高等数学笔记

1、函数§函数的概念 一、区间、邻域自然数集N建立数轴后:整数集Z 有理数集Q 实数集R实数对应数轴上的点codelast, com原点o建立某一实数集A与数轴上某一区间对应 区间：设有数a,b,a<b，则称实数集x|a<x<b为一个开区间，记为（a,b） 即（a,b）= x|a<x<ba称为（a,b）的左端点，b称为（a,b）的右端点。a?(a, b),b?(a,b)闭区间：a,b= x|aWW) a a,b,b a,b文章来源： 半开区间：a,b)= x|aQ>, a a,b),b?a,b) (a,b= x|a<xb, a (a,b, b?

2、(a,ba, b都是确定的实数，称(a,b),a,b),(a,b, a,b为有限区间，b- a "称为区间长度。记号:+g正无穷大-g负无穷大区间：a,+ g )=X|a$ (a,+ g )=x|a<x(-g?= x|x(-g?)= x|x<b称为无穷区间(或无限区间)文章来源：codelst com邻域：设有两个实数a,&（>0）,则称实数集x|a- &x<a+$为点a的S邻域，记为N（a,寻a称为N(a,寻的中心， AO称为邻域N(a,的半径。去心邻域:把N(a, A的中心点a去掉，称为点a的去心邻域，记为 N(aA,沪x|O<|x-

3、 a|< A= N(a,？a 注：其中，? a表示去掉由a这一个数组成的数集。二、函数概念例1.设圆的半径为x(x>0)，它的面积A= n2,当x在(0,+ a)任取一个数值(记为？x (0,+ )时，由关系式A= n2就 可以确定A的对应数值。文章来源：例2.设有半径为r的圆，作圆的内接正n边形，每一边对应的圆心角a=2 nn，周长Si=n?2rsinnn,当边数n在自然数集N(n >3)任取一个数，通过关系式Sn=2nrsin nn就有一个9对应确定数值。函数定义：设有数集X,Y，f是一个确定的对应法则，对？x X，通过对应法则f都有唯一的y Y与x对应，记为fy， 或f

4、(x)=y，则称f为定义在X上的函数。其中X称为f的定义域，常记为Df。X 自变量，Y 因变量。当X遍取X中的一切数时，那么与之对应的 y值构成一个数集Vf=yy=f(x),x X，称Vf为函数f的值域。文章来源：注意：(1) 一个函数是由x,y的对应法则f与x的取值范围X所确定的。把 对应法则f”定义域”称为函数定义的两个要素。 例如，y=arcsin(x2+2)这个式子，由于x2+2>2，而只有当|x2+2| wi时，arcsin才有意义，因此这个式子不构成函数关系。又例如，y=lnx2与y=2lnx不是同一个函数，因为定义域不同。而 y=lnx2与y=2ln|x|是同一个函数，因为

5、定义域相同。(2) 函数的值域是定义域和对应法则共同确定的。(3) 确定函数定义域时，注意：若函数有实际意义，需依据实际问题是否有意义来确定。若函数不表示某实际问题，则定义域为自变量所能取得的使函数y=f(x)成立的一切实数所组成的数值。函数的几何意义：设函数y=f(x)定义域为Df，?x Df，对应函数值y=f(x)在XOY平面上得到点(x,y)，当x遍取Df中一 切实数时，就得到点集P=( x,y)|y=f(x),x Df。点集P称为函数y=f(x)的图形。文章来源：三、函数的几个简单性质1. 函数的有界性若？M>0,s.t.|f(x)| W,x I，则称y=f(x)在区间I上有界。

6、否则称f(x)在I上无界。注：s.t.是使得，满足于”的意思，I表示某个区间。例如，y=sinx 在 1=(- g，+ )上是有界的(/ |sinx| <(-，+。又如，y=ix2+i在(-g，+ g上有界。对任何正数M>0 (无论多么大)，总？xi l,s.t.|f(xi)|>M，则称f(x)在I上无界。例如，y=ix在(0,1)内无界。证明：对给定的M>0 (不妨设M>1 )，无论M多么大，必存在x1 = 12M (0,1)，使f(xl)=ll2M=2M >MN也是f(x)的函数的上界、下界：若？M (不局限于正数)，s.t.f(x)呦,？x I，则称f

7、(x)在区间I上有界。任何一个数N>M， 一个上界。若？P,s.t.f(x) =P,?x I，则称f(x)在区间I上有下界。若QvP，则Q也是一个下界。f(x)在区间I上有界？ f(x)在I上既有下界又有上界(？ ”表示充分必要条件)。 证明：设 f(x)在 I 上有界，根据定义，？M>O,s.t.|f(x)| M,?x I。|f(x)| M? - M <f(x)如因此f(x)有下界-M，也有上界M (对？x I )反之，设f(x)在I上既有下界m，又有上界N，即m<f(x)汆如果 m=N=O，则 f(x) = 0?x I f(x)在I上有界。如果m,N不同时为零，取M

8、=max| m|,|N|>0，则-M<-m| "mf(x)汆<N| 如即-M尋(x)如？ |f(x)| M,?x I. f(x)在I上有界。2. 函数的单调性若函数f(x)在区间I上，对任何X1,X2 I，且x1<x2，恒有f(X1)vf(X2)，则称f(x)在I上是严格单调增的。若x1<x2，恒有f(X1) #(x2)，则称f(x)在区间I上广义单调增(或直接称为单调增，或称非减的)。若X1<X2，恒有f(X1)>f(X2)，则称f(x)在I上严格单调减。类似地，也有广义单调减(单调减，非增的)的概念。文章来源：例如，y=x2,Df=(-

9、g，+ g)在(0,+ g上, y=x2严格单增。在(-g,0)上, y=x2严格单减。又如，取整函数(取一个数的整数部分)：y=x= ?-1,-1 叹<00,0 实<11,1 实<22,2 实<3其函数图形如下：codelastcom1 'f*L 二H取整函数是一个广义单增/单调增/非减函数。文章来源：3. 函数的奇偶性若f(x)在关于原点对称的区间I上满足f(- x)=f(x)，则称f(x)为偶函数 若满足f(- X)=- f(x)，则称f(x)为奇函数。偶函数图形关于y轴对称(例如：cosx,x2 )奇函数图形关于原点对称(例如：sinx,x3 )4. 函

10、数的周期性设f(x)的定义域为Df，如果存在非零的常数T,s.t.对任意的x Df，有(x ±T) Df,且f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函 数，T称为f(x)的周期(通常周期是指最小正周期)。文章来源：四、复合函数，反函数1. 复合函数设y=u Vu=1- x2，把u=1- x2代入y=uV中，得到y=1- x2- V，称为由y=uV与 u=1- x2复合而成的复合函数。一般定义：设y=f(u)是数集Y上的函数(Y是f(u)的定义域)，u=以x)的定义域为X，值域为Y©,且Y©工(表示空集)，丫椒丫(表 示丫©是丫的子集)，这时，对？x X

11、，通过u都有唯一的y值与之对应，从而在X上产生一个新函数，用f?$ (中间是一个 实心的点)表示，称f°(中间是一个空心的圈)为 X上的复合函数：f f?y，或 y=f$(x)y=f «x)的定义域：由u= «x)的定义域中使函数u=x)的值域Y©满足Y©?Y的那一部分实数组成。1. 复合函数y=f(u),u=gx)? y=f(XX)注意：f Xx)与X(x)定义域不一定相同。例 1.设 f(x)=x2+1x2-1 , X(x)=11+x，求 f X(x)并确定定义域。解：f X(x)= Xx)2+1 Xx)2-1 =11 + x2+111+x

12、2-1 =- x2+2x+2x(x+2)当x丰-1 (由11+x可知)且XK ex丰-2时f X(x)有定义。即f X(x)定义域为：(-s ,-2)U (-2,-1) U (- 1,0) U (0,+ a)2. 反函数设有函数y=f(x)，定义域Df，值域Vf。？y Vf，至少可以确定一个x Df,s.t.f(x)=y，如果把y看作自变量，把x看作因 变量，由函数概念，可以看到一个新函数，记为x=f-1(y)，称为y=f(x)的反函数。反函数的定义域为Vf，值域为Df，把y=f(x)称为直接函数，x=f-1(y)称为反函数。注意：1. 虽然直接函数y=f(x)是单值的，但反函数x=f-1(y

13、)不一定是单值的。例如，函数 y=x2,Df：(- g，+ *V,f：0,+ s反函数x=f- 1(y)不是单值的(因为对？y 0,+ g，得到x=±yV，有两个值-y V，+V，为双值函数)。x= yV是个单值支。2. 如果直接函数y = f(x)严格单调，则其反函数x=f- 1(y)也是单值单调的。3. 直接函数y=f(x)与反函数x=f-1(y)图形相同，习惯上以x表示自变量，y表示因变量，反函数记为y=f- 1(x)。这时，y=f(x)与y=f- 1(x)的图形关于直线y=x对称，如下图所示：I/L/ / J丿彳二广(X)/ codelasLcom/例 1.设y=f(x)=

14、x2,-2< x<1x2,1 纟W2,求反函数 y=f_i(x)解：当-2<x<1 时，y=x2,-1< y<i2? x=2y，定义域-1<y<i2当1WW2时，y=x2,-1雪<4 x=+yV (因为x是正数)，定义域-1制<4综上所述，反函数为：x=f- i(y)=2 y,-1< y<i2yV ,-1 y<4或：y=f- 1(x)=2 x,-1< x<12xV,-1 x<4文章来源：之初等函数一、基本初等函数6类函数：幕函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、常量函数(例如 y=C )称

15、为基本初等函数。二、初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的、能够用一个数学式子表达的函数称为初等函数例如：y=arcsin1- x2V ,y=ln(x+ex)文章来源：初等函数结构分析例如：分析y=ln(1+xV)的结构解：y=ln u,u=1 + xV =1x12令 u=1+x12,v=1, w=x12 y=ln u,u=v+w,v=1,w=x12三、双曲函数双曲正弦函数shx=ex- e- x2双曲余弦函数chx=ex+e- x2双曲正切函数 thx = shxchx= ex- e- xex+ e- x以上函数与三角函数有类似性质：ch2x- sh2x=1sh

16、2x=2shxchx 类似于 sin2x=2sinxcosxch2x=ch2x+sh2x三角函数有周期性，双曲函数没有周期性，这是最大的区别。文章来源：反双曲正弦函数： arshx注意：不是arc反双曲余弦函数： archx反双曲正切函数：arthx求双曲函数的反函数的表达式：令 y=arshx? x=shy=ey- e- y2令 u=ey? 2x=u- 1u? u2- 2xu-1=0由二次方程的求根公式，得：u = 2x±4x2+4v2=x ±2 + 1 V即 ey=x±x2+1 V/ ey>0 ey=x+x2+1 V y=ln(x+x2+1 V )即 a

17、rshx=ln(x+x2+l V )用类似方法可推出：arshx=ln(x+x2+l V) archx =In(x+x1 V) arthx = i2|n( 1+xi- x)文章来源：第2章极限主要内容：一、极限概念：数列概念、函数概念二、极限性质和运算，无穷小概念和比较三、函数的连续性日数列的极限一、数列极限定义数列：设有定义在自然数集N上的函数un=f(n),称为整标函数(标是指下标n )。把函数值un按照自然数n的顺序排列出来的无穷数串：U1,U2,U3,? ,un,?叫作数列(序列)，第n项un称为一般项。数列简记为un,即un表示u1,u2,? ,un,?例如：nn+1: 12,23,

18、34,? ,nn+1,?価：12,122,123,?,価,？ 1+(-1) n2:0,1,0,1, ? ,1+(-1) n2,?2n+(-1) n- 1 n:3, 32,73,74,115,116,? ,2n+(-1) n- 1n,?文章来源：要研究的问题：当n无限增大时(记为n T8)，数列un能否与某一常数A无限接近？如果un能与A无限接近，在数学 上如何描述？例如，设un =2n+(-1) n- 1n，当时 un的变化趋势如何？(一般地说，两个常数a, b，用|a- b|来描述两数接近的程度)un=2r+(-1) n-1 n=2+ (-1) n- 1n? un- 2=(-1) n- 1n

19、? |un- 2|=|(-1) n- 1n| = 1n当n越大，1n越小，un与2越接近。文章来源：给定一个很小的正数 1100，则由 |un- 2| = 1n<1100? n>100，只要 n>100，就有 |un- 2|<1100|un-2|<1100? 2- 1100<un<2+1100开区间(2- 1100,2+1100)=N(2,1100)(此邻域以2为中心，以1100为半径)当 n>100 时，|un- 2|<1100，说明 u101,u102,?都落在 N(2,1100)邻域内。同理给定正数11000，同理可推出：当 n>

20、;1000 时，|un-2|<11000，u1001,u1002,?都落在 N(2,1100)邻域内。无论给定多么小的正数£,总存在正整数N，使得当n>N时的一切un满足|un-2|< £从几何上看，给定邻域N(2, 9，无论(半径)多么，总存在 N，使得当n>N时，un+1,un+2,?都落在N(2, s)内。数列极限定义：已知数列un和常数A，如果对于任意给定的正数£，都存在正整数N，使得对于n>N的一切un，不等式|un-A|<£恒成立，则称当nTx时，un以A为极限，或un收敛于A。记为：limnTjn=A，或

21、 unf A(nix)文章来源：如果un无极限，就说un发散(n)说明：1. 定义中的&是任意给定的，只有任意给定j>0，不等式|un- A|< e才能表达un与A无限接近。2. 定义中的N与e有关，记为N( 9。随着e的给定选定N，且N不唯一。3. 定义只描述了 nfx时Unf A，但未提供求A的方法。4. 定义的几何意义：任意给定邻域 N(代9，则必存在N，使uN+1,uN+2,?落在N(A, 9内。文章来源：例 1.证明 lim rfx2n+(- 1)n-1n=2证：一般项 Un=2n+(-1 )n- 1n=2+ (- 1)n- 1n|un- 2|=|(- 1)n-

22、1n|对于任意给定的eO,为了使|un- 2|< e,只需1n<e即可(这是由于|(-1)n-1| = 1，而n>0 ,故1|n|=1n，即|(-1)n-1n|=1n )或者说，n >1 &即可。所以，对于任意给定的eo，取正整数N=1 e (注：表示取整符号)当 n>N 时，恒有不等式 |un- 2|=|2n+(- 1)n-1 n- 2| = 1 n< e按数列极限定义，可知lim nfx2n+(- 1)n-1 n=2注：有人可能不解一一为什么N取1e时，当n>N时有1n< e?这里举一个实际的例子：假设=0.003，则 N=1

23、67;=333.333333 ? =333，当 n>N 时，n 弱34，即 1n=0.002994? < e文章来源：例 2.证明当 nfx 时，(*1)(2n-1)6n2f 13证：un =(n- 1)(2n- 1)6n2=13- 12n +16n2? un- 13=- 12n+16n2? |un- 13|=|12n- 16in2| = 12n|1- 13n|<12n (这是 13n>0 且 13n<1? 1-13n (0,1)对于任意给定的 e0 ,只要12n< e恒成立，即可证明成功。即，n>12 e 时，便可得 |un- 13|<12n&

24、lt; e所以，对任意给定的e>0，取正整数N=12e，则当n>N时，恒有|un- 13|<12nv e按数列极限定义，有lim nfx(n- 1)(2n- 1)6n2=13文章来源：注意：利用数列极限定义来验证lim nfxun=A时，关键步骤是指明定义中的 N确实存在。由于N不是唯一的，所以不一定要找最小的N，只要找到一个N就可以了。例如，知道|un-A|=Mn)(整标函数)，那么由 gn)<e，求出N，这时，n>N时以n)<e，从而知道|un- A|< e例 3.证明 lim nfx(-1)n(n+1)2=0证：|un- 0|=|(- 1)n(n

25、+1)2- 0| = 1(n+1)2v1n2v1n( gn)=1n)对任意给定的 e0，只要 gn)=1nV e，即n>1&时，恒有不等式|(- 1)n(n+1)2-0|< e所以，按照极限定义，lim nfx(-1)n(n+1)2=0收敛数列的两个性质：1. 定理1若un的极限存在，则极限值是唯一的。证：(用反证法来证明)若 un收敛，且极限不唯一，即：同时有lim nf*un=a,lim nfxun=b，且a<b (注：这是假设的)由于lim nTun存在，所以对于给定的 j=b-a4>0，有：必存在正整数N1，使得当n>Nl时，恒有|un-a|<

26、;b-a4 ;同理，必存在正整数 N2，使得当n>N2时，恒有|un-b|Vb-a4。取N=max N1,N2,则当n>N时，上面两个不等式同时成立。 b- a = b- Un+Un- a<b- Un| + |un- a|<b-a4+b-a4= b- a2而上式b- a<b- a2是不成立的lim nxun 是唯一的。例：证明数列un=(-1) nnn+1是发散的。证： un：_ 12,23,- 34,45,?当n取奇数2m-1(m<N)时，得到数列(注：对应到原来的 u1,u3,u5,?):-12,- 34,- 56,? ,-2m-12m,?数列u2m-

27、1从-12开始单调减。当n取偶数2m(m N)时，得到数列(注：对应到原来的的 u2,u4,u6,?)：23 45 67 ? 2m2m+1 ?J J J JJ 数列u2m从23开始单调增。如下图所示：cod&Ist comT"列I0 肌从下面，用反证法来证明。在这之前，要做一个准备工作(进行一个无厘头”的推导)，因为后后面的反证法会用到这个结论：u2- u仁23-(- 12)=76>1这说明，距离最短的两个点u1, u2之间的距离大于1。这个无厘头的结论在后面会用到。文章来源：假设unt A(n tx) ( a是唯一的)由极限定义，给定正数 F12>0 ,必存在一

28、个正整数N，使得当n>N时，恒有不等式|un-A|<12 A- 12<un<A+12，即 un (A- 12,A+12),(n>N) uN+1,uN+2,uN+3,? (A- 12,A+12)区间(A- 12,A+12)长度为1而uN+1,uN+2落在长度为1的区间(A- 12,A+12)内是不可能的(由前面推导的 无厘头”结论可知，距离最短的两个点都无法落在 长度为1的区间内)(-1) nnn+1是发散的。证毕。文章来源：有界数列：对于数列 un，如果存在一个正数 M>0，使得一切un都有|un|甸，则称un有界。2. 定理2如果un收敛，则un 定是有界

29、的。证：/ un收敛，可设 lim nun=A由极限定义，对给定正数 f1，必存在正整数N，使得n>N时，恒有|un- A|<1? A- 1<un<A+1 |un|=|un- A+A|电n-A|+|A| < 1A| (和的绝对值 W绝对值的和)现取M=max| u1|,? ,|un|,1+|A|( n>N)(有限个数，最大值一定存在)于是 |un| WM(n=1,2,?) un是有界的。文章来源：翠函数的极限讨论x为连续自变量时，函数y=f(x)的极限。1. 自变量X任意地接近于定值X0 ,或X趋向于X0 (记为XTX0 )，对应的函数值f(x)的变化趋势。

30、2. 自变量X的绝对值 凶无限增大(记为xT3)，对应的函数值f(x)的变化趋势。一、自变量X趋向于定值X0时，f(x)的极限假设函数f(x)在X0点的某邻域内有定义(在X0点f(x)可以无定义，这并不影响我们讨论问题)，问题：当X任意地趋近于X0时， 即XTX0时，对应函数值f(x)是否无限接近于常数A ?分析：当XTX0的过程中，对应函数值f(x)无限接近于常数A?当XTX0的过程中，|f(x)-A|能任意地小?当XTX0的过程 中，对任意给定的整数 e>0,|f(x)- A|< £文章来源：当xtx0的过程中，只有充分接近x0的那些x，才能使|f(x)- A|<

31、; go充分接近X0的那些x ”这句话这样来定义：存在一个很小的正数AO,OV|X-X0|这样一个不等式就描述了 x充分接近X0 o定义：设有函数f(x)在X0点的某一去心邻域内有定义，A为一常数。如果对于任意给定的正数6>0，都存在一个正数 A0，使得适合不等式0<|x- X0|< S的一切x所对应的函数值f(x)都满足：|f(x)- A|v g则称xt x0时，f(x)以A为极限。记为：limxTx0f(x)=A，或 f(x) ta(xtx0)文章来源：limxTx0f(x)=A的几何意义(如下图所示)：对常数A, g>0，在xOy平面上作直线y=A+ $y=A-

32、g,对8>0，得邻域N(xa。，寻， 当x N(xA0,(x旳<0)时，由定义可知，点 M(x,f(x) 定在y=A-占y=A+ g的区域内。IA:I文章来源：下面用lim xTx0f(x)=A定义来证明一些函数极限等式。例 1. limxT x0C=C证：f(x)毛,x0为一定值，A=Cf(x)- A=C- C = 0因此，对任意给定的 A0，凡是适合0<|x- x0|<S的一切x ,都使|f(x)- A|=0< g 所以，按极限定义得limxtx0C=C文章来源：例 2.证明 lim xtx0x=x0证:f(x)=x,A=xo,|f(x)- A|=|x- xo

33、|因此，对任意给定的&>0，取3= £,则当0<|x- xo|< 8= £时，都能使|f(x)- A|=|x- xo|< e按极限定义，有limxTxox=xo文章来源：例 3.证明 limxi(3x-5)=-2证：f(x)=3x- 5,xo=1, A=-2|f(x)- A|=|(3x-5)-(-2)|=|3 x- 3|=3|x- 1|对任意给定的e>0 ,为了使3|x- 1|< e (即|x- 1|<e )，可以取8= e，则适合不等式0<|x- 1|< 3的一切x都能使 |f(x)-A|=3|x- 1|=3?

34、e= e按照极限的定义，有limx i(3x-5)=-2文章来源：例 4.证明 lim x111+xv=12证：f(X)=11+xXx0=1, A=12|f(x)- A|= I I 11+xv- 12 II = II 1-xV2(1+") I = III (1-xV)(1+")2(1-xV)2 I I I = I I x-1 I I 2(1+xV)2c I I x- 1 I I 2< e 则当 |x- 1|<2 e 时，就有 |f(x)- A|< e因此，对任意给定的 eo，取8=2 e，则适合o<|x-1|< 8的一切X ,都使得|f(x)-

35、A|= I I 11+x"12 I I < e按照极限的定义，有limx111+xv=12lim X xof(x)=AodeiML COIDx可以从xo的左侧趋于xo，也可以从右侧趋于xo。当从xo的左侧趋于xo(xvxo)时，记为xxo-，或xxo- o左极限：对于任意 eo，都存在8>o，凡适合xo- 8x<xo的一切x，对应的函数值f(x)都满足|f(x)- A|< e，则称A为f(x)的 左极限。记为：limx xo- f(x)=A 或 lim x xo-o f(x)=A可统一表示为f(xo- o)=A文章来源：右极限：把定义中o<|x- xo|

36、< 8改为xo<x<xo+ 8，其他不变，则得到右极限的定义。记为：limx xo+f(x)=A 或 lim x xo+of(x)=A可统一表示为f(xo+o)=Alimx xof(x)=A? f(xo- o), f(xo+o)都存在且极限值都等于 A(注：？表示充分必要条件)文章来源：二、自变量x趋向于无穷大(记为xX )时函数f(x)的极限数列un=f(n)，当nx时的极限，可以看作是f(x)当xx时的极限的特殊情形。依照数列极限定义，给出f(x)当xx时的极限定义：设函数f(x)在xi充分大时有定义，A为常数，如果对于任意给定的>o ,都存在正数N，使得凡是适合|

37、x|>N的一切x，对应的函数值f(x)都满足|f(x)- A|< e，则称当xX时，f(x)以A为极限。记为：limxxf(x)=A 或 f(x) A(xx)如果只考虑x>0，且 凶无限增大(记为x f +x),上面定义中把|x|>N改为x>N，就得到limxmf(x)=A的定义。 如果只考虑x<0，且凶无限增大(记为x f - %),上面定义中把|x|>N改为xv- N，就得到limxf-比f(x)=A的定义。 limxfgf(x)=A? lim xf -f(x)和 lim xf +«f(x)都存在且等于 A(注：？表示充分必要条件)文章来

38、源：例：证明lim x fx 11+x2=0证：f(x)= 11+x2,A=0|f(x)- A|= II 11+X2-0II =11+x2<1x2< £对任意给定的E>0 ,为了使f(x)- A|< £,只需1x2< £,即x2>1 & |x|>1 "因此，对任意给定的E>0，取N=1 "，凡是适合不等式|x|>N的一切x ,对应的函数值f(x)都满足：|f(x)- A|= I I 11+x2- 0 II < £按定义，有 lim xfx 11+x2=0文章来源：三、

39、无穷小量与无穷大量1. 无穷小(量)如果 lim xf x0f(x)=0 (或 limxfxf(x)=O )，则称当 x f xo (或 x fx)时，f(x)是无穷小(量)。注意： 不能把一个很小的数看作无穷小。 常数0可以看作是无穷小的唯一一个常数。2. 无穷大(量)如果当xf x0 (或Xfx)时，对应的函数值f(x)的绝对值无限增大，则称当xf x0 (或xfx)时，f(x)是无穷大(量)。 或者这样表述：若对于任意给定的正数 M>0 (无论M多么大)，总存在 A0 ,凡是适合不等式0<|x-xo|<S的一切x，对应的函数值f(x)都 满足|f(x)|>M，则称

40、当xf x0时，f(x)是无穷大，记为lim xf xof(x)= x注意：上式并不说明极限存在，只是说明其极限为无穷大量，无穷大不是一个常数。把上面定义中的 总存在 A0，凡是适合不等式0<|x- x0|< S的一切x ”改为总存在正数N，凡是适合不等式x|>N的一切x ”， 其余表述不变，则得到limxf«f(x)= x注意：1. 不能把无穷大与一个很大的常数混为一谈；2. 无穷大一定是无界函数，但无界函数不一定是无穷大。我们来证明一下结论2。先证明无穷大一定是无界函数。证：设 limxfx0f(x)=x (或 limxfxf(x)=x),g卩 f(x)是无穷大

41、对任意给定的正数M>0 (无论多么大)，一定存在 A0 (存在N>0 )，使得：|f(x)|>M (对?x N(xA0,寻，或 |x|>N )所以，在N(xao, S)内(或xi>N ), f(x)无界。证毕。文章来源：再证明无界函数不一定是无穷大。证：此处举一个实例即可证明这一点。证明 f(x)=xsinx在(0,+ x内是无界函数；但是当xf +x时，f(x)不是无穷大。 先证f(x)=xsinx在(0,+ x内是无界函数。对任何M>0 (无论多么大)，现取足够大的正整数n，使xn=2nn+ ；2>M，则：f(xn)=xnsinxn=(2n n )

42、sin(2n n n)=(2 n n+i)?1>M可见，f(x)在(0,+百 内是无界的。再证xt +x 时，f(x)=xsinx不是无穷大。给定M=1 ,则无论多么大的正整数 N，当n>N时，xn= nn>Nf(xn)=xnsinxn=n Ttsinn 沪0<1 = M所以f(x)不是无穷大。即，当xt +8时，f(x)不是无穷大。证毕。文章来源：3. 无穷小与无穷大的关系定理：如果当xt x0 (或xt )时f(x)是无穷大，则1f(x)是无穷小，如果当XTx0 (或x)时f(x)是无穷小，且f(x)为， 则1f(x)是无穷大。证：下面只证XTX0的情形，XT8 的

43、情形可类推。 设xt x0时，f(x)是无穷大，即limxtx0f(x)=x任意给定P0，因limxTx0f(x)= 8,对于正数M=1 £，定存在 A0，使适合不等式Ov|x-xO|vS的一切x所对应的f(x)满 足 |f(x)|>M=1 &II 1f(x) II < £,即 lim XTx01f(x)=0即当XT X0时，1f(x)是无穷小。文章来源： 设当XT X0时，f(x)是无穷小，且f(x)为任意给定正数M>0 (无论多么大)，因limxTX0f(x)=0对s=1M，一定存在8>0 ,使适合不等式0<|X- x0|<

44、S的一切x所对应的f(x)满足|f(x)|< F1M? II 1f(x) II >M即当XT X0时，1f(x)是无穷小。证毕。四、海涅定理/Heine定理连续自变量x的函数f (x)的极限lim xTx0f(x)(或limxT8x)存在的充分必要条件：对任选的数列 xn|xnTX0,xn玫0(或xnT8)，其所对应的数列 f(xn)有同一极限。文章来源：例.(用海涅定理)证明当xt0时，f(x)=sin1x的极限不存在。证：取 xn= 1nn,lim nT<8(n=lim 口8仆7=0f(xn)=sin 1xn=sin n n=0, f(xn)=0(即数列的每一项都为 0)

45、 lim nTf (xn)=0取 Xn = 12nn" t2t0f(xn )=sin(2 n n+ 吃)=1, f(xn)=1(即数列的每一项都为 1) lim nTf (xn )=1/ lim nTf (xn)丰 linnT«f(xn ) limxT0f(x)不存在(由海涅定理可知)3函数极限的性质和极限的运算一、极限值与函数值的关系1. (极限值的唯一性)如果limxTx0f(x)存在，则其极限值是唯一的下面证明这个结论。证：用反证法来证明。设limx-xof(x)存在且不唯一：limxTx0f(x)=A,limX x0f(x)=B，且 A<B即B-A>0

46、,这个假设后面要用到。文章来源：对给定正数g=B-A4> 0,由于limx x0f(x)=A，故由极限定义，对正数fB-A4 , 一定存在§1>0，使得适合不等式0<|X-X0|V§1的一切X ,所对应的函数值f(x)恒有|f(x)- A|VB- A4。同理，对给定正数 FB-A4>0，由于limx x0f(x)= B，故由极限定义，对正数FB-A4 , 定存在 &>0，使得适合不等式0<|x- X0|v 82的一切X ,所对应的函数值f(x)恒有|f(x)- B|VB- A4。取8=min 8, 8,则凡是适合不等式0<|

47、x- x0|< 8的一切x，可以使以下两个不等式同时成立：|f(x)- A|<B-A4,|f(x)- B|vB-A4文章来源：从而有：B-A=|B- f(x)+f(x)-A| 毛-f(x)|+|f(x)- A|VB-A4+B-A4=B-A2即B-A<B-A2，而在B-A>0的情况下，这是不可能成立的。lim x x0f(x)=A 是唯一的。2. 极限值与函数值的同号性设 limx x0f(x)=A，且 A>0 (或 A<0 )，则必存在 N(xA0),s.t.?x N(xA0)，都有 f(x)>0 (或 f(x)<0 )。证：设A>0，由l

48、im x x0f(x)=A和极限定义，可知：对正数 0< 金，一定存在 8>0,s.t.适合不等式 0<|x-x0|<8(即 x N(xA。, 8)的一切 x，恒有 |f(x)- A|< £,即 A- Ff(x)<A+ f 文章来源：/ 0< 朋 A- e>0即 0WA- Ff(x)，其中 x N(xA 0, 8证毕。设 lim x x0f(x)=A，且在 N(xA0)内 f(x) >0,则 A>0°证：用反证法来证明。假如 A<0，又limxx0f(x)=A由已证的(1),可知存在N(xA0)，使f(x)&

49、lt;0,x N(xA0)这与f(x) >0的假设矛盾，所以 成立。文章来源：例1.设f(x)在X0点的某邻域N(X0)内有定义，且limx x0f(x)- f(x0)(x- x0)2=-1 ，则必存在某邻域N(X0, 8，使：(A) f(x)>f(x0)(B) f(x)<f(x0)(此项为正确答案)(C) f(x)=f(x0)(D) 不能判断f(x)与f(x0)的大小关系解：令 F (x)=f(x)- f(x0)(x- x0)2，则 lim x x0F(x)=-1<0由前面所证的结论(1)可知：一定存在N(x0, 8，使F(x)<0,x N(x0, 8由 F(x

50、) = f(x)-f(x0)(x-X0)2<0? f(x)- f(x0)<0 ? f(x)<f(x0)(分母为正数)文章来源：3. (有界性)如果当x x0 (或xx )时f(x) A (常数)，则一定存在x0的某个邻域N(xA0)(或存在N>0,|x|>N )，使 得f(x)是有界的。证：已知limxTxOf(x)=A，由极限定义，对给定正数e=1>0，必定存在(>0，使得适合不等式O<|x-xo|v S (即x N(xA0,寻)的一切x所对应的f(x)，恒有：|f(x)- A|<1? A- 1<f(x)<A+1即f(x)在N

51、(xAo, ®内既有上界，又有下界？ f(x)在N(xa。，令内有界。证毕。二、函数极限与无穷小的关系设 lim X xOf(x)=A (或 limxTf(x)=A )，讨论 f(x),A 之间有何关系？<定理> lim x xOf(x)=A (或 limxTf(x)=A ) , A为常数？ f(x)=A+(x(x)，且 limx xOa(x)=O (或 limx oax)=0 )证：左推右：设limx xOf(x)=A(或limxT(x)=A，下面只证前一种情况)，根据函数极限定义，对任意给定的&>O，一定存在 AO，使得适合不等式O<|x- xo|

52、v S的一切x所对应的f(x)，恒有|f(x)- A|< £O令 a(x)= f(x)- A，就有 | o(x)|< £从而有 f(x)=A+ a(x),lim x xO o(x)=O文章来源：右推左：设 f(x)=A+ a(x),lim x xO a(x)=O根据极限定义，对任意给定的£0，一定存在 A0 ,使得凡是适合不等式O<|x-xo|<S的一切x所对应的f(x)，恒有M(x)|< £由 f(x)=A+ ax)? a(x)=f(x)- A由 | a(x)|< £ |f(x)- A|< £

53、;，即 limx xOf(x)=A证毕。三、无穷小的性质1. 有限个无穷小的代数和仍是无穷小证：只证两个无穷小的情形(更多个的情形，用数学归纳法便可得结果)。设有 lim xxO a(x)=O,lim x xO p(x)=O，需要证明:lim xx0 a(x)+ gx)=O由极限定义可知：任意给定正数£0，对正数£>0，一定存在81>0，使得凡是适合不等式0<|x-x0|<81的一切x所对应的ax)，恒有 | a(x)|< 2同理，对正数(2>0，一定存在 8>0，使得凡是适合不等式0<|x- xo|< 8的一切x所对应

54、的gx)，恒有| B(x)|< 2文章来源：取8=min 81, 8>0，当0<|x- xo|< 8时，这些x所对应的o(x)， gx)同时满足：a(x)i< z|gx)i< 2从而有：|OC(X)+ gx)| 0|)| + | gx)|< 2+ 2= £.limx x0 a(x)+ gx)=O，即当 x xo 时，a(x)+ gx)是无穷小。证毕。2. 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小证：设 f(x)在 N(xAo, 8), 81>0 内有界，即存在 M>0, 81>0，使得 f(x)呦,x N(xA°, 8l)

55、又设limxxO a(x)=O (即当xxo时，a(x)是无穷小)文章来源：要证明的是：当xxo时，f(x) ax)是无穷小。即要证：lim xxof(x) oc(x)=0根据极限，任意给定£>0，对£ M>o，一定存在82>0，使得适合不等式0<|x- xo|< 8的一切x所对应的a(x)恒有I ax)|< £ M现取(=min Si, §2>0，则凡是适合不等式0<|x- x0|< S的一切x，都会使f(x)| M，且| ax)|<汕从而有 |f(x) o(x)|=|f(x)| a(x)|<M ?£m= e即 lim xtx0f(x) Mx)=0证毕。对一个常数