专题07立体几何-满分考前考点回扣系列

1、2019年高考数学满分考前考点回扣系列专题07立体几何一.临考知识对点回扣：【友情提示1】.一个几何体的三视图的排列规则是俯视图放在正（主）视图下面，长度与正（主） 视图一样，侧（左）视图放在正（主）视图右而，高度与正（主）视图一样，宽度与俯视图一样，即 “长对正，高平齐，宽相等“在画一个几何体的三视图时，一宦注意实线与虚线要分明.【回扣问题1】一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是（）AHCD【答案】B【解析】由图可得。【友情提示2】在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段平行于x轴的线段平行性不变, 长度不变：平行于y轴的线段平行性不变，长度减半”【回扣问题2】如图所示的等腰直

2、角三角形表示一个水平放置的平面图形的直观图，则这个平面图形的面积是=5复=2庖【友情提示3】简单几何体的表而积和体积（DS直棱柱侧=。验 为底面的周长，h为高）.（2）S正棱锥侧=|ch*（c为底面周长，H为斜高）.（*）（3）S正棱台侧=扣+c）lf（c与c，分别为上、下底而周长，1T为斜髙）.（4）圆柱、圆锥.圆台的侧面积公式 S圆柱侧=2质血为底而半径，1为母线）,S圆锥侧=ml（同上）,（*）S圆台侧=7r（f+r）l（r r分别为上、下底的半径，1为母线）.（5）体积公式V柱=S h（S为底面面积,h为高）,锥=|s-h（S为底而而积，h为高）， （*艸台=*S+仰+S*）h（S、S

3、，为上、下底面面积，h为高）.（6）球的表而积和体积4S 球=4ttR2, 球=列R3.注带（*）的不需记忆.【回扣问题3】（1）一个六棱锥的体枳为2萌，其底而是边长为2的正六边形，侧棱长都相等, 则该六棱锥的侧而积为.（2）已知底面边长为1,侧棱长为返的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积 为（）A. 台匹B.4ttC.2nD.譽【答案】（1）12 （2）D【解析】每个侧而而枳汝棱锥的侧而枳2,Z存畔.【友情提示4】空间中的平行关系（1）线而平行:ab，be:anaa：a0a.a 卩戶aa： aup Jalpa丄p >=>aa；aQa ,aua, bua、而而平行:aC

4、lb=O a 卩a丄a|a丄旷a 卩、=>a 丫:Y 刃b 卩线线平行:aaaup 严ab： aD|3=ba±alb丄a3b：a 卩aClY=a jnab；pnr=bja/7c=ab bc【回扣问题4】下列条件能得岀平面a平而p的是（）A. a内有无穷多条直线都与p平行B. 直线 aa, ap,且 a©a, a©卩C. 直线 aua,直线 bup,且 ap, baD. a内的任何直线都与0平行【答案】D【解析】由点.线、面的位置关系可得。【友情提示5】空间中的垂直关系:(1)线而垂直：a卩 Ra丄卩;a丄ajaua, bua aAb=O >=>1

5、 丄 a； 1丄a, 1丄b.db'nb 丄 a：a丄a.a丄paDp=l =a 丄 p；aua, all.acp而而垂直：二而角90S心号“a0=>a丄伏a丄aa | a(3)线线垂直：口严丄b【回扣问题5】设m, n是两条不同的直线，g 0是两个不同的平而()A. 若 m丄n, ncuB. 若m0,卩丄a.n丄0, n丄a,贝lj m丄aD.若m丄n, n丄0,【答案】C【解析】由点、线.面的位置关系可得。【友情提示6】空间向量在立体几何中的应用：设直线1，m的方向向量分别为a, b,平而a, p的法向量分别为u, v.(1)空间位置关系：lmoabQa=kb, kGR：1

6、丄 moa 丄 boab=0： laoa 丄 uoau=0；1 丄aoau<=>a=ku, kGR；apouvou=kv, kGR：a丄卩ou丄v ouv=0.(2)空间角：设异面直线1, m的夹角e,则cos0=jj： 设直线1与平面a所成的角为6,则sin吐黑：111. r| 设平而g 0所成锐二而角为e,则cos 0=而而I A?）, ill 空间距离：设A是平面a外一点，O是a内一点，则A到平而a的距离d=飞厂.易错警示 求线而角时，得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦，容易渓以为 是线而角的余弦.求二而角时，两法向量的夹角有可能是二而角的补角，要注意从图中分析.（

7、2）用空间向量求A到平而a的距离：【回扣问题6】已知正三棱柱ABC-AiBiC,的侧棱长与底面边长相等，则ABi与侧而ACCiAi 所成角的正弦值等于【答案】当sin<9=-=解析】取AC中点为设侧棱兵为a.则駁Q4【友情提示7】三棱锥中：侧棱长相等（侧棱与底而所成角相等）Q顶点在底而射影为底而外 心：侧棱两两垂直（两相对棱垂直）0顶点在底面射影为底而垂心：斜髙相等（侧面与底而所成 角相等）0顶点在底面射影为底面内心：正棱锥各侧而与底面所成角相等为0，则S侧cos 9 =s底.【回扣问题7】过AABC所在平而a外一点P.作P0丄a,垂足为6连接PA, PB, PC.若PA = PB=PC

8、, ZC=90°,则点O是AB边的点.若PA = PB=PC,则点O是ZiABC的心.若PA丄PB, PB丄PC, PC丄PA,则点0是ZiABC的心.若P到AB, BC, CA三边距离相等，则点O是AABC的心.【答案】中（2）外垂内【点评】这是重要结论，请自行加以证明。二、临考知识对点练习（限时：40分钟）一、选择题1.已知一个三棱锥的三视图如图所示，英中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个 而中，直角三角形的个数为（）A.1C.3D.4侧（左）视图【答案】D【解析】 由题意可知，几何体是三棱锥，其放置在长方体中形状如图所示，三棱锥ABCD, 利用长方体模型可知，此三棱锥的

9、四个而中.全部是直角三角形.2已知/是直线，°、"是两个不同的平面，下列命题中的真命题是（）A. 若/久/艮 则a/pB.若a丄禺l/a.则/丄0C若/s a艮 则/0D若/丄a, /艮 则a丄“【答案】D【解析】 对于A,若la, 10,则a 卩或a与卩相交，所以A错；对于B,若a丄0, la,贝IJ1丄0或lu卩或1与0相交，所以B错：对于C,若la, a处 则10或lup,所以C错：对于D,若1丄a, 10,则a丄卩，由面面垂直的判泄可知选项D正确.3.已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为晋，则该锥体的俯视图可以是（）正视图侧视图【答案】c【解析】由正视图和侧视图

10、得：该锥体的高是=羽，因为该锥体的体积为攀,2 羽 2yf333所以该锥体的底而而积是S=p=2A项的正方形的而枳是2x2=4, B项的圆的而积是恥12=兀，C项的三角形的而积是#2x2 = 2, D项的三角形的而枳是x22=V3.4.已知某几何体的三视图如图，根拯图中标岀的尺寸（单位：cm）,可得这个几何体的体积是 （）B - cm'D.4 cm3A.| cnr-【答案】B【解析】 由三视图可知，该几何体为底而是正方形，且边长为2 cm,髙为2 cm的四棱锥,1Q如图，故 V=-x22x2=-（ cm3）.5某空间几何体的三视图如图所示（英中俯视图的弧线为四分之一圆），则该几何体的表

11、而积 为（）2I- 1U正税阳 a 俯世图A.5tt+4B. 8 兀+4C. 5 兀+12D&+12【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是底面为扌圆的柱体，S产2x畔+5+4）x3=511+12.6设a, b, c是三条不同的直线，* 0是两个不同的平而，则a丄b的一个充分条件为（）A.a丄c, b丄cB. a丄卩，aca» bczpC. a丄a, b/aD. a丄a, b丄a【答案】C【解析】A中，若a丄c, b丄c,则直线a与直线b可能异面，可能平行，可能垂直，所以 此选项错島B中，若a丄卩，aua, bu®,则直线a与宜线b可能异而，可能平行，可能垂 直，

12、所以此选项错误：C中，若a丄a, ba,则根据线与线的位置关系可得a丄b,所以C 正确：D中，若“丄a, 丄a,则根据线而垂直的性质定理可得a/b.7如图，正方体ABCD-ABCxD中，04】与BC】平行；与BCi垂直：BC与AC 所成角为60。.以上三个结论中，正确结论的序号是（）A.®B C. ®D.【答案】C【解析】 错，应为DAilBCi；错，两直线所成角为45。；正确，将平移至AD, 由于三角形AD.C为等边三角形，故两异面直线所成角为60。，即正确结论的序号为，故 选C.&已知a, 0是两个不同的平而.m, n是两条不同的直线，给岀下列命题： 若m丄a,

13、 mu0,贝ij a丄卩；若mua, nua, m卩，n0,则a0；如果mua,m, n是异而直线，那么n与a相交：若aOp=nK nm,且nCa, 口邙，则na且n p.其中正确的命题是（）A.® B.C.D.®【答案】D【解析】 由而而垂直的判左泄理知正确；若m，n是平而a内两条平行直线，则的结 论不一左成立，故错：若m, n是互相平行的两个平面内的两条异而直线，则n与a平行, 故错误：由aCl0=m得mua, mup,又nm, n<ta, n邙，所以na, n0,故正确. 9.一只蚂蚁从正方体ABCD-AC的顶点A处岀发，经正方体的表而，按最短路线爬行 到达顶点

14、Ci位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（） A.®B.C.D.®®【答案】C【解析】 由点A经正方体的表而，按最短路线爬行到达顶点。位宜，共有6种展开方式， 若把平而ABBxA,和平而BCGBi展开到同一个平而内，在矩形中连接AC,会经过BB的中 点，此时的正视图为.若把平而ABCD和平而CDD.C,展到同一个平而内，在矩形中连接 AG会经过CD的中点，此时正视图是.其他几种展开方式对应的正视图在题中没有出现. 故选C.10右图是一个几何体的三视图，由图中数据可知该几何体中最长棱的长度是（）A.6B.25C.5D.V13弋2 04【答案】

15、C【解析】 由三视图知：几何体为三棱锥，如图：其中SA丄平面ABC, AC丄平而SAB, SA=2,AB=4, AC=3,BC=5, SC=4+9=VT§t SB=4+16=25.最长棱为BC=5.11.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（）A4、/§兀B.12兀C.2羽兀D4、/7t【答案】A【解析】 三视图复原的几何体如图，它的底面为等腰直角三角形，底边长为20,底边上 的高是辺，所以腰长是2, 条长为2的侧棱垂直底面的一个顶点，它的外接球，就是将苴4扩展为正方体的外接球，球的直径为2© 所以体积为列（迪p=4羽兀12点爪B、C、D在同一个

16、球的球面上，AB=BC=£., AC=2,若四面体ABCD体积的最2大值为亍则这个球的表面积为（）125兀c c小25兀J5兀A, 6B.8兀C. 4D 16【答案】C【解析】如图所示，0为球的球心，由AB=BC=g AC=2可知ZABC=£ 即"（所在圆面的圆心0为 AC的中点，故AOt = l, Sd做=1,当D为OiO的延长线与球而的交点时，D到平而ABC 的距离最大，四而体ABCD的体积最大.连接Q4,设球的半径为/?，则DO|=R+仰刁， 此时 .A«c=|x5a.a«（xDOi = |（/?4-R2）=|,解得 /?=|,故这个球的

17、表而积为 4n曾）= 25k二、填空题13已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24,则正视图中“的值为.【答案】6【解析】 由三视图知，该几何体为四棱锥，苴中四棱锥的底而是边长为a和3的长方形， 四棱锥的髙为4,所以该四棱锥的体积V=#3ax4=24,所以a=6.14.若a、B是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为（写出所有真命题的序号）. 若直线加丄久则在平而8内，一左不存在与直线川平行的直线. 若直线m丄a,则在平而卩内，一左存在无数条直线与直线m垂直. 若直线mua,则在平而卩内，不一泄存在与直线m垂直的直线. 若直线mua,则在平而卩内，一左存在与直线m垂直的宜线.

18、【答案】【解析】 对于，若直线加丄a,如果a, 0互相垂直，则在平而&内，存在与宜线皿平 行的直线，故错误：对于，若直线加丄a,则直线加垂直于平而a内的所有直线，则在平而“内，一左存在无数条直线与直线m垂直，故正确：对于，若直线mua,则在平而卩内，一立存在与直线m垂直的宜线，故错误：对于, 若直线mug则在平而0内，一怎存在与直线m垂宜的直线，故正确.15点E、F、G分别是正方体ABCD-AiByCiDi的棱AB、BC、BQ的中点,如图所示，则下列命题中的真命题是（写出所有真命题的编号）. 以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个而中最多只有三个而是直角三角形； 过点F、» G的截面是正方形： 点P在直线FG上运动时，总有AP丄DE： 点0在直线BCi上运动时，三棱锥A-DiQC的体积是定值； 点M是正方体的而A/CQi