2022年2022年初三数学直线形知识精讲

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载初三数学直线形学问精讲一.本周教学内容：直线形直线形为中学平面几何的基础学问,其中三角形为构成多边形的基础图形,而全等三角形的学问更为重要；全等三角形为争论两个封闭图形之间关系的基本工具,同时也为移动图形位置的工具；例 1.已知,如图,abc中, ad为高, ce为中线, dc=be, dg ce, g为垂足,求证：（ 1）g为 ce的中点；（ 2） b=2 bce；分析：（1）欲证 g为 ce中点,即eg=cg,由条件 dg ce,所以只须证dg所在直线为ce中垂线,想到要连结de,证出 dec为等腰三角形；即 de=cd即可,由已知条件dc

2、=be=e,a abd为直角三角形, de=be=d,c 就此题得到解决；（ 2）由第（ 1）问知： dc=de, bde= dec+ dce=2 dce由 be=de, b= bde=2 dce；证明：（1）连结 de, adb=90°, e 为 ab中点, de=ae=be又 dc=be, dc=de又 dg ec于 g, g为 ec中点（ 2） de=dc, dce= dec edb= dec+ dce=2 dce,又 de=be, b= edb b=2 bce例 2.如图, abc中, ab=ac,d.e.f 分别为 ab.bc.ca上的点,且bd=ce, def=b,求证：

3、 def为等腰三角形；分析： 从已知条件入手,由ab=ac,可得 b= c精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载 def= b, def= b= c又 bef= c+ efc（三角形外角等于不相邻的两内角和） 又 bef= bed+ def bed= efc,从而得到bde cef de=ef,即 def为等腰三角形；证明： dbe和 ecf中, bd=ce, ab=ac, b= c又 bef= bed+ def= c+ efc, def= b bed= efc bde cef, de=ef def为等腰三角形；例 3.已知,如图, 在 abc中,（ ab ac）,d.

4、e 在 bc中,且 de=ec,过 d 作 df ba交 ae于点 f,df=ac,求证： ae平分 bac；分析： df=ac,而 df.ac不在同一三角形中,也不在全等的两个三角形中,所以想到通过证三角形全等把 df 与 ac移动到同一三角形中,由de=ec,即 e 为 dc中点,延长fe 到 g,使 eg=ef,可得到 def ceg,进而得到cg=df=a,c g= gac,又可得到gc df ab, g= bag, bag= gac,即 ag平分 bac证明： 延长 fe 到 g,使 eg=ef,连结 cg在 def和 ceg中, ed=ec, def= ceg, fe=eg def

5、 ceg, df=gc, dfe= g dfab, dfe= bae df=ac, gc=ac, g= cae bae= cae,即 ae平分 bac；例 4.如图,已知ad为 abc的中线, be 交 ac于点 e,交 ad于点 f,且 ae=ef,求证： ac=bf；分析： 要证的两条线段ac.bf不在两个能全等的三角形中,因此证 ac=bf较困难,于为想到通过添加帮助线,把ac.bf 转化到一个三角形中；由于ad为中线,所以常采纳倍长中线的方法添加帮助线,再通精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载过全等三角形的证明得到结论,类似于上一题；证明： 延长 ad到 h,

6、使 dh=ad,连结 bh ad为 abc的中线, bd=dc又 bdh= cda, dh=ad bdh cda bh=ca, h= dac ae=ef, fae= afe又 afe= bfd, h= bfd bh=bf, bf=ac例 5.如图,在等腰rt abc中, c=90°, d为斜边 ab 上任一点, ae cd于 e, bfcd交 cd的延长线于 f, ch ab 于 h点,交 ae于 g,求证： bd=cg分析： 由于 bd与 cg分别在两个三角形中,欲证bd与 cg相等,设法证cge bdf,由于全等条件不足,所以考虑先证aec cfb,进而得到证cge bdf的条件

7、；证明： 在 rt aec与 rt cfb中 ac=cb, ae cd于 e,bf cd交 cd的延长线于f, aec= cfb=90°又 acb=90°, cae=90° ace= bcf rt aec rt cfb, ce=bf在 rt bfd和 rt ceg中, f=gec=90°, ce=bf fbd=90° fdb=90° cdh= ecg, rt bfd rt ceg bd=cg例 6.已知：如图,abc中, bac=120°, ab=3, ac=2, bac的平分线交bc于 d,求 ad的长；分析：此题图形虽然

8、简洁,但内涵很丰富；由已知条件,可由bac=120°, ad平分 bac得到 bad= cad=60°；但没有特别三角形,如直角三角形或等边三角形,所以要求ad的长,只能另想方法；这时我们想到要构造平行线,利用比例性质去求；常精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载利用一个公式“角平分线+ 平行线等腰三角形”；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：法一： 过 d 作 ac的平行线交ab 于 e,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载 ad平分 bac bad= cad=60° 又 eda= cad=60° aed

9、为等边设 ad=x就 ae=de=x, be=3 x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又 deacbe , x3x ab23精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 x6 ,即 ad655法二： 过 c 作 ad的平行线交ba的延长线于f, bad= cad= f= acf=60° acf为等边三角形； af=cf=2, bf=3+2=5 adbacfbf精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即 ad23 , ad655精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载法三： 过 b 作 ac的平行线,交ad的延长线于p精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎

10、下载学习必备欢迎下载就 bap= cad= p=60° abp为等边三角形设 ad=x就 dp=3 x, bp=3又 bpd cad精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 bp ac即 32 xpd ad3xx6 ,即 ad655精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 7.已知：abc 中, bc = 6 , ac = 63, a30°,求ab的长；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载分析： 此题没有给出图形,自己画图时,便要考虑它的特点,题中给出了三角形的两边长及一条边的对角,因此需要分两种情形争论

11、,分别求解；解： 如下两图,作cd ab于 d,在 rt acd中 a = 30°, ac = 63精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 cdac· sin a又 bc=6, bc>cd1 ac332精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载点 d落在 ab边上,或点 d落在 ab的延长线上（ 1）当 d 落在 ab边上时,在 rt acd中, a30°, ac63精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 cd1 ac332精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载adac 2在 rt b

12、cd中dbbc 2cd 29cd 23精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 ab=ad+db=9+3=12精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载（ 2）当点 d 落在 ab的延长线上时, ad=9,bd=3 abadbd936 ab的长为 12 或 6；一.填空：1. 等腰三角形的两条边长分别为2cm和 5cm,就该等腰三角形的周长为 ；2. 一个三角形三边的长分别为8,10, x,就 x 的取值范畴为 ；3. 如图, abc中, ab=ac, ad bc于 d, ae=af,就图中全等三角形共有 对；4.已知,在 abc中, c=80°, a b=

13、20°,就 b 的度数为 ；二.解答题：5. 已知：如图,abc中,点 e, f 分别在 ab, ac边上,点d 为 bc边中点,且ef bc, de=df,求证： ab=ac；6. 如图,在 abc中,已知ab=ac, bac=90°, d 为 bc上一点, ec bc, ec=bd, df=fe,求证：（ 1） abd ace；（ 2） af de；7. 如图,在 rt abc中, c=90°, m为 ab中点, am=an, mnac,求证： mn=ac；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载8. 如图, abc中, adbc于 d,

14、 b=60°, c=45°, bc3 ,求 s abc ；9. 已知：如图,在rt abc中, acb=90°, ac=bc,d 为 bc的中点, ce ad,垂足为点e, bf ac交 ce的延长线于点f,求证： ab垂直平分df；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载 参考答案 一.填空题1. 12cm 2. 2<x<18 3. 44. 40°二.解答题：5.证明： de=df, 1=3 efbc, 1= 2, 3= 4 2= 4dbdc在 dbe和 dcf中, 2 4dedf dbe dcf b= c, ab=a

15、c6. （ 1） ab=ac, abc= acb又 bac=90°, b= acb=45°又 ec bc, ecb=90°, eca=45°又 bd=ce, abd ace（ 2） abd ace, ad=ae又 df=fe, af de7. 连结 cm, c=90°, m为 ab的中点, am=mb=m,c 1= 2 mnac, 2= 3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载 am=an, 3= n, 1= 2=3= n又 4=180° 3 n在 abc中, 1+ 2+5=180° 5=180° 1 2=180° 3 n 5= 4, amn mac, mn=a；c8. 设 ad=x, ad=dc=xbd3x , b=60°精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 tan bad bdx3, x3x3 312精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载s