不定积分讲义B班

1、南昌工学院第 1 次课 2 学时课程安排：2学期，周学时 4 , 共 96 学时.主要内容： 要求：听课 、复习 、 作业 。本次课题：函数的单调性与凹凸性教学要求： 1.掌握函数的单调判定及单调区间求法；2.了解函数的凹凸性。重 点：函数单调性的判定难 点：函数单调性判定教学手段及教具：讲授为主讲授内容及时间分配：函数单调性的定义 15 函数函数单调性的判定及单调区间的求法 45 函数的凹凸性 30 课后作业参考资料函数的单调性与曲线的凹凸性1.函数的单调性定理1 (函数单调性的判定法) 设函数在上连续, 在内可导. (1)如果在内, 那么函数在上单调增加; (2)如果在内, 那么函数在上单

2、调减少. 注: 判定法中的闭区间可换成其他各种区间.例1讨论函数的单调性。解：函数在上连续，.令，得.因为在上，所以函数在单调增加；在上，所以函数在单调减少.例2 当时，证明.证明：设，则在上连续.由于当时有 则在上单调增加。 所以当时，.即当时，.求可导函数单调区间的一般步骤: (1)确定函数的定义域;(2)求导数,令,解方程求分界点;(3)用分界点将定义域分成区间;(4)判别在区间内的符号,即可确定函数的单调性和单调区间.例3 确定函数的单调区间. 解：函数的定义域为, ， 令得驻点: . 列表分析: 1 2+0-0+ 所以,函数在区间和内单调增加, 在区间上单调减少. 2.曲线的凹凸性与

3、拐点定义1 设在区间上连续，如果对上任意两点，恒有那么称在上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恒有那么称在上的图形是（向下）凸的（或凸弧）.定理2 设在上连续，在内具有一阶和二阶导数，那么（1） 若在内，则在上的图形是凹的；（2） 若在内，则在上的图形是凸的.定义2 拐点：连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点.注:拐点即是二阶导数发生变号的点，因此通常出现在二阶导数为0的点以及二阶导数不存在的点.确定曲线的凹凸区间和拐点的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求出二阶导数；(3)求使二阶导数为0的点和使二阶导数不存在的点；(4)判断或列表判断，根据二阶导数的符号确定出曲线凹凸区间和拐点

4、.例4 求曲线的凹凸区间及拐点.解：令得.当时，曲线在内为凸的；当时，曲线在内为凹的.点是曲线的拐点.课程安排：2学期，周学时 4 , 共 96 学时.主要内容： 要求：听课 、复习 、 作业 。本次课题：函数的极值教学要求： 1.理解原函数极值的定义2.掌握函数极值的判定方法重 点：极值的判定难 点：极值的判定教学手段及教具：讲授为主讲授内容及时间分配：极值的定义 20 分钟极值的判定 25分钟例题和习题 45分钟课后作业参考资料第 2 次课 2 学时函数的极值1. 函数极值及求法 定义1 如果在邻域内，恒有，则称为函数的极大（小）值.使函数取得极值的点称为极值点.使函数导数为零的点称为驻点

5、.注：极值为局部的最值;极值点为函数单调性改变的点;(3) 可能取得极值的点：不存在的点与的点（驻点）.驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点.定理1(极值的第一充分条件) 如果（或不存在），(1) 当，；当，,则在处取得极大值;(2) 当，；当，,则在处取得极小值;(3) 在左侧与右侧符号相同，则在处不取极值.确定极值点和极值的步骤: (1) 确定函数的定义域; (2) 求出导数,并求出的全部驻点和不可导点; (3) 列表判断(考察的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况, 以便确定该点是否是极值点, 如果是极值点, 还要确定对应的函数值是极大值还是极小值); (4) 确定出函数的所有极

6、值点和极值. 例1 求函数的极值.解：函数的定义域为,，令得驻点: 列表如下： -1 3+0-0+ 极大值 极小值所以,极大值为,极小值为.若函数在驻点处的二阶导数存在且不为零，可以利用以下定理判断.定理2（极值的第二充分条件） 设函数在点处有二阶导数，且，那么 (1)若时，函数在是极大值； (2)若时，函数在是极小值.注：若驻点处，则不能用上述定理判断.例2 求函数的极值.解：，由得驻点，因为，因为上述定理，函数在处有极小值.但是，所以不能用上述定理，用定理1来判断.由于当在-1的左侧小邻域时，；当在-1的右侧小邻域时，故不是极值点. 同理可得也不是极值点.第 3 次课 2 学时课程安排：2

7、学期，周学时 4 , 共 96 学时.主要内容： 要求：听课 、复习 、 作业 。本次课题：不定积分的概念与性质教学要求： 1.理解原函数概念、不定积分的概念；2.了解不定积分的性质重 点：不定积分的概念；不定积分的性质难 点：不定积分的性质教学手段及教具：讲授为主讲授内容及时间分配：原函数与不定积分的概念 20 分钟不定积分的性质 20分钟例题和习题 50分钟课后作业参考资料不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念定义1 在区间上，如果可导函数的导函数为，即对任一都有或 那么函数就称为 (或)在区间上的原函数. 例如 因为(sin x)¢=cos x , 所以sin x 是c

8、os x 的原函数. 又如当x Î(1, +¥)时, 因为, 所以是的原函数. 提问: cos x和还有其它原函数吗？原函数存在定理 如果函数在区间上连续，那么在区间上存在可导函数，使对任一都有. 注：连续函数一定有原函数. ,如果函数在区间上有原函数，那么就有无限多个原函数，都是的原函数，其中是任意常数. 的任意两个原函数之间只差一个常数，即如果和都是的原函数，则 (为某个常数).定义2 如果是在区间上的一个原函数，则的全体原函数(是任意常数)称为 (或)在区间上的不定积分,即. 其中记号称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量，为积分常数。 根据定义, 如

9、果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数, 那么F(x)+C就是f(x)的不定积分, 即. 因而不定积分可以表示f(x)的任意一个原函数. 例1. 因为sin x 是cos x 的原函数, 所以 .例2.求解：因为是的原函数, 所以 练习1. 求函数的不定积分二、不定积分的性质性质1 不定积分的导数等于被积函数，即例3.求解：性质2 函数的导数的不定积分等于该函数本身加上一个任意常数，即或例4. 求解：性质3 两个函数代数和的不定积分等各个函数不定积分的代数和，即.例5. 求解：性质4 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来，即例6.求解：练习2.求 练习3.求练习4.求第 4 次课

10、 2 学时课程安排：2学期，周学时 4 , 共 96 学时.主要内容： 要求：听课 、复习 、 作业 。本次课题：不定积分的概念与性质教学要求： 1.理解原函数概念、不定积分的概念；2.了解不定积分的性质；3.掌握不定积分的基本公式.重 点：不定积分的概念；不定积分的性质及基本公式难 点：不定积分的性质及基本公式教学手段及教具：讲授为主讲授内容及时间分配：复习原函数与不定积分的概念与性质 20 分钟不定积分的基本公式 20分钟例题和习题 50分钟课后作业参考资料不定积分的概念与性质一、 复习原函数与不定积分的概念与性质定义1 在区间上，如果可导函数的导函数为，即对任一都有或 那么函数就称为 (

11、或)在区间上的原函数定义2 如果是在区间上的一个原函数，则的全体原函数(是任意常数)称为 (或)在区间上的不定积分,即性质1 不定积分的导数等于被积函数，即性质2 函数的导数的不定积分等于该函数本身加上一个任意常数，即或性质3 两个函数代数和的不定积分等各个函数不定积分的代数和，即.性质4 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来，即练习1. 求练习2. 求练习3. 求练习4. 求练习5. 求,其中为常数二、基本积分表(1)(k是常数), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9), (10), (11), 例1 求解：. 例2. 求解：. 例3. 求解

12、：.练习6. 求，其中为常数练习7. 求练习8. 求练习9. 求练习10.求课程安排：2学期主要内容： 要求：听课 、复习 、 作业 本次课题：第二讲 换元积分法教学要求：掌握第一换元法重 点： 第一换元积分难 点： 第一换元积分教学手段及教具：讲授为主讲授内容及时间分配： 第一换元积分 30分钟 例题和习题 60分钟课后作业参考资料第 5 次课 2 学时换元积分法考察不定积分.设有原函数，且可微, 那么，根据复合函数微分法, 有所以 因此 .定理1 设导数存在，则这就是不定积分的第一类换元法注：在求积分时, 如果函数可以化为的形式, 那么，所以第一类换元法也称为“凑微分法”.例1. =sin

13、 2x+C . 例2. .例3. .例4. . 例5. =-ln|cos x|+C . 即 .注：熟练之后, 变量代换就不必再写出了. 例6. . 即 .例7. .练习1. 2.3. 4.5. 6.课程安排：2学期，周学时 4 , 共 96学时.主要内容：极限、一元微积分、常微分方程。要求：听课 、复习 、 作业 。本次课题：换元积分法教学要求：掌握第二换元积分重 点：第二换元积分难 点：第二换元积分教学手段及教具：讲授为主讲授内容及时间分配：复习第一换元积分 20分钟第一换元积分 30分钟例题和习题 40分钟课后作业参考资料第 6 次课 2 学时换元积分法一、 复习第一类换元法二、第二类换元

14、法定理2 设是单调的可导的函数, 并且，又具有原函数, 则有换元公式.其中是的反函数. 注：第二换元法过程三、例题 . 例1. 求(). 解: 设 , , 那么, 于是 . 因为, , 所以. 例2. 求(). 解: 设, , 那么 , 例3. 求(a>0). 解: 当时, 设 (), 那么=a tan t , 于是= ln |sec t + tan t |+C . 因为, , 所以= ln |sec t + tan t |+C , 其中 . 当时, 令, 则, 于是 , 其中. 综合起来有.例4. 解： . 练习1. 2.3. 4. 5. 课程安排：2学期，周学时 4 , 共 96学时

15、.主要内容：要求：听课 、复习 、 作业 。本次课题：换元积分法教学要求：掌握第一换元积分和第二换元积分重 点：第一换元积分和第二换元积分难 点：第一换元积分和第二换元积分教学手段及教具：讲授为主讲授内容及时间分配：复习第一换元积分和第二换元积分 30分钟例题讲解和习题 60分钟课后作业参考资料第 7 次课 2 学时换元积分法一、复习换元积分法第一类换元积分法设导数存在，则这就是不定积分的第一类换元法第二类换元积分法设是单调的可导的函数, 并且，又具有原函数, 则有换元公式.其中是的反函数.二例题例1.求解：例2求解：例3.求解：例4.求解：例5. ; 解： . 例6. ; 解： . 例7.求

16、解：例8.求解： 例9. 练习1. 2.3. 4. 5. 6. 课程安排：2学期，周学时 4 , 共 96学时.主要内容：极限、一元微积分、常微分方程。本次课题：分部积分法教学要求：掌握分部积分法重 点：分部积分法及其应用难 点：分部积分法中，u和v的选取教学手段及教具：讲授为主讲授内容及时间分配：分部积分法 30分钟例题讲解和习题 60分钟课后作业参考资料第 8 次课 2 学时分部积分法一 分部积分法试求、，通过求解发现，换元积分法无法解决这种两个函数乘积的不定积分的问题.1. 分部积分法设函数及具有连续导数.，那么，两个函数乘积的导数公式为 移项得 对这个等式两边求不定积分, 得 , 或,这个公式称为分部积分公式. 二、例题例1. 求解：方法一、设，那么，于是. 方法二、设，那么，于是显然比原来的积分更不容易求出，所以，要适当的选择.注：对于选择的十字口诀：指三幂对反，选后当先.熟悉了分部积分的步骤之后，可以不明确写出,而直接用公式来做.例1 求解：=x sin x-cos x+C .例2 求解：. 例3 求解： =x2ex-2xex+2ex+C =ex(x2-2x+2 )+C. 例4 求解： . 例5 求解： . 例6 求解： .例7 求. 解： 因为 , 所以 . 练习1. 2.3. 4.5. 6.课程安排：