2019-2020学年苏教版选修32离散型随机变量的方差与标准差学案

1、2 . 5.2离散型随机变量的方差与标准差1. 了解离散型随机变量的方差的实际背景.2理解离散型随机变量的方差的概念与意义.3. 掌握离散型随机变量的方差与标准差的计算与应用.研读导学：胃试 、新知提炼01. 离散型随机变量的方差和标准差方差一般地，若离散型随机变量 X的概率分布如下：XX1X2XnPP1P2Pn则(Xi 沪(尸E(X)描述了 Xi(i = 1, 2，n)相对于均值 卩的偏离程度，故(xi u)2pi +(xg山2p2+ (xn山2Pn (其中pi > 0, i = 1 , 2，n , pi+ p2+ pn= 1)刻画了随机变量X与其均值 卩的平均偏离程度，我们将其称为离

2、散型随机变量X的方差，记为V(X)或乙即V(X) =(7 = (X1 02p1+ (X2 (j)2p2 + + (Xn(j)2 pn , 其中，pi > 0, i = 1 , 2,，n, p1 + p2 + pn= 1.(2)标准差随机变量X的方差V(X)的算术平方根称为 X的标准差，即尸，:V (X)2. 两点分布、超几何分布、二项分布的方差(1) 若 X0-1 分布，则 V(X)= p(1 p)； 若 XH(n, M , N),则 V(X)=nM ( N M)( N n)N2 (N 1)(3)若 XB(n, p),贝U V(X) = np(1 p).、自我尝试"1判断(正确

3、的打“V”，错误的打“x”)(1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定.()若a是常数，则V(a) = 0.()(3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度.()答案：(1)x (2) V (3) V2. 已知X的分布列为X1234P1114364则V（X）的值为（）29A元B.12114417917C.144D./答案：C3.已知X的分布列为X012111P333设 Y= 2X + 3，贝U V(Y) =琲究点1 求离散型随机变量的方差仗! 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n= 1, 2, 3, 4）现从袋中任取一球，E表示所取球的标号

4、求E的概率分布、均值和方差.【解】 由题意得， 的所有可能取值为 0, 1, 2, 3, 4,10 1 1p（ e= o）=20=2, P（片1）=20,213p（片2）=20=而 p（e3）=20,41P（片 4） = 20 =5*故E的概率分布为E01234P1丄丄3J220102051 1 1_31所以 E(8= 0 X 2+ 1X 20 + 2X 石 + 3X 20 + 4X-= 1.5,11131V( 3 = (0 1.5)2X 2 + (1 1.5)2X 20+ (2 1.5)2X 10+ (3 1.5)2x 元+ (4 1.5)2x 5= 2.75.求随机变量的方差一般是列出概率

5、分布，求出期望，再利用方差的定义求解.1.已知随机变量 3的概率分布为:由二项分布的均值与方差的公式得E(Y)= 5 X 0.6= 3,301x11P23p2若E(3 = 3，贝y V( 3的值为.3解析：由概率分布的性质，得1 1 1 1+1+ p= 1,解得 p=6.1112因为 e(3= 0x2+1 x3+6x= 3,所以 x= 2.2 012 012 01155v(3=(03)2x 2+(1 2)2x 1+ (22)2x 6= 17=9.探究点2 两点分布与二项分布的方差A - 某运动员投篮命中率为 p= 06(1) 求投篮1次时，命中次数 X的均值与方差；(2) 求重复5次投篮时，命

6、中次数 Y的均值与方差.【解】(1)法一：投篮一次命中次数 X的概率分布如下表所示:X01P0.40.6贝U E(X) = 0X 0.4 + 1X 0.6 = 0.6,V(X)= (0 0.6)2X 0.4 + (1 0.6)2X 0.6= 0.24.法二：由题意知X服从两点分布，故 E(X) = 0.6 , V(X) = 0.6 X 0.4= 0.24.(2)由题意知重复5次投篮命中的次数Y服从二项分布，即 丫B(5, 0.6).V(Y) = 5X 0.6X 0.4 = 12(1)投篮、射击、抽样(大数量)等问题，由于是n次独立重复试验，发生的次数X服从二项分布，故可利用服从二项分布的均值、

7、方差的计算公式E(X)= np, V(X)= np(1 p)求解.11，共射击6(2)对于服从两点分布、二项分布的随机变量的数学期望与方差问题，可直接利用公式 求解.2. 名学生在军训中练习射击项目，他命中目标的概率是次.(1) 求在第三次射击时首次命中目标的概率；(2) 求他在射击过程中命中目标数E的期望与方差.解：(1)第三次射击时首次命中，意思是第一、二次都未命中而第三次命中，这是相互 独立事件同时发生的概率.1 2又因为 p = 3, 1p=3，2 2 1所以 P=2x 3X 3=427.(2)他在每次射击中目标是否命中是相互独立的，所以是进行了6次独立重复试验，随 机变量E服从二项分

8、布，即EB 6，1 .由服从二项分布的期望与方差的计算公式知E( 3 = np = 6X 3= 2,1肿4V( 3 = np(1 p)= 6 x 3X 3= 3.探究点3均值、方差的综合应用CE 现从甲、乙两个技工中选派一人参加技术比赛，已知他们在同样的条件下每天 的产量相等，而出现次品的个数 X1，X2的概率分布如下:X10123P0.20.40.30.1X20123P0.30.30.20.2根据以上条件，选派谁去合适呢?【解】 根据概率分布可得，E(Xi)= 0X 0.2+ 1X 0.4+ 2X 0.3+ 3X 0.1 = 1.3,E(X2)= 0X 0.3+ 1X 0.3+ 2X 0.2

9、+ 3X 0.2= 1.3,因为E(X1)= E(X2),所以技工甲与乙出现次品数的平均水平基本一致，因而还需考虑稳 定性.V(X1)= (0 1.3)2x 0.2+ (1 1.3)2X 0.4+ (2- 1.3)2X 0.3+ (3 1.3)2X 0.1 = 0.81;V(X2)= (0 1.3)2 X 0.3+ (1 1.3)2 X 0.3+ (2 1.3)2 X 0.2+ (3 1.3)2 X 0.2= 1.21; 因为 V(X1)<V(X2),所以技工乙波动较大，稳定性差，综上应选派技工甲去参加比赛.万法归纳利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤(1)比较均值：离散型随机变量的均

10、值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此,在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高.(2) 在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集 中与离散的程度.通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定.(3) 下结论：依据均值和方差的几何意义做出结论.3. (1)甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的概率分布分别甲0123P0.30.30.20.2乙P0.10.50.4试评定这两个保护区的管理水平.(2)甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X与Y,且X

11、, Y的概率分布如下：X123Pa0.10.6Y123P0.3b0.3 求a, b的值； 计算X，Y的期望与方差，并以此分析甲、乙技术状况.解：(1)甲保护区违规次数E的数学期望和方差为E( 3 = OX 0.3 + 1 X 0.3+ 2 X 0.2+ 3X 0.2= 1.3;V( 3 = (0 - 1.3)2x 0.3+ (1 - 1.3)2X 0.3 + (2 - 1.3)2X 0.2 + (3 - 1.3)2 X 0.2 = 1.21.乙保护区违规次数n的数学期望和方差为E( n = 0X 0.1 + 1 X 0.5+ 2 X 0.4= 1.3;V( n = (0 - 1.3)2X 0.

12、1 + (1 - 1.3)2X 0.5 + (2 - 1.3)2 X 0.4 = 0.41.因为e(3= E(n, v(3>v(n，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定.(2)由离散型随机变量的概率分布的性质可知a+ 0.1 + 0.6 = 1，得 a = 0.3.同理 0.3+ b+ 0.3= 1，得 b = 0.4.E(X)= 1 X 0.3+ 2X 0.1 + 3X 0.6 = 2.3，E(Y) = 1X 0.3+ 2 X 0.4+ 3 X 0.3= 2，V(X) = (1 - 2.3)2

13、x 0.3 + (2 - 2.3)2X 0.1 + (3- 2.3)2X 0.6 = 0.81，V(Y) = (1 - 2)2X 0.3 + (2 - 2)2X 0.4+ (3- 2)2 X 0.3= 0.6.由于E(X)> E(Y)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但 V(X) > V(Y)，说明甲得 分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势.、素养提升卜 I1. 方差与标准差的作用随机变量的方差与标准差一样，都是反映随机变量的取值的稳定与波动、 集中与离散程 度的，方差越小，取值越集中，稳定性越高，波动性越小；反之，方差越大，取值越不集中， 稳定

14、性越差，波动性越大.2. 随机变量的方差与样本方差的关系随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差则是随机变量，是随样本的变化而变化的.对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的nn.某农科院对两个优良品种甲、乙在相同的条件下，进行对比实验，100公顷的产量列表如下：每公顷产量（吨）9.49.59.810.2公顷数11324215乙每公顷产量（吨）9.29.51011公顷数35203510试判断这两个品种哪一个较好？【解】 设甲品种每公顷产量为 X甲，将频率看作概率，则 X甲的概率分布为X甲9.49.59.810.2P0.110.320.420.15由上表可得

15、 E(X 甲)=9.4X 0.11 + 9.5 X 0.32 + 9.8 X 0.42 + 10.2 X 0.15= 9.72.同理可以计算出 E(X 乙)=9.2 X 0.35+ 9.5X 0.2+ 10X 0.35 + 11 X 0.1= 9.72.所以 V(X 甲)=(9.4 - 9.72)2X 0.11 + (9.5-9.72)2X 0.32+ (9.8 - 9.72)2X 0.42+ (10.2 - 9.72)2X 0.15 = 0.064.V(X 乙)=(9.2 - 9.72)2X 0.35+ (9.5 - 9.72)2X 0.2+ (10-9.72)2X 0.35+ (11 -

16、9.72)2X 0.1 =0.295 6,由E(X甲)=E(X乙),V(X甲)<V(X乙)得甲品种质量更好一点.1(1)对于如何评价两个品种的质量的标准只是停在用均值来比较，误以为均值相同即质 量相同，忽视了还可以利用方差对产量的稳定性进行考察.(2)当我们希望实际的平均水平比较理想时，则先求它们的均值，但不要误认为均值相也就是看哪一个相对稳定这时应先考虑方差，再考等时，它们都一样好，这时，还应看它们相对于均值的偏离程度, (即计算方差的大小)，稳定者就更好如果我们希望比较稳定时,虑均值是否接近即可.1.已知某离散型随机变量1A.9解析:B.由题意可知:当堂縊$X服从的分布列如下表所示,

17、则随机变量X的方差V(X)等于V(X)= 0 - 22设随机变量C.1X01Pm2mD.31 1 2 2m+ 2m = 1，所以 m= 3 所以 E(X) = 0X 3 + 1 X 3 = 3,所以2 23一9.z服从二项分布 B(6, 3)，贝U Wz) =解析：V(z) = 6X 1 -1 = 32 2 2.答案：23. 一牧场的10头牛，因误食疯牛病毒污染的饲料被感染，已知疯牛病发病的概率为0.02,若发病的牛数为 E头，则V(E )等于.解析：因为 汁 B(10, 0.02)，所以 V( 3 = 10X 0.02X 0.98 = 0.196.答案：0.196A基础达标1, A发生，1.

18、设一随机试验的结果只有A和A,且P(A)= m,令随机变量 片 十心丄 则E0, A不发生，的方差v(3等于()A. mB . 2m(1 m)C . m(m 1)D . m(1 m)解析：选D.随机变量8的分布列为：801P1 mm所以 E(8= 0x (1 m) + 1 x m= m.所以 V( 8= (0 m)2x (1 m)+ (1 m)2x m = m(1 m).2.如果X是离散型随机变量，E(X)= 6, V(X)= 0.5, X1= 2X 5,那么E(X”和V(X”分别是()A . E(X1)= 12, V(X1)= 1B. E(X1)= 7, V(X1)= 1C. E(X1)=

19、12, V(X1) = 2D . E(X1)= 7, V(X1) = 23抛掷一枚硬币，规定正面向上得 分别为()A . E(X) = 0, V(X) = 11C. E(X) = 0, V(X) =解析：选 D.E(X1)= 2E(X) 5= 12 5 = 7, V(X1)= 4V(X)= 4X 0.5= 2.1分，反面向上得-1分，则得分X的均值与方差1 1B . E(X)= -, V(X) = 1D . E(X) = 2，V(X) = 1解析：选A.由题意知，随机变量 X的分布列为X111P 1P221 1所以 e(x)= (1) x + 1x 2= 0,1 1V(X)=只(1 0)2+

20、2 x (1 0)2= 1.4. 已知X的分布列如下表所示:X-101P1112361231则下列式子：e（x）= -3；v（x）=刃；p（x= 0）=3.其中正确的有（A. 0个C. 2个1解析：选C.由分布列知p（x= 0）=3,13,1 1 111E(X)= (-1)X 2+ 0X 3 + 1X 6 =-2 + 631V(x)=2X-1+32+iX22.c 1,110+ 1+ x-=33659,故只有正确.2 k5.设随机变量E的分布列为P（E= k） = Cn 31 n- k3, k= 0, 1, 2，n24,则V（3的值为（）A. 8ClB. 12D. 162解析：选A.由题意可知

21、严B（n, 3）,2所以 §n = E( 8= 24.所以n= 36.2 2 2所以 V(8= nX3X 1 -3 = §X 36= 8.2 16.若X是离散型随机变量，P(X = x1) = 3, P(X= X2) = 3且X1<x2，又已知2小V(X)= 9,贝y X1 + X2 的值为.4E(X) = 3,解析：由已知得X1 3+ X2§ =4 2 24X1-33+ X2- 32x1 + X2= 4即4 24 22 X1- 3 + X2- 3235解得x1 = 32或x2=3xi = 1X2= 2X1= 1又X1<X2，所以，所以Xi + X2

22、= 3.X2= 2答案：37.个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b,不得分的概率为 c,a, b，c (0, 1)已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分情况)，则ab的最大值为.解析：由已知3a + 2b+ Ox c= 1,所以 3a+ 2b = 1,11 (3a+ 2b) 2所以ab=評加< 64丄241 1当且仅当a =孑b= 时取“=答案：24&设一次试验成功的概率为 p,进行100次独立重复试验，当p=时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为 .解析：由独立重复试验的方差公式可以得到V( 3 = np(1 - p)w 门严；P)2 = n,1等号

23、在p = 1 p= 2时成立，1 1 所以 V( 3max= 100 x 2 x 2 = 25 , ornax=；25= 5.9.编号1, 2, 3的三位学生随意入座编号为1 , 2, 3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生个数是X.(1) 求随机变量X的概率分布；(2) 求随机变量X的数学期望和方差.2 1解：(1)P(X = 0) = A|= 3,c1 1P(x=1) = A3=2，1 1P(X= 3) = A=1，所以随机变量x的概率分布为:X013P111326(2)E(X)= 0 X 1 + 1X 2 + 3 X 6= 1.10根据以往的经验，某工程施工期间的降水量

24、X(单位：mm)对工期的影响如下表:降水量XXV 300300W XV 700700 W XV 900X> 900工期延误天数Y02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：(1) 工期延误天数 Y的均值与方差；(2) 在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率.解：(1)由已知条件和概率的加法公式有：P(X<300) = 0.3, P(300 W X<700) = P(X<700) - P(X<300) = 0.7-0.3 = 0.4,P(700 W X<900) = P(

25、X<900) - P(X<700) = 0.9- 0.7 = 0.2.P(X>900) = 1- P(X<900) = 1 -0.9= 0.1.所以Y的分布列为：Y02610P0.30.40.20.1于是，E(Y)= 0X 0.3+ 2X 0.4+ 6X 0.2+ 10X 0.1 = 3;V(Y) = (0 - 3)2X 0.3 + (2 - 3)2X 0.4+ (6- 3)2 X 0.2+ (10 - 3)2X 0.1 = 9.8.故工期延误天数 Y的均值为3,方差为9.8.由概率的加法公式，P(X > 300)= 1 P(X<300) = 0.7,又 P

26、(300W X<900)= P(X<900) P(X<300) = 0.9 0.3= 06 由条件概率，0= 60.7= 7.P (300W X<900) P(YW 6|X> 300)= P(X<900|X> 300)=P (X > 300)故在降水量X至少是300 mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是7.B 能力提升1若 旷 B(n, p)，且 E( 3 = 6, V( $= 3,贝U P(片 1)的值为np= 6n = 12解析：由，所以 1 .np (1 p)= 3p = 21 12所以 P(3= 1) = C12 2= 3 x 210.答案：3 x 2102从一批含有13只正品，2只次品的产品中，有放回地抽取3次，每次抽取1只，设抽得次品数为 X，贝U V(5X+ 1) =.2 2 2 解析：因为 XB 3, 15 , E(X) = 3 X 15= 5,所以 V(X)= 75,所以 V(5X + 1) = 26.答案：263. 盒子中有5个球，其中3个白球，2个黑球，从中任取两球.设取出白球的个数为 3(1) 求取出白球的个数的数学期望；(2) 求取出