专题训练-平行四边形中的动态问题

1、专题训练（三）-平行四边形中的 动态问题专题训练（三）平行四边形中的动态问丿班别姓名（教材P68习题第13题的变式与应用）【原题】（人教版八年级下册教材第68页第13题）如图，在四边形 ABCD 中，AD/7BC, ZB=90° , AB=8 cm, AD=24 cm, BC=26 如点P从点A出发，以1 eMs的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3 cm/s 的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.从运 动开始，使PQ=CD,分别需经过多少时间？为什么？针对训练1.如图，在四边形ABCD中，AD/7BC, AD=6, BC=16,点E是BC的中点

2、点P以每秒 1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的 速度从点C出发，沿CB向点B运动.点P停止运动时，点Q也随之停止运动.求当运 动时间t为多少秒时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形.2. 如图，A, B, C, D为矩形ABCD的四个顶点，AB=25 cm, AD=8 cm,动点P, Q分 别从点A, C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，运动到点B为止，点Q以2 Ms的速度向点D移动.(1) P, Q两点从出发开始到第几秒时，PQAD?(2) 试问：P, Q两点从出发开始到第几秒时，四边形PBCQ的面积为84平方厘米.3. 如图，

3、平行四边形ABCD中，AC=6, BD=8,点P从点A出发以每秒1皿的速度沿 射线AC移动，点Q从点C出发以每秒1的速度沿射线CA移动.(1) 经过几秒，以P, Q, B, D为顶点的四边形为矩形？若BC丄AC垂足为C,求(1)中矩形边BQ的长.4. 如图，在四边形 ABCD 中，ADBC, ZB=90° , AB=8 cm, AD=12 cm, BC=18 cm, 点P从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2 cm/s的速度 向点B运动，当点Q到达点B时，点P也停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒. 作DE丄BC于E,则CD边的长度为10c©(2

4、) 从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形？(3) 在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t值； 若不存在，请说明理由.5.如图，己知矩形ABCD, AD=4, CD=10, P是AB上一动点，N. E分别是PD、PC、 CD的中点(1) 求证：四边形PMEN是平行四边形；(2) 请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；如图乙.此时，PD=AD-AP14T参考答案【例】（人教版八年级下册教材第68页第13题）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC, ZB=90° , AB=8 cm, AD=24 cm, BC=26 c皿点P从点A出发，

5、以1切s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3 cm/s 的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.从运 动开始，使PQ=CD,分别需经过多少时间？为什么？【解答】设经过ts时，四边形PQCD是平行四边形，VAP=t, CQ=3t, DP=24-t,DP=CQ.24-t = 3t.t=6,即经过6s时，四边形PQCD是平行四边形，此时PQCD,且PQ=CD. 设经过t S时，PQ=CD,即四边形PQCD是等腰梯形，VAP=t, BQ=26-3t, /.t=26-3t+2, t=7.综上所述当t=6 s或7 s时，PQ=CD【方法归纳】根据动点运动过程中构造的特

6、殊四边形的性质列方程求解.针对训练1.如图，在四边形ABCD中，AD/7BC, AD=6, BC=16,点E是BC的中点.点P以每秒 1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的 速度从点C出发，沿CB向点B运动.点P停止运动时，点Q也随之停止运动驶当运 动时间t为多少秒时，以点P、Q. E. D为顶点的四边形是平行四边形解：由题意可知，AP=t, CQ=2t, CE=*BC=& ADBC,当PD=EQ时，以点P、Q、E、D为顶点的四 边形是平行四边形.当2t<8,即tV4时，点Q在C、E之间，如图甲. 此时，PD=AD-AP=6-t, EQ=CE

7、-CQ=8-2t,由 61=82t 得 t=2.当8<2t<16,且t6,即4t<6时,点Q在B、E之间,=6-t, EQ=CQ-CE=2t-8,由 6-t=2t-8 得七=图甲图乙2. 如图，A, B, C, D为矩形ABCD的四个顶点，AB=25 cm, AD=8 cm,动点P, Q分 别从点A, C同时出发，点F以3 cm/s的速度向点B移动，运动到点B为止，点Q以2 曲S的速度向点D移动.(1) P，Q两点从出发开始到第几秒时，PQAD?(2) 试问：P, Q两点从出发开始到第几秒时，四边形PBCQ的面积为84平方厘米.解：设P, Q两点从出发开始到第x秒时，PQ心

8、四边形ABCD是平行四边形，AAB/7CD,即 APDQPQAD,四边形APQD是平行四边形.AAP=DQ.： 3x=252x.解得 x=5.答：P, Q两点从出发开始到第5秒时，PQ/7AR(2)设匕Q两点从出发开始到第a秒时，四边形PBCQ的面积为84平方厘米,VBP=25-3a, CQ=2a, 根据梯形面积公式得:*(253a+2a) 8=84.解得 a=4.答：P, Q两点从岀发开始到第4秒时，四边形PBCQ的面积为84平方厘米.3. 如图，平行四边形ABCD中，AC=6, BD=8,点P从点A出发以每秒1 cm的速度沿 射线AC移动，点Q从点C出发以每秒1皿的速度沿射线CA移动.(1

9、)经过几秒，以P, Q, B, D为顶点的四边形为矩形?若BC丄AC垂足为C，求(1)中矩形边BQ的长.解：当t = 7秒时，四边形BPDQ为矩形. 理由如F：当-t = 7秒时，PA=QC=7, VAC=6,ACP=AQ=LPQ=BD=8.T四边形ABCD为平行四边形，BD=8, AC=6,QDAA0=C0=3.AB0=D0=4.0Q=0P=4.四边形BPDQ为平形四边形.VPQ=BD=8,四边形BPDQ为矩形.(2)由得 B0=4, CQ=7,VBC1AC,A ZBCA=90° ABC2+CQ2=BQ2.BQ=2 丽.4. 如图，在四边形 ABCD 中，AD/7BC, ZB=90

10、° , AB=8 cm, AD=12 cm, BC=18 cm, 点P从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2 cm!s的速度 向点B运动，当点Q到达点B时，点P也停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒.(1) 作DE丄BC于E,则CD边的长度为lOc/n；(2) 从运动开始，当t取何值时，四边形PQRA是矩形？(3) 在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t 值；若不存在，请说明理由.解：(2)如图 1,由题意得：AP=t, DP=12-t, CQ=2t, BQ=18-2t要使四边形PQBA是矩形，已有ZB=90°

11、, ADBC即AP#BP,只需满足AP=BQ 即t=18-2t,解得t=6,因此，当t=6秒时，四边形PQBA是矩形(3) 不存在，理由:如图2,要使四边形PQCD是平行四边形，已有ADBC即DPCQ, 只需满足DP=CQ即12t=2t,At=4时，四边形PQCD是平行四边形，但 DP=12-1=8工10,即 DPHDC,/按已经速度运动，四边形PQCD只能是平行四边形，但不可能是菱形.5.如图，已知矩形ABCD, AD=4, CD=10, P是AB上一动点，M> N、E分别是PD、PC、 CD的中点.(1)求证：四边形PMEN是平行四边形；(3)四边形PMEN有可能是矩形吗? AP的长；若不可能，请说明理由.(2)请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；解：(1) VM. N、E分别是PD、PC、CD的中点, ME是PC的中位线，NE是PD的中位线“ MEPC, ENPD.四边形PMEN是平行四边形.当AP=5时，AP=BP,在 2?tAPAD 和 /TtAPBC 中，S ZA= ZB,AD=BC,AAPADAPBC(>S45).PD=PC.M、N、E分别是PD、PC、CD的中点， ANE=PM=|PD, ME=PN=|pC. PM=ME