高考数学主题复习——函数周期性与对称性

1、函数的周期性与对称性函数周期性与对称性一、函数周期：对于f(x)定义域内的每一个 x，都存在非零常数 T,使得f(x T) f(x)恒成立，则 称函数f(x)具有周期性，T叫做f (x)的一个周期，则kT( k Z,k 0 )也是f(x)的周期，所有周期 中的最小正数叫 f(x)的最小正周期.一般所说的周期是指函数的最小正周期周期函数的定义域一定是无限集11 f (x)例如：求 f (x a) f (x), f (x a), f (x a)的周期f(x)1 f(x)1. 常见函数周期：y=sinx ,最小正周期 T= 2n ;y=cosx,最小正周期 T= 2n ;y=tanx，最小正周期T=

2、n;y=cotx ,最小正周期T= n .周期函数f(x)最小正周期为 T,则y=Af( 3x+ 0 )+k的最小正周期为 T/| 3 |.2. 几种特殊的抽象函数的周期： 函数y f x满足对定义域内任一实数 x (其中a为常数)， fx f x a，则y fx是以T a为周期的周期函数； f x a f x，贝U f x是以T 2a为周期的周期函数；1 f x a，贝U f x是以T 2a为周期的周期函数；f x fxa f x a，则fx是以T 2a为周期的周期函数； f(x a) 1 f (x)，则fx是以T 2a为周期的周期函数.1 f(x) f (x a)1一3，则f x是以T 4

3、a为周期的周期函数.1 f(x) f(x a) 1 f(x)，则fx是以T 4a为周期的周期函数.1 f(x) 函数y f (x)满足f (a x) f (a x) ( a 0)，若f (x)为奇函数，则其周期为 T 4a ,若f (x)为偶函数，则其周期为 T 2a. 函数yf(x)xR的图象关于直线x a和x b ab都对称，则函数f (x)是以2 b a为周期的周期函数； 函数yf(x)xR的图象关于两点A a,y0、B b, y0 a b都对称，则函数f(x)是以2 b a为周期的周期函数；(11)函数y f(x) x R的图象关于 A a, y0和直线x b a b都对称，则函数f(

4、x)是以4 b a为 周期的周期函数；(二)主要方法：1. 判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：一是对定义域中任意的x恒有f(x T) f(x);二是能找到适合这一等式的非零常数T, 一般来说，周期函数的定义域均为无限集.2. 解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，还要注意根据 所要解决的问题的特征来进行赋值。二、对称性：函数关于原点对称即奇函数： f( x) f (x)5函数的周期性与对称性函数关于y对称即偶函数：f( x) f(x)函数关于直线 x a对称：f (x a) f (a x)或 f (x) f (2a x)或者函数关于点(a,b)对称：

5、f(x+a)+f(a-x)=2b1. f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0在区间(0, 6)内解的个数的最小值是A. 2; B. 3; C. 4;D. 52设函数f(x)(x R)为奇函数,1f(1) ?f(x 2) f(x)f(2),则 f(5)(A. 0B. 15c.2D. 53.已知f(x)是R上的偶函数，对x R都有 f(x + 6)=f(x)+ f(3)成立，若 f(1)=2，则 f(2011)=()A、 2005B、24.设f (x)是定义在R上以6为周期的函数,x=3对称，则下面正确的结论是f (x)在(0,3)内单调递减，且y=f (x)的图象关于直线(A)

6、 f1.5 f 3.5f 6.5 ;B) f3.5 f 1.5f 6.5 ;(C) f6.5 f 3.5 f 1.5 ；(D)f 3.5f 6.51.55 设函数f (x)与g(x)的定义域是1 ,函数f (x)是个偶函数,g(x)是个奇函数，且f(x 2a) f ( x)1f (x) g(x)，则 f(x)等于x 1A"B.2x2x2 1C.2x21D.2xx2 16.已知定义在R上的函数f (x)的图象关于则f (1) + f+ f (2010)的值为( A. -B.3(4,0)成中心对称，且满足)f (x) = f (x32), f( 1)1, f (0) = 2C. 0D.

7、17.已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf (x 1)(1 x)f(x),5则f (f()的值是2A.01B.2C.15D.-28.若f(x)是定义在R上的奇函数,且当 x v 0时,f(x)f 2 1 2则 f(2009)12 对称,则 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=9. y f x定义域为R,且对任意x R都有f x 10 .设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f(x)的图象关于直线 xO111:已知函数f(x)在(-1, 1)上有定义，f( )= 1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y ( 1,

8、1)都有x yf(x)+f(y)=f( 1 xy )，试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(一1, 1)上单调递减.12.已知函数y= f (x)是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y f (x)( 1 x 1)是奇函数 又知y= f (x)在0,1上是一次函数，在1,4上是二次函数，且在 x=2时函数取得最小值5.证明：ff0 ；求y f(x),x 1,4的解析式；求 y f (x)在4,9上的解析式.x ea13 .设a0,(x)x是R上的偶函数.ae(I)求a的值；(n)证明f (x)在(0, +8)上是增函数.14设f(x )疋疋乂在1R上的偶函数，其图象关于直线xl对

9、称 对任意x i , x 2 0 ,都有2f ( xi +X 2 )=f(Xi) f ( x 2),且 f (1)= a >0.111(I )求f (), f() ; ( n )证明f ( x)是周期函数；(川)记an = f (2 n + )，求an .242n参考答案7.解析：令x1 1 1 ,则f ()1 f (11 1)f()2 2 2222 2由 xf (x1)(1x)f (x)得 f (xx1)1f (x)，所以x53f(2)23诲5 f(3) 5 23f(2) 3 Ifg)05f(f(5)228. 29. -1-2 1o.o1f(2)0 ；令x0，则 f(0)0f(0)0

10、,故选择A。函数的周期性与对称性X y11. 证明：由 f(x)+f(y)=f(i xy)可令 x=y=O,得 f(0)=0.令 y= X,得 f(X)+f( X)=f(x x)=f(0)=0.f(x)= f( x). / f(x)为奇函数X2xi先证 f(x)在(0 , 1)上单调递减令 0<X1<X2<1,则 f(X2) f(xi)=f(x2)+f( xi)=f( 1 )-X2 X1- 0<X1<X2<1, X2 X1>0,1 X1X2>01 >0,X2 X1入 2 入 1又(X2 X1) (1 X2X1)=(X2 1)(X1+1)&l

11、t;0，二 X2 X1<1 X2X1,. 0< 1 x x <1,由题意知 f( )<0 ,即f(X2)<f(X1). f(x)在(0, 1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0 f(x)在(1 , 1)上为减函数12. 解：T f (x)是以5为周期的周期函数， f (4) f (4 5) f( 1),又T y f(x)( 1 x 1)是奇函数， f (1) f( 1)f(4) , f (1)f(4)0 当X 1,4时，由题意可设f (x) a(x 2)2 5 (a 0),由 f(1) f (4)0 得 a(1 2)2 5 a(4 2)2 50, a 2

12、, 2f(x) 2(x 2)5(1 x 4) y f (x)( 1 x 1)是奇函数， f (0)0,又知 y= f (x)在0,1上是一次函数，可设f(x) kx(0 x 1),而 f (1) 2(1 2)2 53,丄)o对一切xXe k 3，当 0 X 1 时，f (x)=-3x,从而当1x 0时,f(x)f( X)3x，故 1X1 时，f (x)=-3x,.当 4X6时，有1 X5 1 , 0.当6 x9时，1 X54 , f (x)f(x 5)2(x25) 2522(x 7)3x 15,4x 6 f (x)22(x 7)5,6 x913.(I)解:依题意，对一切x R有 f(x) f

13、(x)，X即ea .X1Xx ae ,5aeR成立.a e所以(a(II)1)7由此得到证明一：设1a -a0 < X1< X2,0,即a2=1.又因为a>0,所以a=1.X1 _X2f (x1) f (x2) e 1 eX2X1X2(eX2eX1)(-1eX1 X21)eX2X1X2X1函数的周期性与对称性13X2 XiX2 X由X10,X20,X2X10,得X1X20,e"2w 10,1e"2"0.f(xj f(X2) 0,即 f (X)在(0, +s)上是增函数.证明二：由f(x) exe x 得 f (x) ex exx “ 2xe (e

14、 1).当X所以14.( I )解：因为对x(0,)时，有 e x 0,e2x 1f (x)在(0, +)上是增函数.1，都有f2o,此时 f (x)0.1,x 2 0,(Xl+X2)= f (X 1) f(X 2),所以f(x)f(2 2)2 2f(£)2f(1)1 1f(4 -)44f(1)(1) =a > 0,f(1)a,f(1)1a4fXf(-) 0,x 0,1Q f(1)2113 【f(；)441 1f(2 2)f(1)1 2f(2)42(n )证明：依题设y = f ( 故 f(X)=f(l + 1: 又由f ( X )是偶函数知f ( 将上式中一x以X代换，得f

15、(:X)X ),关于直线即fX )= X )=x = 1对称，x) = f (2 (x) , x R, (x + 2),X ), fx Rx (x )(2 x ) , x R,这表明f ( X )是R上的周期函数，且 (川)解：由(I )知f ( x )0,1f(；)21 1)咕(n 丄 2nf(n 2n1f() f(n 1) 2n2是它的一个周期. 0,1 丄2n11L L f() f() L2n2n1)1、nf(2n)1迟)a f(2n)(X )的一个周期是2 /. f)=f (2n1),因此2n1an=a2n(三)典例分析：问题1. ( 06山东)已知定义在 R上的奇函数f (x)满足f

16、(x 2)B. 0f (x)，则f (6)的值为A. 1C.1D. 2(00上海)设f(x)的最小正周期T 2且f (x)为偶函数,它在区间0, 1上的图象如右图所示的线段AB ,则在区间1, 2上,f(x)22已知函数f(x)是周期为2的函数，当 1 x 1时，f (x) x当19 x 21时，f (x)的解析式是是定义在R上的以2为周期的函数，对 k Z,用Ik表示区间2k 1,2k1 ,已知当xIo时,2f x X ,求f X在Ik上的解析式。问题3 1(04福建)定义在R上的函数fx满足f xf x 2，当 x 3,5 时,fx2x 4，则A. f sin f cos;B. f sin

17、1f cos1 ；166C.D. f cos2f sin 2sin 2f 2f cos332 ( 05天津文) 设f (x)是定义在R上以6为周期的函数,f(x)在(0,3)内单调递减,且y f (x)的图像关于直线 x 3对称，则下面正确的结论是A. f (1.5) f (3.5) f (6.5)B. f(3.5)f(1.5)f(6.5)C. f (6.5) f (3.5) f(1.5)问题4 定义在R上的函数f x，对任意xD. f (3.5)R，有 f x yf(6.5)f xf(1.5)2f x f y，且 f 00,1求证：f 01 ；2判断f x的奇偶性;意的 x(, x210,，

18、都有f(X1 X2)f (X1)f(X2).21 设 f(1)12，求 f(;)、1、f(：)； 2证明：f (x)是周期函数3记anf 2n 丄，求 lim(ln an)2nnc3若存在非零常数c,使f0,证明对任意x R都有f x c f x成立;2函数f x是不是周期函数，为什么？问题5 ( 01全国)设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线 x 1对称，对任(四)巩固练习：1. ( 03北京春)若存在常数 p 0,使得函数f(x)满足f ( px) f (px卫)x R ,2f (x)的一个正周期为 2. 设函数f x ( x R)是以3为周期的奇函数，且A. a 2 B. a

19、2 C. a 1 D. a3. 函数f (x)既是定义域为R的偶函数，又是以2为周期的周期函数，若f(x)在 1,0上是减函数，那么A增函数1, f 2 a，则1x 14.设 f(x)x 1f (x)在 2,3B.减函数，记 fn(X)上是C.先增后减函数D.先减后增函数P4f2f43f (x)，则 f2007(x)n个 f(五)课后作业：1.已知函数f (x)是以2为周期的周期函数，且当“ 38AB.-55f (log210)的值为x 0,1 时,C. 38xf (x)21，则D.532.设偶函数f (x)对任意x R，都有f (x 3)且当x3, 2 时,f(x) 2x，则 f (113.

20、5)1 -D1 - 5G2 - 7B2 - 7A3.设函数f (x)是定义在R上的奇函数，对于任意的x都有f(x1)3.已知1 f(x)1 f(x)D.丄212f(x)是定义在实数集 R上的函数，满足f (x 2) f (x)，且x 0, 2时，f(x) 2x x2. 12,0时，f (x)的表达式；2证明f (x)是R上的奇函数.x W 1 时，f(x) 2x，贝y f (11.5)A.1 B. 1C.且满足f(x)心)，又 f(1) 1，34. ( 05朝阳模拟)已知函数 f (x)的图象关于点-,0对称,f(0)2，求 f(1) f (2)f(3) f (2006)的值(六)走向高考：1. ( 05福建)f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)0在区间0,6内