指数与对数的运算

1、勒至善教育合肥分部 至善教育祝您的孩子成人！成才！成功! 网址：http:/ 至善教育版权所有严禁未经授权的任何商业用途 1 【课标要求】 (1)通过具体实例(如细胞的分裂，考古中所用的 14C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等)，了解指数函 数模型的实际背景； (2)理解有理指数哥的含义，通过具体实例了解实数指数哥的意义，掌握哥的运算。 (3)理解对数的概念及其运算性质， 知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数； 通过阅读材料， 了解对数的发现历史以及对简化运算的作用； 【命题走向】 指数与对数的性质和运算，在历年的高考中一般不单独命题。 大多以指数函数、对数函数等基本函数的性

2、质 为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算 理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。 【要点精讲】 1、整数指数哥的概念。 (1)概念：an =a a aa(nw N*) a0=1(a=0) a=-1n (a = 0,n w N*) ,一. . a n n 个 a a m n m n a a = a (m, n Z) (2)运算性质：(am)n =amn(m,nwZ) 两点解释：am + an可看作am (ab)n -an bn(n Z) n . m . n m -n m _n a za x n n n z a x n n

3、n a a 丁a =a a =a (一)可看作 a b ，(一)=a b =- b b bn 2、根式： (1)定义：若xn =a(n 1, n w N Q则 x x 叫做 a a 的 n n 次方根。 (2)(2)求法：当 n n 为奇数时：正数的 n n 次方根为正数，负数的 n n 次方根为负数 记作：x x = = #a#a 当 n n 为偶数时，正数的 n n 次方根有两个(互为相反数) 记作： x = x = UUa a 负数没有偶次方根 0 的任何次方根为 0 名称： 4叫做根式 n n 叫做根指数 a a 叫做被开方数 cL n n，F nF a(a 之 0) (3)(3)公式

4、：(da) = a ；当 n n 为奇数时 Ja = a ；当 n n 为偶数时 a a = a =， -a(a0, k =m(n 1,nW N*) , (ak)n = (an )n = am 由 n n 次根式 n m m 定义，an是am的n次方根，即：an =疗 勒至善教育合肥分部 至善教育祝您的孩子成人！成才！成功! 网址：http:/ 至善教育版权所有严禁未经授权的任何商业用途 2 (3)指数哥的性质：整数指数哥的运算性质推广到有理指数募。 a a r a a s = a= ar s (a (a . . 0,r,s 0,r,s 三 Q ) (aQ ) (ar) )s s=a=ars(

5、a (a . . 0 , r , s Q ) (ab)0 , r , s Q ) (ab)r=a arb br(a 0,b(a 0,b 0,r Q )0,r Q ) (注)上述性质对 r、sWR 均适用。 4、对数的概念 (1)定义：如果a(a 0,且a /1)的 b 次哥等于 N,就是ab = N，那么数b称以a为底 N 的对数，记作loga N = b, 其中a称对数的底，N 称真数。 以 10 为底的对数称常用对数，log10 N记作lg N ； 以无理数e(e= 2.71828)为底的对数称自然对数，loge N ,记作ln N ； (2)基本性质： 真数N为正数(负数和零无对数)；

6、2) loga1=0; logaa=1; 4)对数恒等式：alogaN = N。 (3)运算性质：如果 a0,a0,M 0,N 0,则 lOga(MN) = loga M +loga N ； lOg a M = lOg a M -log a N ； loga M n = nloga M (n W R)。 N (4)换底公式：loga N = 10gm N (a a 0, a # 0,m 0,m #1, N 0), logm a 两个非常有用的结论loga b logb a =1 ;10g m bn = - log ab o a m 【注】:指数方程和对数方程主要有以下几种类型： (1) af(

7、x) =b=；f(x)=log ab, log af(x)=b y f(x)=a b;(定义法) (2) af(x) =ag(x)u f(x)=g(x), log af(x)=log ag(x) =f(x)=g(x)0 , (转化法) (3) af(x) =bg(x)y f(x)log na=g(x)log mb (取对数法) (4) log af(x)=log bg(x) u log af(x)=log ag(x)/log ab(换底法) 【典例解析】 题型1:指数运算 (2)同样规定: (a 0,m,n w N *且n a 1) ; 0 的正分数指数哥等于 0, 0 的负分数指数哥没有意义

8、。 勒至善教育合肥分部 至善教育祝您的孩子成人！成才！成功! 网址：http:/ 至善教育版权所有严禁未经授权的任何商业用途 3 2 2 11 例 1. (1)计算：(33)飞(54)0.5 +(0.008)飞 一(0.02)U x(0.32户产 0.0625025; 8 9 ： J _ ： (2)化简L3 化简：2a3 -8a3b色。_2吗父三三。 2 - 2 一，3 4b3 23 ab a3 a 5a.3 a 4 1 (4)化简： 2 a3-8a3b 2”23回坛 a3 23 ab 4b3 a ,、x2 +x -2 钻/古 求二 - -T - 的值。 3 3 x2 x -3 题型2：对数运

9、算 例3 .计算 (1) (lg2)2 +lg 2 1g50 +lg25; (2)(啕3 2 + 喻9 2卜(血3 + 1叫3)； 1g5 lg 8000 (1g2 力2 13) 1 1 lg 600 lg 0.036 lg 0.1 2 2 1 1 例 2.已知 x2 +x 2 =3 , 勒至善教育合肥分部 至善教育祝您的孩子成人！成才！成功! 网址：http:/ 至善教育版权所有严禁未经授权的任何商业用途 4 例4.设a、b、c为正数，且满足a2 +b2 =c2 b c a f c (1)求证：log2(1 + - )+log2(1+ - )=1； a b b c 2 . (2)右 iog4

10、(i+ - )=1, log8(a+bc)=，求 a、b、c的值。 a 3 题型4:指数、对数方程 例 5。 (1)已知 10g 18 9 = a , 18b=5, 求 log 36 45 (用 a, b 表示) 设 3x =4y =6z =t 1 求证: 1 _1 _ 1 z x 2y 例 6:解方程(1) log 2x2 1 3x2 2x7 =1 log 2 log 3 log 4 X 1-0 勒至善教育合肥分部 至善教育祝您的孩子成人！成才！成功! 网址：http:/ 至善教育版权所有严禁未经授权的任何商业用途 5 例7.设关于x的方程4x 2x* b = 0(bw R), (1)若方程

11、有实数解，求实数 b 的取值范围； (2)当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。 【巩固练习】 1.1. log2 log3 log4 x =log310g410g2 y = log4 log2 log3z =0 ,贝U x + y + z的值为 A. 50 B. 58 C. 89 D. 111 ( ) 2 .若 9, -2 31 =27 ,则 x=； 3 .已知y =4x 3 2x+3的值域为1, 7,则x的取值范围是 ( ) A. 2,4 B.(i0) C.(0,1)U2,4 3x-y 4 若 10 x =2,10y =3,则 10M = 1 4 5.已知 a2 =-(a0

12、),则 10g2 a = 9 3 若 lg x - y lg x 2y =1g2 lg x lg 8.解下列指数方程: 82x =128 (2) 29x 5 _ 16、2 D.(-二,0) 1,2 一，、 22_ _ _2 6. (1) lg5 + lg8 +lg51g20 +(lg2); 3 (2) 10g2 5+log 4 0.2 10g5 2+log 25 0.5 7. 勒至善教育合肥分部 至善教育祝您的孩子成人！成才！成功! 网址：http:/ 至善教育版权所有严禁未经授权的任何商业用途 6 2 (3) 27 =81x 4 (4) 52x _23 5x _50 =0 9. 解下列对数方

13、程 2 log2(x 14) log2(x 2) =3 log2(x 6) (2) (log3x) log93x = 2 - - 1 . (3) 1g 5x 5 =1 - lg(2x -1) (4) log2log 3(log2 x)-1 = 0 2 10 .如果函数y =a2x+2ax 1（a 0,a。1）在区间卜 1 , 1上的最大值是 14,求a的值。 1 2x 4x a _ , 一 一 11 .设f (x) = 1g - 右x U (- 0,1时f (x)有息义，求头数 3 【思维总结】 1 . n/N =a,ab = N,loga N =b （其中N 0,a 0,a 1）是同一数量关

14、系的三种不同表示形式，因此在 a的范围。 勒至善教育合肥分部 至善教育祝您的孩子成人！成才！成功! 网址：http:/ 至善教育版权所有严禁未经授权的任何商业用途 7 许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算 .在运算中，根式常常化为指数式比较 勒至善教育合肥分部 至善教育祝您的孩子成人！成才！成功! 网址：http:/ 至善教育版权所有严禁未经授权的任何商业用途 8 方便，而对数式一般应化为同应化为同底； 2 .要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式 分解、有理化(分子或分母)、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用

15、的变换技巧，必须通过各种题型的训 练逐渐积累经验； 3 .解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指 数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识； 【课后作业】 1.计算。 1) 二(2)在-2第 +J5+2VB 2 1 、2 -1 2.化简下列各式(结果用有理数指数哥表示)： 2 9 - (1) ； (2) ?a2 fa r3 a，3：a13 (a = 0)； Va3 1 , y 1,且 210gx y _21ogy x+3 = 0,求 T = x2 -4y2 的最小值。 8. (1)已知 3x =4y =36,求 x +2y 的值。

16、xy 勒至善教育合肥分部 至善教育祝您的孩子成人！成才！成功! 网址：http:/ 至善教育版权所有严禁未经授权的任何商业用途 10 答案详解 题型1：指数运算 _ 2 _ 1 _ 2 . _ _ 1 例 1.解：(1)原式=(_8_)3 (49)2 +(竺0 土/OxH2+ (-625-)7 27 9 8 10 10000 r4 7 1 42 1 . 17 =- 25 (9 3 5 2 10 2 9 (2)原式=同3+忑)一，2(3+同 2 一、4 -2.3 2 -,(. 3 -1)2 (注意复习，根式开平方) 2 2 _ _ x x -2 47-2 c -3 3 = - = 3 2 一2

17、a 18-3 x2 x 2 -3 点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。 题型2:对数运算 例 3 解:(1)原式=(lg2)2 +(1+Ig5)lg2 +lg52 =(lg2 +lg5 +l)lg2 +2lg5 = (1+I)lg 2 +21g5 =2(lg2+lg5) =2;+ 2)父2 = 2 ； 9 ,2(3 、3) 3- . 3 .2(3 ,3)2 (3 - .3)(3 3) 212 63)*2、6 (3)原式二1 a3(a3)3 -(2b3)3 1 1 a3 -2b3 (a3)2 a3 (2b3) (2b3)2 2 1 (a a3)2 1 1 1 (a2

18、 a3)5 1 1 1 = a3(a3 -2b3) - a3 a 1 -2b3 5 a6 1 a6 1 =a3 a a (4)原式= 1 a3(a -8b) 2 1 1 a3 2a3b3 4b 1 a3 1 1 a3 -2b3 1 a3 a(a-8b) 二 a 。 点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数哥的形式, 然后利用分数指数哥的运算性质求解， 对化 简求值的结果，一般用分数指数哥的形式保留; 般的进行指数塞运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指 数哥，化小数为分数运算, 同时兼顾运算的顺序。 1 例 2.解： x2 1 1 =3 ,(x2 +x 2)2 =9 ,x +2 + x

19、 = 9 , x + x =7 , 1 2 一 (x +x )2 :49, 2 2 Al x +x =47 , 3 3 1 又 x2 x 2 = (x2 1 1 + x 2) x-1+x )=30 , 4a -3b =0 . 由、解得a =6, b=8,从而c=10。 点评：对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对数运算法则为主，将代数式化简到最见形式再来处理即可。 题型3:指对数式的简单应用 18 . 一 例 5(1)解：,log 18 9 = a log 18 =1 - log18 2 = a /.log 18 2 = 1 -a . 18b = 5 log 18 5 = b 10g18 4

20、5 10gs910gs5 a b 10g36 45 = - =- = - log18 36 110 gs 2 2 - a (2)证：.1 3x =4y =6z =t 1 lgt lg t x =一, y =, lg3 lg4 111g 6 1g 3 1g 2 1g 4 1 .一 = 一 = = = z x lgt lgt lgt 2lg t 2y 题型4:指数、对数方程 例 6: 解(1) 3x2 +2x 1 =2x2 1= x2 +2x =0= x =0,x = 2 但必须: 2x2 -1 0 2x2 T =1 2 3x 2x -1 0 I /. x =0 舍去 x =-2 O至善教育合肥分部 至善教育祝您的孩子成人！成才！成功! 网址: http:/