教案第二章圆柱与圆锥

1、教案 第二章圆柱与圆锥圆柱、圆锥常用的表面积、体积公式立体图形表面积体积圆柱hr2222srhr圆柱侧面积个底面积2vr h圆柱圆锥hr22360nslr圆锥侧面积底面积注：l是母线，即从顶点到底面圆上的线段长213vr h圆锥体板块一圆柱与圆锥【例 1】 如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、 1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体问这个物体的表面积是多少平方米？(取3.14) 1110.511.5【解析】 从 上 面 看 到 图 形 是 右 上 图 ， 所 以 上 下 底 面 积 和 为223.14 1.514.13 ( 立 方 米 ) ， 侧 面 积 为23.14(0.51 1.5)

2、118.84 ( 立方米 ) ，所以该物体的表面积是14.13 18.8432.97( 立方米 ) 【例 2】 有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米 ( 见右图 ) 如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？【解析】 涂漆的面积等于大圆柱表面积与小圆柱侧面积之和，为266 10 ()24 560 18 20 98 307.722( 平方厘米 ) 例题精讲圆柱与圆锥【例 3】 ( 第四届希望杯2 试试题 ) 圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10 厘米和 12 厘米的长方形，那么这个圆柱体的体积是

3、_立方厘米 ( 结果用 表示 ) 【解析】 当圆柱的高是12 厘米时体积为210300 ()122( 立方厘米 )当圆柱的高是12 厘米时体积为212360 ()102( 立方厘米 ) 所以圆柱体的体积为300立方厘米或360立方厘米【例 4】 如右图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶( 接头处忽略不计) ，求这个油桶的容积( 3.14) 16.56m【解析】 圆的直径为： 16.5613.144( 米) ， 而油桶的高为2个直径长，即为：428(m) ， 故体积为100.48立方米【巩固】如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成1 个圆柱体，这

4、个圆柱体的底面半径为10 厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？( 3.14)10cm【解析】 做成的圆柱体的侧面是由中间的长方形卷成的，可见这个长方形的长与旁边的圆的周长相等，则剪下的长方形的长，即圆柱体底面圆的周长为：2 1062.8( 厘米 ) ，原来的长方形的面积为：10462.81022056（）（）( 平方厘米 ) 【例 5】 把一个高是8 厘米的圆柱体，沿水平方向锯去2 厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少12.56平方厘米原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？【解析】 沿水平方向锯去2 厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少的部分为减掉的2厘米

5、圆柱体的侧面积， 所以原来圆柱体的底面周长为12.5626.28厘米，底面半径为6.283.1421厘米，所以原来的圆柱体的体积是2 18825.12 ( 立方厘米 ) 【巩固】 一个圆柱体底面周长和高相等如果高缩短4 厘米， 表面积就减少50.24平方厘米 求这个圆柱体的表面积是多少？4cm【解析】 圆柱体底面周长和高相等，说明圆柱体侧面展开是一个正方形高缩短4厘米，表面积就减少50.24平方厘米阴影部分的面积为圆柱体表面积减少部分，值是50.24平方厘米，所以底面周长是50.24412.56( 厘米 ) ，侧面积是：12.56 12.56157.7536( 平方厘米 )，两个底面积是：23

6、.1412.563.142225.12 ( 平方厘米 ) 所以表面积为：157.753625.12 182.8736( 平方厘米) 【例 6】 ( 20xx 年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛) 一个圆柱体形状的木棒，沿着底面直径竖直切成两部分已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表面积大22008cm ，则这个圆柱体木棒的侧面积是_2cm ( 取3.14) 第2题【解析】 根据题意可知，切开后表面积增加的就是两个长方形纵切面设圆柱体底面半径为r ，高为h，那么切成的两部分比原来的圆柱题表面积大：2222008(cm )rh，所以2502(cm )rh，所以，圆柱体侧面积为：2223

7、.145023152.56(cm )rh【巩固】 已知圆柱体的高是10厘米， 由底面圆心垂直切开，把圆柱分成相等的两半，表面积增加了40平方厘米，求圆柱体的体积( 3) 【解析】 圆柱切开后表面积增加的是两个长方形的纵切面，长方形的长等于圆柱体的高为10 厘米， 宽为圆柱底面的直径，设为2r，则210240r，1r( 厘米 ) 圆柱体积为：2 11030 ( 立方厘米 ) 【例 7】 一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底面半径是2 厘米将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？( 3.14) 【解析】 从图中可以看出，拼成的长方体的底面积

8、与原来圆柱体的底面积相同，长方体的前后两个侧面面积与原来圆柱体的侧面面积相等，所以增加的表面积就是长方体左右两个侧面的面积( 法 1) 这两个侧面都是长方形，且长等于原来圆柱体的高，宽等于圆柱体底面半径可知，圆柱体的高为250.243.1424( 厘米 ) ，所以增加的表面积为24216( 平方厘米 ) ；( 法 2)根据长方体的体积公式推导增加的两个面是长方体的侧面，侧面面积与长方体的长的乘积就是长方体的体积由于长方体的体积与圆柱体的体积相等，为50.24立方厘米，而拼成的长方体的长等于圆柱体底面周长的一半，为3.1426.28厘米，所以侧面长方形的面积为50.246.288平方厘米，所以增

9、加的表面积为8216平方厘米【例 8】 右图是一个零件的直观图下部是一个棱长为40cm 的正方体，上部是圆柱体的一半求这个零件的表面积和体积【解析】 这是一个半圆柱体与长方体的组合图形，通过分割平移法可求得表面积和体积分别为：11768 平方厘米， 89120 立方厘米【例 9】 输液 100 毫升， 每分钟输2.5毫升 如图， 请你观察第12 分钟时图中的数据，问：整个吊瓶的容积是多少毫升？【解析】 100 毫升的吊瓶在正放时，液体在100毫升线下方，上方是空的，容积是多少不好算但倒过来后，变成圆柱体，根据标示的格子就可以算出来由于每分钟输2.5毫升，12 分钟已输液2.5 1230( 毫升

10、 ) ，因此开始输液时液面应与50 毫升的格线平齐，上面空的部分是50 毫升的容积所以整个吊瓶的容积是10050150( 毫升 ) 【例 10】( 20xx 年”希望杯”五年级第2 试) 一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水( 如图 ) ，由图中的数据可推知瓶子的容积是_ 立方厘米 ( 取3.14) 8( 单位：厘米 )4106【解析】 由于瓶子倒立过来后其中水的体积不变，所以空气部分的体积也不变，从图中可以看出，瓶中的水构成高为6厘米的圆柱，空气部分构成高为1082厘米的圆柱，瓶子的容积为这两部分之和，所以瓶子的容积为：24 ()(62)3.1432100.482( 立方厘米 ) 【巩固】一个酒

11、精瓶，它的瓶身呈圆柱形( 不包括瓶颈 ) ，如图已知它的容积为26.4立方厘米当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6 厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为2 厘米问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？26【解析】 由题意，液体的体积是不变的，瓶内空余部分的体积也是不变的，因此可知液体体积是空余部分体积的623倍所以酒精的体积为326.462.17231立方厘米，而62.172立方厘米62.172毫升0.062172升【巩固】一个酒瓶里面深30cm，底面内直径是10cm，瓶里酒深15cm把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立这时酒深25cm酒瓶的容积是多少？( 取 3)253015【解析】 观察前后，酒瓶

12、中酒的总量没变，即瓶中液体体积不变当酒瓶倒过来时酒深25cm，因为酒瓶深30cm，这样所剩空间为高5cm的圆柱， 再加上原来15cm高的酒即为酒瓶的容积酒的体积：10101537522瓶中剩余空间的体积1010(3025)12522酒瓶容积：375 125 500 1500(ml)【巩固】一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水，瓶底面积为10平方厘米， ( 如下图所示 ) ，请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是7cm4cm5cm【解析】 由已知条件知，第二个图上部空白部分的高为752cm，从而水与空着的部分的比为4:22:1，由图 1 知水的体积为10 4，所以总的容积为4022160 立方厘米

13、【巩固】一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，圆柱体的底面直径和高都是12 厘米其内有一些水，正放时水面离容器顶11厘米，倒放时水面离顶部5 厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？ ( 3) 5cm11cm【解析】 设圆锥的高为x 厘米由于两次放置瓶中空气部分的体积不变，有：22215 611 6 63xx，解得9x，所以容器的容积为：221 612 69540 16203v( 立方厘米 ) 【例 11】( 第四届希望杯2 试试题 ) 如图，底面积为50 平方厘米的圆柱形容器中装有水，水面上漂浮着一块棱长为5 厘米的正方体木块，木块浮出水面的高度是2 厘米若将木块从容器中取出

14、，水面将下降_厘米2厘米【解析】 在水中的木块体积为55375( 立方厘米 ) ，拿出后水面下降的高度为75501.5( 厘米 )【例 12】有两个棱长为8厘米的正方体盒子，a盒中放入直径为8厘米、高为8 厘米的圆柱体铁块一个，b盒中放入直径为4 厘米、高为 8 厘米的圆柱体铁块4 个，现在a盒注满水， 把a盒的水倒入b盒，使b盒也注满水，问a盒余下的水是多少立方厘米？【解析】 将圆柱体分别放入a盒、b盒后，两个盒子的底面被圆柱体占据的部分面积相等，所以两个盒子的底面剩余部分面积也相等，那么两个盒子的剩余空间的体积是相等的，也就是说a盒中装的水恰好可以注满b盒而无剩余，所以a盒余下的水是0 立

15、方厘米【例 13】兰州来的马师傅擅长做拉面，拉出的面条很细很细，他每次做拉面的步骤是这样的：将一个面团先搓成圆柱形面棍，长1.6米然后对折，拉长到1.6米；再对折，拉长到1.6米照此继续进行下去， 最后拉出的面条粗细( 直径 ) 仅有原先面棍的164问：最后马师傅拉出的这些细面条的总长有多少米？ ( 假设马师傅拉面的过程中面条始终保持为粗细均匀的圆柱形，而且没有任何浪费) 【解析】 最 后 拉 出 的 面 条 直 径 是 原 先 面 棍 的164， 则 截 面 积 是 原 先 面 棍 的2164， 细 面 条 的 总 长 为 ：21.6646553.6 ( 米) 注意运用比例思想【例 14】一

16、个圆柱形容器内放有一个长方形铁块现打开水龙头往容器中灌水3 分钟时水面恰好没过长方体的顶面再过18 分钟水灌满容器已知容器的高为50 厘米，长方体的高为20 厘米，求长方体底面面积与容器底面面积之比【解析】 因为 18 分钟水面升高：502030( 厘米 ) 所以圆柱中没有铁块的情形下水面升高20 厘米需要的时间是：20181230( 分钟 ) ，实际上只用了3 分钟，说明容器底面没被长方体底面盖住的部分只占容器底面积的13:124，所以长方体底面面积与容器底面面积之比为3: 4【例 15】一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80 平方厘米，高是15厘米，水深8 厘米现将一个底面积是 16 平方

17、厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后现在水深多少厘米？【解析】 根据等积变化原理：用水的体积除以水的底面积就是水的高度( 法 1) ： 808(8016)6406410( 厘米 ) ；( 法 2) ： 设水面上升了x厘米根据上升部分的体积=浸入水中铁块的体积列方程为：8016(8)xx，解得：2x，8210( 厘米 ) ( 提问”圆柱高是15厘米”，和”高为12厘米的长方体铁块”这两个条件给的是否多余？)【巩固】一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80 平方厘米，高是15厘米，水深10厘米现将一个底面积是 16 平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后现在水深多少厘米？【解析】 80

18、10(8016)12.5 ，因为12.5 12，所以此时水已淹没过铁块，8010(8016)1232 ，32800.4，所以现在水深为120.4 12.4厘米【巩固】一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80 平方厘米，高是15厘米，水深13厘米现将一个底面积是 16 平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后现在水深多少厘米？【解析】 玻 璃杯剩余部分的体积为80(1513)160 立方厘米，铁块体积为16 12192立方厘米，因为160192，所以水会溢出玻璃杯，所以现在水深就为玻璃杯的高度15厘米【总结】 铁块放入玻璃杯会出现三种情况：放入铁块后，水深不及铁块高；放入铁块后，水深比铁块高

19、但未溢出玻璃杯；水有溢出玻璃杯【说明】 教师可以在此穿插一个关于阿基米德测量黄金头冠的体积的故事一天国王让工匠做了一顶黄金的头冠，不知道工匠有没有掺假，必须知道黄金头冠的体积是多少，可是又没有办法来测量(如果知道体积，就可以称一下纯黄金相应体积的重量，再称一下黄金头冠的重量，就能知道是否掺假的结果了) 于是，国王就把测量头冠体积的任务交给他的大臣阿基米德 ( 小朋友们，你们能帮阿基米德解决难题吗？)阿基米德苦思冥想不得其解，就连晚上沐浴时还在思考这个问题当他坐进水桶里，看到水在往外满溢时，突然灵感迸发，大叫一声：”我找到方法了” ，就急忙跑出去告诉别人，大家看到了一个还光着身子的阿基米德他的方

20、法是：把水桶装满水，当把黄金头冠放进水桶，浸没在水中时，所收集的溢出来的水的体积正是头冠的体积【例 16】一个圆柱形玻璃杯内盛有水，水面高2.5厘米，玻璃杯内侧的底面积是72 平方厘米在这个杯中放进棱长6 厘米的正方体铁块后，水面没有淹没铁块这时水面高多少厘米？【解析】 把放入铁块后的玻璃杯看作一个底面如右图的新容器，底面积是72 66= 36( 平方厘米 ) 水的体积是722.5180( 立方厘米 ) 后来水面的高为180 36= 5( 厘米 ) 【例 17】一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为5 厘米，深20 厘米，水深15 厘米今将一个底面半径为 2 厘米，高为17 厘米的铁圆柱垂直放入

21、容器中求这时容器的水深是多少厘米？【解析】 若圆柱体能完全浸入水中，则水深与容器底面面积的乘积应等于原有水的体积与圆柱体在水中体积之和，因而水深为：222515217517.72( 厘米 ) 它比圆柱体的高度要大，可见圆柱体可以完全浸入水中于是所求的水深便是17.72厘米【例 18】有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是10 厘米、 20 厘米，杯中盛有适量的水甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2 厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米？【解析】 两个圆柱直径的比是1: 2，所以底面面积的比是1:4铁块在两个杯中排开的水的体积相同

22、，所以乙杯中水升高的高度应当是甲杯中下降的高度的14，即120.54( 厘米 ) 【巩固】 有一只底面半径是20 厘米的圆柱形水桶，里面有一段半径是5 厘米的圆柱体钢材浸在水中钢材从水桶里取出后，桶里的水下降了6 厘米这段钢材有多长？【解析】 根据题意可知，圆柱形钢材的体积等于桶里下降部分水的体积，因为钢材底面半径是水桶底面半径的520，即41，钢材底面积就是水桶底面积的161根据体积一定，圆柱体的底面积与高成反比例可知，钢材的长是水面下降高度的16 倍6(520)2= 96( 厘米 ) ，( 法 2) ： 3142026 ( 314 52) = 96( 厘米 ) 【例 19】一个圆锥形容器高

23、24 厘米， 其中装满水， 如果把这些水倒入和圆锥底面直径相等的圆柱形容器中，水面高多少厘米？【解析】 设圆锥形容器底面积为s，圆柱体内水面的高为h，根据题意有：1243ssh，可得8h厘米【例 20】( 20xx 年”希望杯”一试六年级) 如图，圆锥形容器中装有水50 升，水面高度是圆锥高度的一半，这个容器最多能装水升12rr12hh【解析】 圆锥容器的底面积是现在装水时底面积的4 倍，圆锥容器的高是现在装水时圆锥高的2 倍，所以容器容积是水的体积的8 倍，即50 8400升【例 21】如图，甲、乙两容器相同，甲容器中水的高度是锥高的13，乙容器中水的高度是锥高的23，比较甲、乙两容器，哪一

24、只容器中盛的水多？多的是少的的几倍？甲乙【解析】 设圆锥容器的底面半径为r ，高为h，则甲、乙容器中水面半径均为23r ，则有213vr h容器，22122833381vrhr h乙水（），222112219333381vr hrhr h甲水（），221919818881r hvvr h甲水乙水，即甲容器中的水多，甲容器中的水是乙容器中水的198倍【例 22】( 20xx 年仁华考题 ) 如图， 有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜的直径为20 厘米， 中间有一直径为 8 厘米的卷轴，已知薄膜的厚度为0.04厘米，则薄膜展开后的面积是平方米20cm8cm100cm【解析】 缠绕在一起时塑料薄膜

25、的体积为：22208100840022( 立方厘米 ) ，薄膜展开后为一个长方体，体积保持不变，而厚度为0.04厘米，所以薄膜展开后的面积为8400 0.04659400平方厘米65.94平方米另解：也可以先求出展开后薄膜的长度，再求其面积由于展开前后薄膜的侧面的面积不变，展开前为222088422( 平方厘米 ) ，展开后为一个 长 方 形 ， 宽 为0.04厘 米 ， 所 以 长 为84 0.046594厘 米 ， 所 以 展 开 后 薄 膜 的 面 积 为6594 100659400平方厘米65.94平方米【巩固】 图为一卷紧绕成的牛皮纸，纸卷直径为20 厘米，中间有一直径为6 厘米的卷

26、轴 已知纸的厚度为0.4毫米，问：这卷纸展开后大约有多长？【解析】 将这卷纸展开后，它的侧面可以近似的看成一个长方形，它的长度就等于面积除以宽这里的宽就是纸的厚度，而面积就是一个圆环的面积因此，纸的长度：223.1410093.14103.1437143.50.040.04纸卷侧面积纸的厚度( 厘米 )所以，这卷纸展开后大约71.4米【巩固】如图，厚度为0.25毫米的铜版纸被卷成一个空心圆柱( 纸卷得很紧，没有空隙) ，它的外直径是180厘米，内直径是50 厘米这卷铜版纸的总长是多少米？【解析】 卷在一起时铜版纸的横截面的面积为2218050747522( 平方厘米 ) ，如果将其展开，展开

27、后 横 截 面 的 面 积 不 变 ， 形 状 为 一 个 长 方 形 ， 宽 为0.25毫 米 ( 即0.025厘 米 ) ， 所 以 长 为7475 0.025938860厘米9388.6米所以这卷铜版纸的总长是9388.6米本题也可设空心圆柱的高为h，根据展开前后铜版纸的总体积不变进行求解，其中h在计算过程将会消掉【例 23】( 人大附中分班考试题目)如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞已知正方体边长为10 厘米， 侧面上的洞口是边长为4 厘米的正方形，上下底面的洞口是直径为4 厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积【解析】 先求表面积

28、表面积可分为外侧表面积和内侧表面积外侧为 6 个边长 10 厘米的正方形挖去4 个边长 4 厘米的正方形及2 个直径 4 厘米的圆， 所以， 外侧表面积为：210106444 225368 ( 平方厘米 ) ；内侧表面积则为右上图所示的立体图形的表面积，需要注意的是这个图形的上下两个圆形底面和前后左右 4 个正方形面不能计算在内，所以内侧表面积为：243 16244 22 23 2192328 24 22416( 平方厘米 ) ，所以，总表面积为：224 16 5368 7608 785.12( 平方厘米 ) 再求体积计算体积时将挖空部分的立体图形取出，如右上图，只要求出这个几何体的体积，用原

29、立方体的体积减去这个体积即可挖出的几何体体积为：24434444 2321926424 25624 ( 立方厘米 ) ；所求几何体体积为：10101025624668.64 ( 立方厘米 ) 板块二旋转问题【例 24】如图，abc是直角三角形，ab、ac的长分别是3 和 4将abc绕ac旋转一周，求abc扫出的立体图形的体积( 3.14) cba43【解析】 如右上图所示，abc扫出的立体图形是一个圆锥，这个圆锥的底面半径为3，高为 4，体积为：21 3412 37.683【例 25】已知直角三角形的三条边长分别为3cm，4cm，5cm，分别以这三边轴，旋转一周，所形成的立体图形中，体积最小的是多少立方厘米？( 取3.14) 【解析】 以 3 cm 的 边 为 轴 旋 转 一 周 所 得 到 的 是 底 面 半 径 是4cm ， 高 是 3cm 的 圆 锥 体 ， 体 积 为2313.144350.24(cm )3以 4 cm 的 边 为 轴 旋 转 一 周 所 得 到 的 是 底 面