20150318数值分析学生版作业

1、贝Fl内容2014-2015 (2)计算机与信息工程学院数值分析作业计科专业级班 姓名:学号:第一章绪论一、单项选择题1. 用3. 1415作为龙的近似值时具有()位有效数字。(A) 3(B) 4(C)5(D) 62. 已知数xi=721%2=0.721 xs=O.7OO X4=7*102是由四舍五入得到的，贝9它们的有效数字的位数应分别为()。(A)3,3,3, 1( B)3, 3, 3, 3(C)3,3,1, 1( D)3, 3, 3, 2二、填空题1. 在一些数值计算中，对数据只能取有限位表示，如721.414，这时所产生的误差称为误差.(填误差的类型)2. 为尽量避免有效数字的严重损失

2、，当x»l时，应将表达式改写为以保证计算结果比较精确.3. 在数值计算中，通常取e = 2.71 ,此时产生的误差为误差(填误差 的类型).4. 设*0.231是精确值x*=0.229的近似值，则x有位有效数字。三、计算题221、(本题5分)试确泄土作为兀的近似值具有几位有效数字，并确立其相对误差限。7第二章插值法一、单项选择题1. 通过点(Xo，yo),(X,yi)的拉格朗日插值基函数l()(x),l(x)满足()(A ) lo(x<) = O,l1(x1) = O( B) l0(x0) = l,l1(x1) = l(C ) lo(xo) = l,l1(xl) = O(D)

3、lo(xo) = O,l1(x1) = l2. XoMi，兀是给定的互异节点，刀(力是以它们为插值节点的插值多项式，则魚力是一个().(A)77+1次多项式(B)"次多项式(0 次数小于“的多项式 (D)次数不超过n的多项式二、填空题1. 设有节点x0, xp x2 ,其对应的函数y = f(x)的值分别为y0, yP y2 »则二次拉格朗日插值基函数l0(x) = .2. 已知/(x) = x写岀f(x)的3次Lagrange插值多项式L3(x): 写出f(x)的3次Newton插值多项式N3(x).+l,则 /1,2,3 =.2. 已知f= l,f=3,那么y = f(

4、x)以,2为节点的拉格朗日线性插值多项式为3. 当a-1, -1, 2时，对应的函数值分别为介1)二0,几0)=2,几4)=10,则/U)的拉格朗日插值多项式是4. 设f(x) = x2，则f(x)关于节点 = 0,X1 = l,x2 = 3的二阶向前差分为5. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的_,若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 ;如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的L6. 设 /(0) = 0,/(1) = 10,/=20 则 /0,1= , /0,1,2=f(x)的二次牛顿插值多项式为.7. 设乙为/G)的n次

5、拉格朗日插值多项式，则其插值余项为& 已知 /(x) = 2人+4疋-5x,则/一1,1,0=/-3,-2,-1,1,2,3=9.设 /(%) = 3x2 +5,无=kh, (k =0,1,2, ),则差商/xn,xn+I,xn+2,xn+3=.10设/7(x)(; =0,1,2./?)是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则-(齐)=(f J = 0,1,2 “) ： f lj(x) =。丿(三.计算题1.给定数据X0235f(x)1-3-422.已知兀-1245他）-2457（1）用拉格朗日插值法求了X）的三次插值多项式禺"）：求X,使75）=0。3. 给左数据y（

6、76;）=1*（2） = 5,y（3） = 14,求三次拉格朗日插值多项式厶W4. 已知函数y=f在如下节点处的函数值X1012y1430（1）建立以上数据的差分表；（2）根据后三个节点建立二阶牛顿后插公式均（"），并计算HI）的近似值;5. 已知y二眉，兀二4,"二9,用线性插值求的近似值。6. 已知X1234F(x)021512计算三阶差商f 1,3, 4, 7 o7.已知儿1347f(' )021512求满足以上插值条件的牛顿型插值多项式。8.设JG）为k次多项式，心,西,兀2,X”为71 + 1个互异点,厶Q）为/（X）的“次插值多项 式。若k<n,试

7、证Ln（x） = f（x）o第三章函数逼近于计算一、填空题1.用二次多项式>（x） = a0+alx + a2x2,其中a0,a,a2是待定参数,拟合点（*1,）,（*22）昇,仕冷）,那么参数a0,apa2 是使误差平方和取最小值的解。2.已知数据对（xk,yit） （k = l,2,.,n），用直线y = a + bx拟合这n个点，则参数6 b满足的法方程组是.二、计算题1.已知一组实验数据如下Xi12345f(xj44.5688.5求它的拟合曲线（直线）.2、已知一组试验数据如下£20406080100f：4357.5510.4013.8016.80求它的拟合曲线（直线）

8、。3.求f（x） = x?在0, 1上求关于0 = spanl,x的一次最佳平方逼近多项式. 4已知如下数据表，试用最小二乘法求它的二次最小平方逼近多项式。X-1012y12505. / （x） = x,在上求关于0 = span 1,疋入*的最佳平方逼近。&已知6. 求f（x） =在区间1/4.1上的关于权函数P（x）T的一次最佳平方逼近多项式.-21012他）421357. 求/（X）= 3x3 + 3, + 5x 3在区间一1,1上的最佳二次逼近多项式.2求的形如y=abx的二次拟合曲线，并求声（°）的近似值。9已知n+l个数据点3J）（心0，1，2,），请用多种方法建

9、立这些数据点之间的函数关 系，并说明各种函数的适用条件。10.用最小二乘法解下列超定线性方程组：%)+ x2 = 4< x, + 2x2 = 7兀1_勺=211 求f(x) = x3在0, 1上的一次平方逼近多项式。第四章 数值积分与数值微分一、单项选择题1. 已知求积公式fCxxlfCD + Afcjj + lf，则人=().1112(A) 丄 (B) 1(0 丄(D)-63232. 已知n=4时牛顿-科特斯求积公式，科特斯系数C=2_,C；4>=1|,C=右，那么C<4>=( L(B) (O90452二(D)15CM 7 16 2 393. 已知节点(Xk，yQ,(

10、k = 0丄2,90 451590插值型两点求导公式是()13(A) y； «-(x0-x,)(B) y； «-i(x,-x()hh(c) y；«-(y0-y,)®)y；2；(y<)yjhh4求积分公式£f(x)dx«f(-l) + f(l)是()次代数精度.(A) 1(B)2(C)3(D)4二、填空题1.求积分公式£f(x)dx «|f(l)-lf(|) + |f(-)具有次代数精度.。343232设求积公式ff(x)dxyAkf(xk),若对的多项式积分公式ak-0精确成立，而至少有一个m + 1次多项式

11、不成立，则称该求积公式具有m次代 数精度.3. 已知n = 3时，科特斯系数C'3>=1,C；3)=C=-,那么C$>= .8 84.求初值问题y' = f(x,y)y(xo) = yo近似解的梯形公式是5个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为次，料个求积节点的高斯求积公式的代数精度为.6. 5个节点的牛顿柯特斯公式代数精度是.贝51内嘗7W + 1个节点的Gauss型求积公式具有次的代数精度.(* f(x)dx « A/(-) + A,/(0) + A J()&为使求积公式几3-3的代数精度尽量高，应使人产,血=, A严,此时公式具有次的代

12、数精度。9数值微分公式广(°)宀 W+ /“”/(/"的代数精度为.三、计算题1.试用n = 1,2,4的牛顿-科特斯求积公式计算定积分2. 已知勺= -,x = yx2 =424(1) 推导以这三点为求积节点在0J1±的插值型求积公式£ f(x)dx a A)/(£)+ 俎广()(2) 指明求积公式所具有的代数精度；用所求公式计算x2dx.r 11f« /(1) + 2+ 3/ (a2)13. 试求孔入使求积公式J-*312的代数精度尽量髙，并求其代数精度。4. 确泄下列求积公式中的待左参数，使英代数精确度尽量高，并指明求积公式所具

13、有的代数 精确度.flJ討gd(0) +琢(心)+ 0(1)5已知/(X)的函数值如下：X1.82.02.22.42.6/(X)3. 11. 16.08.01.00用复合梯形公式和复合辛普森公式求fs7(X)JA-的近似值.6已知/(X)的函数值如下表X-10.500.5 1-100.51.5 2用复合梯形公式和复合Simpson公式求的近似值.第五章常微分方程数值解法一、单项选择题1.解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是yk+1=l（yp + yc）,那么ypdc分别为() yp=yk+hf(Xk，yk) yc=yk+hf(xk+1,yp)()<fyP=yk+hf(xk+1

14、,yk) yc ='k+hf(Xk，yp)(yc=yk+hf(xk+1,yk)(D) JypTk+fXy)yc = yk+f(Xk，yp).2.求解常微分方程的二阶R-K方法的局部截断误差为（13(A) O(h!)(B) O(h2)(C) O(h3)(D) O(h4).）的局部截断误差为改进欧拉法四阶龙格一库塔法3 解微分方程初值问题的方法，（欧拉法（C）三阶龙格一库塔法（D）二. 计算题 1写出四阶经典龙格-库塔法求解初值问题爲的计算公式，并取步长h=0.2，计算y（0.4）的近似值，小数点后至少保留4位.2.用Euler方法求解初值问题取力=0.1在区间0,0.3计算，结果保留 &

15、gt;'（0） = 0到小数点后4位.3初值问题 < 一 有稱确y（x） = -ax2+bx,试证明：用Eulerb（o）= o2法以力为步长所得近似解儿的整体截断误差为= y（兀）-儿=ahxn4. 写出用四阶经典的龙格一库塔方法求解下列初值问题的计算公式：（无需计算）y'= x+ y1)|y(o)= i,0<x<l2),0<%<ly(o)= 1贝Fl内容5.用改进欧拉法求解V，=V+V (0<x<l),力=0.2,取两位小数。 y(0) = 16.取步长h = 0.29用梯形法解常微分方程初值问题y =5尹7(1) = 1(1 &l

16、t; X < 2)贝W)内容137写出前进欧拉公式、后退欧拉公式，并由这两个公式构造一个预估一校正公式求解下列常 微分方程的数值解。yf = x2+y2),(0) = 0(OKI, / = 0.2)第六章方程求根一.单项选择题1.求解方程f(x) = O,若f(x) = 0可以表示成x = 0(x),则用简单迭代法求根，那么0(x)满足()，近似根序列XpX2<-sXn，一定收敛.(D) |(x)|<r<l).(C) |z(x)|<r<l2 下列说法不正确的是(二分法不能用于求函数f(x) = 0的复根.(B) 方程求根的迭代解法的迭代函数为©(X

17、),则迭代收敛的充分条件是0(X)<1(0用高斯消元法求解线性方程组Ax = b时，在没有舍入误差的情况下得到 的都是精确解.(D)如果插值节点相同，在满足插值条件下用不同方法建立的插值公式是等价 的.3.为求方程1二0在区间1.3, 1.6内的一个根，把方程改写成下列形式, 并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是()°C."时D. “1 +不二百4.求解方程F = X 1+在(1, 2)内根的下列迭代法(1)中，收敛的迭代法是().A. (1)和(2)B.(2)和(3) C.和(4) D.和(1)二、填空题1. 牛顿下山法的下山条件为.2. 因为方程f(x) =

18、x-4 + 2x= 0在区间1,2上满足,所以f(x) = 0在 区间内有根。3. 求方程x2-x-1.25 = 0的近似根，用迭代公式x=Jx + 1.25，取初始值x0=l ,那么 = .4. 已知方程x3-x-l = O在区间(1,2)内有根，构造方程的一种迭代格式为Xk“=x：_l,则该迭代法收敛的(填是或不).5. 设/(力可微,求方程x =根的牛顿迭代格式是.6. 用牛顿下山法求解方程-x = 0根的迭代公式是,下山条件3是。7在非线性方程/(x)=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解， 且/(龙)的二阶导数不变号，则初始点xo的选取依据为&使用迭代计算的步骤

19、为建立迭代函数、迭代计算。9. 求方程P = cos x根的Newton迭代格式为。10. 迭代过程兀屮=攵敛的一个充分条件是迭代函数0(对满足11.设/(x)可微,求方程x = f(x)根的牛顿迭代格式是12. 用二分法求方程f(x) = x3+x-l = 0在区间0,1内的根，迭代进行二步后根所在区间为13. 用二分法求/(x)=0(xea> b)根的条件是.三、计算题1. 用Newton迭代法求方程f(x) = x3+ 2x-5 = 0的实根，x0=1.5 ,要求 l.-x.KlO-4.2. 用牛顿法求f(x) = x3-3x-l=0在x0=2附近的根，根的准确值X、1.87938

20、524，要求计算结果准确到四位有效数字3. 设"为常数，建立计算亦的牛顿迭代公式，并求后的近似值，要求计算结果保留小数点后5位。(6分)第七章解线性方程组的直接方法一、单项选择题1. 线性方程组Ax = b能用高斯消去法求解的充分必要条件是().(A) A为对称矩阵 (B) A为实矩阵(C) |A|H0(D) A的各阶顺序主子式不为零2. 当线性方程组AX = b的系数矩阵人是( )时，用列主元消去法解AX = b, A的主对角线上的元素一定是主元.(A)上三角形矩阵(B)主对角线元素不为0的矩阵(C) 对称且严格对角占优矩阵(D)正定对称矩阵3. 用选主元的方法解线性方程组Ax =

21、 b,是为了().(A)提高计算速度(B)减少舍入误差(0减少相对误(D )方便计算4. 在近似计算中，要注意以下原则：(1)计算速度快(2)避免大数“吃掉”小数，(3)防止溢出(4)减少计算次数列主元消元法解方程组心古是()A.和 B.和(3) C.(3)和D.和(1)5. 线性方程组AX=B能用高斯消元法求解的充分必要条件是()。A. A为对称矩阵B. A为实矩阵贝51内嘗C. I A I #0D. A的各阶顺序主子式不为零二、填空题1. 设向量x = l -2 3，则网=,|x|2= , |x|x=2. 己知A=,则|州=6 （1 分） |A|x =7 2 5 1 3. 设向量 x= 2

22、 侧|x|L =,|刈2,|x|L4使用消元法解线性方程组AX = B时，系数矩阵A可以分解为下三角矩阵厶和 上三角矩阵的乘积，即A = LU若采用高斯消元法解AX=Bf其中 4 -2A =L2 ，则厶=, u=（2 1）5 将A=作Doolittle分解（即厶U分解），则L二三、计算题11 1_n45 6111。1.用离斯消去法解线性方程组X + +X-i =&3 4 -5 -Xj + x2 + 2x3 =8.2x）+ 8x2 + 2x3 = 142. 用髙斯消去法求解方程组山+6花-勺=132% 兀2 + 2兀3 = 53X +x2 -x3 = 133.用列主元消去法解线性方程组.

23、12x,-3x2 + x3=454x2 +3x3 =一32x + 3x2 + 4x3 = 6,4.用列主元消去法解线性方程组3州+5勺+2七=5,4x, + 3x2 + 30x3 = 32."12 3、/X14、（本题10分）用LU分解法解线性方程组.2 5 2a2=18,3 1 5,6120丿_8-32_0_4 =16 0 6/;=106.求矩阵24314的LU分解，并求方程组= 的解，其中16第八章 解线性方程组的迭代法一、填空题1. 设矩阵A是对称正定矩阵，利用迭代法解线性方程组Ax = b,其迭代解数列一定收敛。2. 用20.对任意初始向量X。）及任意向量g,线性方程组的迭代公式伙=0,1,）收敛于