(完整word版)(1502)黄金分割专项练习30题(有答案)

1、01 第1页共 21页 黄金分割专项练习 30 题(有答案) 2 1 定义：如图 1，点 C 在线段 AB 上，若满足 AC =BC?AB，则称点 C 为线段 AB 的黄金分割点.如图 2, ABC 中，AB=AC=1，/ A=36 BD 平分/ ABC 交 AC 于点 D . (1) 求证：点 D 是线段 AC 的黄金分割点; (2) 求出线段 AD 的长. 2 .如图，用长为 40cm 的细铁丝围成一个矩形 ABCD (AB AD ). 2 99cm2,求 AB 的长度； 2 101cm 吗？若能，求出 AB 的长度，若不能，说明理由; AD 与 AB 之比等于黄金比 晶 -1),求该矩形

2、的面积. 2 2 2 3. 定义： 如图 1， 点 C 在线段 AB 上， 若满足 AC =BC?AB， 则称点 C 为线段 AB 的黄金分割点. 如图 2, ABC 中， AB=AC=2，/ A=36 BD 平分/ ABC 交 AC 于点 D. (1) 求证：点 D 是线段 AC 的黄金分割点； (2) 求出线段 AD 的长. r r 40cm40cm (1) 若这个矩形的面积等于 (2) 这个矩形的面积可能等于 (3) 若这个矩形为黄金矩形( (结果保留根号) 第2页共 21页 4. 作一个等腰三角形，使得腰与底之比为黄金比. (1) 尺规作图并保留作图痕迹； (2) 写出你的作法； (3

3、) 证明：腰与底之比为黄金比. 5. ( 1)已知线段 AB 的长为 2，P 是 AB 的黄金分割点，求 AP 的长; (2)求作线段 AB 的黄金分割点 P,要求尺规作图，且使 AP PB . 6如图，线段 AB 的长度为 1 . 2 (1)线段 AB 上的点 C 满足系式 AC2=BC?AB，求线段 AC 的长度； 2 (选做)(2)线段 AC 上的点 D 满足关系式 AD =CD?AC,求线段 AD 的长度; (选做)(3)线段 AD 上的点 E 满足关系式 AE =DE?AD，求线段 AE 的长度； 上面各题的结果反映了什么规律？(提示：在每一小题中设 x 和 I) 恵 1 A E D

4、 C B 7.如图，在 ABC 中，AB=AC，/ A=36 / 1 = / 2,请问点 D 是不是线段 AC 的黄金分割点.请说明理由. 第3页共 21页 第4页共 21页 &在厶 ABC 中，AB=AC=2 , BC=J - 1，/ A=36 BD 平分/ ABC，交于 AC 于 D .试说明点 D 是线段 AC 的黄 金分割点. 为黄金矩形 ABCD .请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成. 10. 如图，设 AB 是已知线段，在 AB 上作正方形 ABCD ;取 AD 的中点 E，连接 EB;延长 DA 至 F,使 EF=EB ; 以线段 AF 为边作正方形

5、AFGH .则点 H 是 AB 的黄金分割点. 为什么说上述的方法作出的点 H 是这条线段的黄金分割点，你能说出其中的道理吗？请试一试，说一说. 11. 如图，已知 ABC 中，D 是 AC 边上一点，/ A=36 / C=72 / ADB=108 求证: (1) AD=BD=BC ; (2) 点 D 是线段 AC 的黄金分割点. 9. 在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩如在矩形 ABCD 中，当,：匕 I .件时，称矩形 ABCD 2 2 第5页共 21页 2 cri 12已知 AB=2，点 C 是 AB 的黄金分割线，点 D 在AB 上，且AD =BD?AB，求的值. 13.

6、如果一个矩形 ABCD (AB v BC)中，* _ -0.618，那么这个矩形称为黄金矩形， 黄金矩形给人以美感. 在 BC BC 2 2 黄金矩形 ABCD 内作正方形 CDEF，得到一个小矩形 ABFE (如图)，请问矩形 ABFE 是否是黄金矩形？请说明你 的结论的正确性. 14. 五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点 C, D 分别是线段AB 的黄金分割点，AB=20cm，求 EC+CD 的长. 15人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为 0.618 时，是比较好看的黄 金身段.一个身高 1.70m 的人，他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身

7、段(保留两位小数)？ B 第6页共 21页 16. 如图所示，以长为 2 的定线段 AB 为边作正方形 ABCD，取 AB 的中点 P,连接 PD，在 BA 的延长线上取点 F, 使 PF=PD，以 AF 为边作正方形 AMEF，点 M 在 AD 上. (1) 求 AM , DM 的长； (2) 点 M 是 AD 的黄金分割点吗？为什么？ 第7页共 21页 17. 如图，点 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 AP BP,设以 AP 为边长的正方形面积为 S1,以 PB 为宽和以 AB 为 长的矩形面积为 S2，试比较 Si与 S2的大小. Sf P JR - 1 18. 如图，在平行四边形

8、ABCD 中，E 为边 AD 延长线上的一点，且 D 为 AE 的黄金分割点，即.二， BE 交 DC 于点 F,已知；二 U,求 CF 的长. VsVs- -1 1 19图 1 是一张宽与长之比为一， 一的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形同学们都知道按图 2 所示的 折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形 ABEF 和一个矩形 EFDC，那么 EFDC 这个矩形还是黄金 矩形吗？若是，请根据图 2 证明你的结论；若不是，请说明理由. AP RP 20.（如图 1）,点 P 将线段 AB 分成一条较小线段 AP 和一条较大线段 BP,如果拆说，那么称点 P 为线段 AB 的 第

9、8页共 21页 BP BP ABAB 黄金分割点，设聖型=k，则 k 就是黄金比，并且 k -0.618. BP ABBP AB 第9页共 21页 (1) 以图 1 中的 AP 为底，BP 为腰得到等腰 APB (如图 2),等腰 APB 即为黄金三角形，黄金三角形的定义为： 满足 -0.618 的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义： ； 腰底+腰 - (2) 如图 1,设 AB=1，请你说明为什么 k 约为 0.618; (3) 由线段的黄金分割点联想到图形的 黄金分割线”，类似地给出 黄金分割线”的定义：直线 I将一个面积为 S 的 s ss s 图形分成面积为 S1和

10、面积为 S2的两部分(设 S1V S2),如果二，那么称直线 I为该图形的黄金分割线.(如图 s s2 2 S S 3),点 P 是线段 AB 的黄金分割点，那么直线 CP 是厶 ABC 的黄金分割线吗？请说明理由; (4) 图 3 中的 ABC 的黄金分割线有几条？ 21 在人体躯干(脚底到肚脐的长度)与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近 0.618，越给人 以美感张女士原来脚底到肚脐的长度与身高的比为 0.60，她的身高为 1.60m，她应该选择多高的高跟鞋穿上看起 来更美？(精确到十分位) 22. 已知线段 AB，按照如下的方法作图：以 AB 为边作正方形 ABCD，取

11、AD 的中点 E，连接 EB，延长 DA 到 F， AFGH，那么点 H 是线段 AB 的黄金分割点吗？请说明理由. 23. 如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片 ABCD，先折出 BC 的中点 E，再折出线段 AE，然后通过折叠 使 EB 落到线段 EA 上，折出点 B 的新位置 B,因而 EB=EB .类似地，在 AB 上折出点 B使 AB =AB 这时 B 就是 AB 的黄金分割点.请你证明这个结论. 第10页共 21页 24. 如图，用纸折出黄金分割点：裁一张边长为 2 的正方形纸片 ABCD，先折出 BC 的中点 E,再折出线段 AE ,然 后通过折叠使 EB 落在线段 EA

12、上，折出点 B 的新位置 F,因而 EF=EB .类似的，在 AB 上折出点 M 使 AM=AF .则 25. 如图，在 ABC 中，点 D 在边 AB 上，且 DB=DC=AC，已知/ ACE=108 BC=2 . （1） 求/ B 的度数； （2） 我们把有一个内角等于 36的等腰三角形称为黄金三角形.它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比） 等于黄金比 2 2 写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由; 求 AD 的长； 在直线 AB 或 BC 上是否存在点 P （点 A、B 除外），使 PDC 是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点 P,简 说明理由. Vs Vs - -1 1 2

13、6宽与长的比是 的矩形叫黄金矩形心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美 感现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示） ： 第一步：作一个正方形 ABCD ; 第二步：分别取 AD , BC 的中点 M , N，连接 MN ; 第三步：以 N 为圆心，ND 长为半径画弧，交 BC 的延长线于 E; 第四步：过 E 作 EF 丄 AD，交 AD 的延长线于 F. 若是请你证明，若不是请说明理由. 第11页共 21页 第12页共 21页 27.在 ABC 中，AB=AC，/ A=36 把像这样的三角形叫做黄金三角形. (1) 请你设计三种不同的分法，将黄

14、金三角形 ABC 分割成三个等腰三角形，使得分割成的三角形中含有两个黄金 三角形(画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，不要求写画法，不要 求证明.分别画在图 1，图 2，图 3 中) 注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法. (2) 如图 4 中，BF 平分/ ABC 交 AC 于 F,取 AB 的中点 E,连接 EF 并延长交 BC 的延长线于 M .试判断 CM 与 AB 之间的数量关系？只需说明结果，不用证明. 答：CM 与 AB 之间的数量关系是 _ . 28 折纸与证明 用纸折出黄金分割点： 第一步：如图(1),先将一张正

15、方形纸片 ABCD 对折，得到折痕 EF;再折出矩形 BCFE 的对角线 BF . 第二步：如图(2),将 AB边折到 BF 上，得到折痕 BG ,试说明点 G 为线段 AD 的黄金分割点(AG GD ) 29.三角形中，顶角等于 36的等腰三角形称为黄金三角形，如图 1，在 ABC 中，已知：AB=AC，且/ A=36 (1) 在图 1 中，用尺规作 AB 的垂直平分线交 AC 于 D，并连接 BD (保留作图痕迹，不写作法); (2) BCD 是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由； (3) 设二-.-，试求 k 的值；第13页共 21页 （1）研究小组猜想：在 ABC

16、 中，若点 D 为AB边上的黄金分割点（如图 2），则直线 CD 是厶 ABC 的黄金分割 线.你认为对吗？为什么？ （2） 请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？ （3） 研究小组在进一步探究中发现： 过点 C 任作一条直线交 AB 于点 E,再过点 D 作直线 DF / CE，交 AC 于点 F, 连接 EF （如图 3）,则直线 EF 也是 ABC 的黄金分割线.请你说明理由. （4） 如图 4,点 E 是平行四边形 ABCD 的边 AB 的黄金分割点，过点 E 作 EF / AD，交 DC 于点 F，显然直线 EF 是平行四边形 ABCD 的黄金分割线请你画一条平行四边形

17、 ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形 ABCD （4）如图 2,在厶AIBICI中，已知AIBI=AICI,/ AI=108且 AiBi=AB，请直接写出 BCBC 的30 .如图 1,点 C 将线段 AB 分成两部分，如果 ，那么称点 C为线段AB的黄金分割点某研究小组在进行 黄金分割线”类似地给出 黄金分割线”的定义：直线 I将一个面积为 S 的图形 分成两部分，这两部分的面积分别为 g s S1,S2如果龙打那么称直线1为该图形的黄金分割线. 课题学习时，由黄金分割点联想到 第14页共 21 黄金分割专项练习 30 题参考答案： 1. (1)证明：T AB=AC=1 , / AB

18、C= / C=1 (180 -/ A ) =1 (180 - 36 =72 2 22 2 BD 平分/ ABC 交 AC 于点 D, / ABD= / CBD= _ / ABC=36 2 2 / BDC=180。- 36 - 7272 DA=DB , BD=BC, AD=BD=BC , 易得 BDCABC , 2 BC : AC=CD : BC，即 BC2=CD?AC , 2 - AD =CD ?AC , 点 D 是线段 AC 的黄金分割点； (2)设 AD=x，贝 U CD=AC - AD=1 - x, 2 T AD =CD ?AC, X2=1 - x，解得 X1= - , X2= - r

19、- 即 AD 的长为丄丄二 2 2 2. 解：(1)设 AB=xcm，贝 U AD= (20 - x) cm, 根据题意得 x (20 - x) =99 , 2 整理得 x - 20 x+99=0 ,解得 X1=9, x2=11, 当 x=9 时，20 - x=11 ;当 x=11 时，20- 1 仁 9, 而 AB AD, 所以 x=11，即 AB 的长为 11cm; (2) 不能.理由如下： 设 AB=xcm，贝 V AD= (20 - x) cm, 根据题意得 x (20 - x) =101 , 2 整理得 x - 20 x+101=0 , 因为 =202 - 4X101=- 4V 0,

20、 所以方程没有实数解， 2 所以这个矩形的面积可能等于 101cm2; (3) 设 AB=xcm，则 AD= (20 - x) cm, 根据题意得 20 - x= -x, 2 2 解得 x=10 (吋. - 1), 则 20 - x=10 ( 3 - _), 所以矩形的面积=10 (匸-1) ?10 (3-二)=(400 匸-800) 3. 解：(1)T/ A=36 AB=AC , / ABC= / ACB=72 / BD 平分/ ABC , cm2. 第15页共 21 / CBD= / ABD=36 / BDC=72 AD=BD , BC=BD, ABC BDC ,第16页共 21 BD=

21、CD 即 AD = CD 二：，.，厂訂 i， 2 - AD =AC?CD . 点 D 是线段 AC 的黄金分割点. (2)v 点 D 是线段 AC 的黄金分割点, AD= AC , / AC=2 , - AD= -厂 1 4. 解：(1)腰与底之比为黄金比为黄金比如图， (2) 作法：画线段 AB 作为三角形底边； 取 AB 的一半作 AB 的垂线 AC ,连接 BC ,在 BC 上取 CD=CA . 分别以 A 点和 B 点为圆心、以 BD 为半径划弧，交点为 E; 分别连接 EA、EB ,则厶 ABE 即是所求的三角形. _ (3) 证明：设 AB=2，贝 U AC=1 , BC= AE

22、=BE=BD=BC - CD= 1, =. C 节 5 .解：(1)由于 P 为线段 AB=2 的黄金分割点, 则 AP=2 X =、： =- 1 , (2)如图，点 P 是线段 AB 的一个黄金分割点. 6 .解：(1)设 AC=x，贝 U BC=AB - AC=1 - x, 2 T AC =BC?AB, 所以线段 AC 的长度为丄- x =1 X ( 1- x), 整理得 x2+x -仁 0, 解得 x1= , x2= (舍去)， 2 2 _ _ 或 AP=2 (事 5- 1) =3 - 第17页共 21 (2) 设线段 AD 的长度为 x, AC=I , 2 T AD =CD ?AC,

23、x2=| x (l - x), xj 化,X2= (舍去)， 2 22 2 线段 AD 的长度 AC ; 2 (3) 同理得到线段 AE 的长度厂_ I AD ; 2 2 上面各题的结果反映： 若线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC (AC BC),且使 AC 是 AB 和 BC 的比例中项(即 AB : AC=AC : BC),则 C 点为 AB 的黄金分割点 7.解：D 是 AC 的黄金分割点.理由如下： 在 ABC 中，AB=AC，/ A=36 1 Qpi* 一 PR* / ABC= / ACB= _ : _ =72 2 2 / 1 = / 2, / 1 = / 2=-/ ABC=3

24、6 2 2 在厶 BDC 中，/ BDC=180 -Z 2 -/ C=72 / C=Z BDC , BC=BD . / A= / 1 , AD=BC . / ABC 和 BDC 中，/ 2= / A，/ C= / C, ABC BDC , : J， 又 AB=AC , AD=BC=BD , I， 2 - AD =AC ?CD ,即 D 是 AC 的黄金分割点 & 证明： AB=AC , / A=36 / ABC=2 (180 - 36 =72 2 2 / BD 平分/ ABC，交于 AC 于 D, / DBC= XZ ABC= X72 =36 2 22 2 Z A= Z DBC , 又

25、/ C=Z C, BCDABC , BC BC CDCD / AB=AC , 二 |-| 第18页共 21 :-:, / AB=AC=2 , BC= .X - 1, ( ，- 1) 2=2 X (2- AD ), 解得 AD= , AD : AC=(品 - 1) : 2 . 点 D 是线段 AC 的黄金分割点. 9. 证明：在 AB 上截取 AE=BC , DF=BC，连接 EF. / AE=BC , DF=BC , AE=DF=BC=AD , 又/ ADF=90 四边形 AEFD 是正方形. I+VB VS - -1 1 BE=圧一壬 弐E 匚 |.: 2 22 2 ” 1 - - - :

26、. 矩形 BCFE 的宽与长的比是黄金分割比，矩形 BCFE 是黄金矩形. 黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成. D F C I I V V h h 11 I I 11 BD ), AD= AB=10 ，- 10, 2 2 / EC+CD=AC+CD=AD , EC+CD= (10 血-10) cm . 15. 解：设他的肚脐到脚底的长度为 xm 时才是黄金身段, 根据题意得 x: 1.70=0.618 , 即 x=1.70 X0.618 羽.1 (m). 答：他的肚脐到脚底的长度为 1.1m 时才是黄金身段. 16. 解：(1)在 Rt APD 中，AP=1 , AD=2，由勾股

27、定理知 PD= -一一“二二=.丨丨丄 , 第20页共 21 AM=AF=PF - AP=PD - AP= _- 1 , DM=AD - AM=3 护. 故 AM 的长为 - 1 , DM 的长为 3-; (2)点 M 是 AD 的黄金分割点. 由于=, AD AD 2 2 点 M 是 AD 的黄金分割点. 17 .解：点 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 AP BP,第21页共 21 2 AP =BP 很B , 2 又 T =AP , S2=PB 很B , Si=S2. 18解： 四边形 ABCD为平行四边形, / CBF= / AEB，/ BCF= / BAE , BCFs EAB ,

28、即口匾 _CF 亍芯， AE AE = = ABAB， 把 AD= AB=匸+1 代入得， 2 2 解得：CF=2. 故答案为：2. 19 .解：矩形 EFDC 是黄金矩形， 证明：四边形 ABEF 是正方形， AB=DC=AF , 又| 一 1 - - , AD AD 2 2 即点 F 是线段 AD 的黄金分割点. 7D 丁 卫- 1 - - DC DC 2 2 矩形 CDFE 是黄金矩形. CFCF -， 20.解： (1)满足 的矩形是黄金矩形; (2)由二=k 得,BP=1 *=k,从而 AP=1 - k, AB 由. 得，BP2=AP AB , BP ABBP AB 2 即 k =(

29、 1 - k) X1, - -1 1 A/5 解得 k= , 2 2 / k0, k= (3)因为点 P 是线段 AB 的黄金分割点，所以 设厶 ABC 的 AB 上的高为 h,贝 U AP BPAP BP BPABBPAB 第22页共 21 Wc 制Xh 肛 Sabpc 刼P*h BP BPC lBPXh BP SAABC 号ABXh 曲 .:_, ；r. _ 一L EPC AAEC 直线 CP 是厶 ABC 的黄金分割线. (4) 由(2)知，在 BC 边上也存在这样的黄金分割点 Q,则 AQ也是黄金分割线，设 AQ 与 CP 交于点 W，则过 点 W 的直线均是 ABC 的黄金分割线，故

30、黄金分割线有无数条. 21解：根据已知条件得下半身长是 1600.6=96cm , 设选择的高跟鞋的高度是 xcm，则根据黄金分割的定义得: 解得：x .5cm. 故她应该选择 7.5cm 左右的高跟鞋穿上看起来更美. 22. 解：设正方形 ABCD 的边长为 2a, 在 Rt AEB 中，依题意，得 AE=a , AB=2a , 由勾股定理知 EB= _ .（=匸a, AH=AF=EF - AE=EB - AE=（匸-1） a, HB=AB - AH= （3 - J a； AH2=（ 6 -2 _）_a2, _ AB?HB=2a x（ 3- J a= （6 - 2 J a2, 2 AH =A

31、B ?HB , 所以点 H 是线段 AB 的黄金分割点. 23. 证明：设正方形 ABCD 的边长为 2, E 为 BC 的中点， BE=1 AE= -：;= , 又 BE=BE=1 , AB =AE - BE= ；=- 1, AB ； I | 点 B 是线段 AB 的黄金分割点. D C A Br B 96+x96+x 16Q+16Q+ =0.618, 第23页共 21 24. 证明：正方形 ABCD 的边长为 2, E 为 BC 的中点, BE=1 二人=匚二廿二=， / EF=BE=1 , AF=AE - EF= 匸-1 , AM=AF= :- 1 , AM : AB=(為-1) : 2

32、, 点 M 是线段 AB 的黄金分割点. 25. 解：(1)v BD=DC=AC . 则/ B= / DCB，/ CDA= / A . 设/ B=x，则/ DCB=x，/ CDA= / A=2x . 又/ BOC=108 / B+ / A=108 x+2x=108 , x=36 / B=36 (2)有三个： BDC , ADC , BAC . / DB=DC，/ B=36 DBC 是黄金三角形， (或 CD=CA，/ ACD=180 -Z CDA -/ A=36 CDA 是黄金三角形. 或/ ACE=108 / ACB=72 又/ A=2x=72 , / A= / ACB . BA=BC .

33、BAC 是黄金三角形. BAC 是黄金三角形， 上:：凭 :，- .， / BC=2 , AC=匸-1. _ / BA=BC=2 , BD=AC= ，- 1 , AD=BA - BD=2 -( U- 1) =3- 匸， 26 .证明：在正方形 ABCD 中，取 AB=2a , N 为 BC 的中点，存在，有三个符合条件的点 P1、 i）以 CD 为底边的黄金三角形：作 P2、P3. CD 的垂直平分线分别交直线 C 为圆心，CD 为半径作弧与 AB、BC 得到点 PP2. BC 的交点为点 P3. ii）以 CD 为腰的黄金三角形：以点 第24页共 21 NC= BC=a. 2 2 在 Rt

34、DNC 中，：二-二：_ . 又 NE=ND , CE=NE - NC= ( = - 1) a. .【-J lE - CDCD， 2a 2a _ _ 2 2 故矩形 DCEF 为黄金矩形. (2) CM=AB (4 分) 28. 证明：如图，连接 GF，设正方形 ABCD 的边长为1，则 DF=. 则 AHF - BA= .- 1 . 设 AG=A G=x，贝 U GD=1 - x, 2 2 2 2 在 Rt A GF 和 Rt DGF 中，有 AF2+AG2=DF2+DG 2 解得 x= 29. 解：(1)如图所示;27解:(1) 在 Rt BCF 2 2 即点 G 是 AD 的黄金分割点(AG GD). B C B 第i9页共 2i (2) BCD 是黄金三角形. 证明如