间直角坐标系 G-xyz ,由(I)可得A( 0, J3 , 0), E( 1,0, J2 ), F(-1,0,互), 2 L uuu L L uuu L J2 C( 0, ,0), AE = (1, V3 , V2), CF = (-1 , - V3 ,)10 2 分 uu uuu 故 uu uu |AE|CF| 3 试卷第16页，总15页 y关于w的线性回归方程为 $ 100.6 68w , - y关于x的回归方程为$ 100.6 6&X. （川

27、）（i）由（H）知，当 x=49 时，年销售量y的预报值 $ 100.6 68、49=576.6， $ 576.6 0.2 49 66.32 . (ii)根据(n)的结果知，年利润 z 的预报值 $ 0.2(100.6 68 x) x x 136, X 20.12, .当jx = H=6 8，即x 46.24时，$取得最大值. 2 故宣传费用为 46.24 千元时，年利润的预报值最大.12 分 考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识 20.【答案】（I） . ax y a 0 或ax y a 0 （n）存在 【解析】 试题分析：（I）先求出 M,N 的坐标，再利

28、用导数求出 M,N. （n）先作出判定，再利用 设而不求思想即将 y kx a代入曲线 C 的方程整理成关于 x的一元二次方程，设出 M,N 的坐标和 P 点坐标，利用设而不求思想，将直线 PM PN 的斜率之和用a表示出来，利 用直线 PM PN 的斜率为 0,即可求出a,b关系，从而找出适合条件的 P 点坐标. 试题解析：(I)由题设可得 M(2、.a,a) , N( 2. 2, a)，或 M ( 2, a), N(. a,a). y x，故y 在X = 2、2a处的到数值为 2 4 a，C 在（2 2a, a）处的切线方程为 y a .a(x 2、a)，即、ax y a 0 . 故y 2

29、 _ 在x =- 2 2a处的到数值为- a , C 在（ 4 2 2a, a）处的切线方程为 y a a (x 2a)，即-ax y a 0 . 故所求切线方程为 .ax y a 0或一 ax y a 0. （n）存在符合题意的点，证明如下： 设 P（ 0, b）为复合题意得点， M,%） , N（x2,y2）,直线 PM PN 的斜率分别为k1,k2. 108.8 16 =68 y dw =563 试卷第17页，总15页 将y kx a代入 C 得方程整理得x2 4kx 4a 0.试卷第18页，总15页 二 x-i x2 4k,x1x2 4a. y- b y2 b 2kx-x2 (a b)

30、(x- X2)_k(a b) 当b a时，有k1 k2=0，则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补, 故/ OPMNOPN 所以P(0, a)符合题意. 考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力 3 3 5 3 21.【答案】(I) a ; (n )当a 或a 时，h(x)由一个零点；当a 4 4 4 4 亠 5 5 3 或a 时，h(x)有两个零点；当 a 时，h(x)有二个零点. 4 4 4 【解析】 试题分析：(I)先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应 的a值；(n)根据对数函数的图像与性质将 x分为x 1,x 1,0 x 1研

31、究h(x)的零 点个数，若零点不容易求解，则对 a再分类讨论. 试题解析：(I)设曲线y f (x)与x轴相切于点(心0)，则f (x0) 0 , f (x0) 0 , 3 1 n x0 axo 0 即0 4 ，解得X0 2 3x0 a 0 3 因此，当a 时，x轴是曲线y f(x)的切线. 4 ln x 0 ,从而 h(x) min f (x), g(x) g(x) 0 , h(x)在(1, +8)无零点. 当x=1 时，若a 5，则 f(1) 5 a 5 0, h(1) minf(1),g(1) g(1) 0,故 x=1 4 4 是h(x)的零点； 卄 5 若a ,则 5 f(1) a -

32、 0 , h(1) min f (1),g(1) f(1) 0, 4 4 故x=1 不是h(x)的零点. 2 (i)若a 3或a 0 ,则f (x) 3x a在(0,1)无零点，故f (x)在(0,1)单 Xi X2 X(X2 (n)当 x (1,)时，g(x) 当 x (0,1)时，g(x) ln x 0 ,f (x) 在( 0,1 )的零点个数 试卷第19页，总15页 1 5 调，而f(0) , f(1) a ,所以当a 3时，f (x)在(0,1)有一个零点；当 4 4 a 0 时，f (x)在(0, 1)无零点.试卷第20页，总15页 22.【答案】（I）见解析（H） 60 【解析】

33、试题分析：（I）由圆的切线性质及圆周角定理知， AEL BC, AC 丄 AB,由直角三角形中 线性质知 DE=DC OE=OB 利用等量代换可证/ DEC+Z OEB=90，即/ OED=90，所以 DE 是圆 O的切线；（H）设 CE=1,由 OA 、. 3CE得，AB=2.3，设 AE=x，由勾股定理 得BE 12 x2，由直角三角形射影定理可得 AE2 CE BE ,列出关于x的方程, 解出x，即可求出/ ACB 的大小. 试题解析：（I）连结 AE,由已知得，AEL BC, ACL AB, 在 Rt AEC 中，由已知得 DE=DCDECZ DCE 连结 OE Z OBE=/ OEB / ACB+Z ABC=90 ,.Z DEC+Z OEB=90 , Z OED=90 , DE 是圆 O 的切线. （H）设 CE=1 , AE=x,由已知得 AB=2、3, BE 12 x2 , 由射影定理可得，AE2 CE BE , (ii)若 3 a 0,则 f (x)在(o, 2a 3 3 即 v a v 0, f (x)在(0,1 )无零点. 4 f （x）在（0,1 ）有唯一零点; 3 ,由于f (0) 4 f (x)在 (0,1 有两个零点；当 3 a f(i) a ；，所以当 f (x