2020年整合近世代数模拟试题1及答案名师精品资料

1、近世代数模拟试题一.单项选择题（每题5分，共25分）1. 在整数加群（Z，+ ）中，下列那个是单位元（）.A. 0B. 1C. -1D. 1/n, n 是整数2. 下列说法不正确的是（）.A . G只包含一个元g,乘法是gg= g。G对这个乘法来说作成一个群B. G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群；C. G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群；D. G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群.3. 如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是（）.A .反身性B.对称性 C.传递性 D.封闭性4. 对整数加群Z来说，下列 不正确的是（）.A. Z没有生成元.B.

2、 1是其生成元.C. 1是其生成元.D. Z是无限循环群.5. 下列叙述正确的是（）。A. 群G是指一个集合.B. 环R是指一个集合.C. 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元， 逆元存在.D. 环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在.计算题（每题10分，共30分）1. 设G是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成的群，试求中G中下列各个元素c ="5<°3"Cd，的阶.2. 试求出三次对称群S3 一(1) , (12), (13), (23) ,(1 23) , (1 32)的所有子群.3. 若e

3、是环R的惟一左单位元，那么e是R的单位元吗？若是 请给予证明三.证明题（第1小题10分，第2小题15分，第3小题20分, 共45分）.1. 证明：在群中只有单位元满足方程2x x.2. 设G是正有理数乘群，G是整数加群.证明:;:2lb Tna是群G到G的一个满同态，其中a,b是整数，而（ab,2） =1.3. 设S是环R的一个子环.证明：如果R与S都有单位元，但 不相等，则S的单位元必为R的一个零因子.近世代数模拟试题答案2008年11月、单项选择题（每题5分，共25分）二.计算题(每题10分，共30分)1. 解：易知 c的阶无限，d的阶为2.但是“ 1 )cd =,-1 丿的阶有限，是2.

4、2. 解：S3的以下六个子集已,(1)二 H2：(1),(12)二 H3 =(1),(13)1,出兀(1),(23)二 出八(1),(123),(132，叫二对置换乘法都是封闭的，因此都是S3的子集.3. 解：e是R的单位元。事实上，任取a,bR,则因e是R的左单位元，故(aea e)b 二 a(eb)ab eb 二 abab b 二 b,即ae-a e也是R的左单位元。故有题设得ae - a e 二 e, ae = a.即 e是r的单位元.三、证明题(每小题15分共45分)1 . 证明：设e是G的单位元，则e显然满足所说的方程(3分)(3分)(2分)(2分)(7分)(3分)（3分）另外，设a，G且a2二a，则有a'a?二a'a,即 a = e（5分）（2 分）即只有e满足方程2.证明： :显然是G到G的一个满射（3 分）又由于 当（ab,2） =1, （cd,2） “时有（abcd,2） =1（ 4 分）（2n b 2m d）（2n m 也）“ m且a Cac（ 6 分）= cp（2n .b/P（2m 1）,ac故 是群G到G的一个同态满射。（2分）3 证明：分别用e和e表示R与S的单位元，且e =，于是e不是R的单位元。（3分）因此，存在0 a R，使ae丄 a或ea = a（5 分）如果 ae a，贝U ae"-a =