2019-2020学年苏教版必修四5向量的应用学案

1、2.5 向量的应用学习目标核心素养(教师独具)1. 会用向量方法解决简单的物理问题 及其他的一些实际问题.2. 会用向量方法解决某些简单的几何 问题.(重点、难点)通过学习本节内容提升学生的数学建 模和数学运算核心素养.自主预习对晋新»二i新知初探 1向量的应用用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”(2) 向量在物理中的应用 速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算， 求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则. 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积.(3) 向量在平面解析几何中的应用向量在解析几何中的应用主要

2、表现在两个方面： 一是作为题设条件；二是作 为解决问题的工具使用，充分体现了几何问题代数化的思想，是高考考查的热点 之一解决此类问题的思路是转化为代数运算， 其转化途径主要有两种：一是向 量平行或垂直的坐标表示；二是向量数量积的公式和性质.二i初试身手亍1. 思考辨析若 ABC是直角三角形，则有ABBC= 0.()(2) 若AB/ CD，贝U直线AB与CD平行.()(3) 在物体的运动过程中，力越大，做功越多.() 解析(1)可能AC CB = 0或BAAC = 0,故错误. (2) AB / CD , AB, CD亦可能在一条直线上,故错误.(3) W= F s= |F| |s|cos 9,

3、故错误.答案X X X 2. 已知 ACB, AB= a, AC= b,且abv 0,则厶ABC的形状为()A .钝角三角形B .直角三角形C.锐角三角形D .不能确定答案A3 .已知F = (2, 3)作用一物体，使物体从A(2, 0)移动到B(4, 0),则力F对物 体作的功为.答案4合作撮究吋是羞吞 * 一向量在物理中的应用成可以用平行四边形法则，也可用三角形法则13解 如图，作平行四边形 OACB,使/ AOC= 30° Z BOC= 60° 在厶 OAC 中，Z ACO=Z BOC= 60； Z OAC = 90°.31|OA|= |OC|cos 30

4、=3002 = 150 /3(N), |OB匸 |OC|sin 30X 300= 150(N).故与铅垂线成30角的绳子的拉力是150- 3 N ,与铅垂线成60角的绳子的 拉力是150 N.1. 解力向量题时，依据题意对物体进行受力分析，通过向量加法的平行四 边形法则对力进行分解和合成.2. 解题时要明确各个力之间的关系及它们各自在题目中的地位，借助于图 形，将物理量之间的关系抽象为数学模型.1. 已知两恒力Fi = (3, 4)，F2= (6， 5)作用于同一质点，使之由点A(20, 15) 移动到点B(7, 0).(1) 求 F1，F2分别对质点所做的功；(2) 求 F1，F2的合力F对

5、质点所做的功.解(1)AB= ( 13， 15)，F1 AB= (3, 4) ( 13， 15)=3X ( 13) + 4X ( 15)= 99(J),W2= F2 AB= (6， 5) ( 13， 15)=6X ( 13)+ ( 5)X ( 15)= 3(J).力F1, F2对质点所做的功分别为99 J和3 J. (2)W= F AB= (F1 + F2) AB=(3,4) + (6， 5)( 13, 15)=(9， 1)( 13， 15)=9X ( 13)+ ( 1)X ( 15)=117+ 15= 102(J).合力F对质点所做的功为102 J.向量在平面几何中的应用进甲2 【例2】 如

6、图所示，在正方形ABCD中，E,求证：AF丄DE.f f思路点拨：法一：选取基底，并证明DE AF = 0法二：建立平面直角坐标系证明f fAF DE = 0.ff解法一:设AD= a, AB= b,则|a|= |b|, a b= 0,a- 2 f b f f f又DE= DA + AE=-a+ 2, AF = AB+ BF =f f所以AF DE= b + aa+ 21 2 3b2ja2；ab+ 2 = |a|2+ 詢=0,f f故AF丄DE,即AF丄DE.法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2,则ffA(0,0), D(0, 2), E(1,0), F(2,1), AF= (2

7、,1), DE二(1, 2).f ff f因为 AF DE= (2, 1) (1, 2) = 2 2 = 0,所以 AF丄DE ,即 AF 丄DE.用向量法证明平面几何问题的方法，有两种常见思路:(1) 向量的线性运算法：选取基底f把待证冋题用基底线性表示 f利用向量的线性运算或数量积找相应关系f把向量问题几何化向量的坐标运算法:建立适当的坐标系把相关量坐标向量化利用向量的坐标运算找相应关系 T把向量问题几何化但比较以上两种方法，易于知道，如果题目建系比较方便，坐标法更好用.2. 已知在正方形ABCD中，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：(1)BE 丄 CF; (2)AP

8、= AB.证明建立如图所示的平面直角坐标系，设AB= 2，则A(0, 0)，B(2,0), C(2,2)，E(1,2)，F(0, 1). BE= (- 1,2)，CF = (-2，- 1).二 BE CF = ( 1)X ( 2)+ 2X (- 1)= 0, BE丄 CF，即 BE丄 CF.(2) 设点P坐标为(x, y)，则FP= (x，y- 1)， FC = (2, 1)，v FP / FC，X 2(y 1)，即 x 2y 2， 同理，由BP / BE，得 y 2x+ 4,6x 2y 2， 由y- 2x+ 4,x 5, 得8 y 5,点P的坐标为6 8 5，5 .f6 28 2 f rAP

9、|= , 5 2 + 5 2= 2=|AB|,即 AP = AB.平面向量在解析几何中的应用探究问题1. 如何利用向量求经过点Po(xo, yo),且与a= (1, k)平行的直线I的方程？f提示：设直线I上任意一点P(x, y),则PoP= (xxo, y yo).f由题意可知 PoP a,： yyo= k(x xo).2. 如何利用向量求经过点Po(xo, yo),且与a= (1, k)垂直的直线I的方程？f提示：设直线I上任意一点P(x, y),则PoP= (xxo, y yo).f由题意可知 PoP 丄 a,： (x xo) + k(y yo) = 0.卜;1已知 ABC 的三个顶点

10、A(O, 4), B(4, O), C( 6,2)，点 D, E, F分别为边BC, CA, AB的中点.(1) 求直线DE, EF, FD的方程；(2) 求 AB边上的高线CH所在直线方程.思路点拨：(1)先求出D , E, F的坐标，再借助共线知识求方程，(2)借助数 量积求解.解(1)由已知得点D( 1,1), E( 3, 1), F(2, 2),设M(x, y)是直线DE上任意一点,f f ff则DM / DE. DM = (x+ 1, y 1), DE = ( 2, 2), ( 2)X (x+ 1) ( 2)X (y 1) = 0,即x y+ 2 = 0为直线DE的方程.同理可求，直

11、线EF, FD的方程分别为x+ 5y+ 8 = 0, x+ y= 0. 设点N(xo, yo)是CH所在直线上任意一点,则CN丄AB,： CN AB = 0. 又CN= (xo + 6, yo 2), AB= (4,4),-4(xo + 6)+ 4(yo 2) = 0,即x+ y+ 4= 0为所求直线CH的方程.母1. (变结论)本例条件不变，证明 ABC为直角三角形. 证明由本例解知AB= (4, 4), AC = ( 6,6), AB AC = 4X ( 6) + 4X 6= 0, AB丄AC,： ABC为直角三角形.2. (变结论)本例条件不变，求过C与AB平行的直线方程.解设所求直线上

12、任一点为P(x, y). 则CP= (x+ 6, y 2), AB= (4,4), 由CP/ AB,得 4(x+ 6) 4(y 2)= 0,即 x y + 8 = 0.厂 fl ”曳砂禾U用向量法解决解析几何问题，如有关平行、共线、垂直、夹角、距离等问题，均可用向量表示或用向量解决，要先将线段看成向量，再利用向量法则进行 坐标运算，使问题得以解决.1=些嵯门教师独具1.本节课的重点是平面向量在平面几何中的应用，难点是平面向量在物理中的应用.2 要掌握平面向量的应用(1) 利用平面向量解决平面几何中的平行、垂直问题;(2) 利用平面向量解决平面几何中的长度问题；(3) 平面向量在物理中的应用当堂

13、达标固烈昼1.力 F = ( 1,质点m做的功是(5)作用于质点m,使m产生的位移s= (4, 6),则力F对)A. 34 B. 26C. 34D. - 26CW= F s= ( 1, 5)(4, 6)= 34,力F对m所做的功是34.2 .在平面直角坐标系xOy中，已知0A= ( 1, t), OB= (2,2).若/ ABO= 90°则实数t的取值为. 5 AB = OB OA= (3, 2 t),由题意知 OB AB= 0,所以 2X 3+ 2X (2 1) = 0,解得 t = 5. 3. 在OA为边，OB为对角线的矩形中，OA= ( 3, 1), OB= ( 2, k)，则 实数k=. 4 如图所示，由于OA= ( 3, 1), OB= ( 2, k),所以AB= OB OA= (1, k 1).在矩形中，由OA丄AB得OAAB= 0,所以 (3,1)(1, k