相似三角形的应用举例

1、 相似三角形应用举例相似三角形应用举例问题问题1 1 据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度. .如下图，如果木杆如下图，如果木杆EFEF长长2m2m，它的影长，它的影长FDFD为为3 m3 m，测得，测得OAOA为为201 m201 m，求金字塔的高度求金字塔的高度BO.BO.分析分析：（：（1 1）利用太阳光线是平行的，得到）利用太阳光线是平行

2、的，得到ABEDABED，又有，又有OBOB、EFEF都垂都垂直于地面；直于地面；（2 2）证明）证明ABOABODEADEA；（3 3）利用相似比，求）利用相似比，求BO.BO. 相似三角形应用举例相似三角形应用举例问题问题2 2 如下图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点如下图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P P，在近岸取点，在近岸取点Q Q和和S S，使点，使点P P、Q Q、S S共线且直线共线且直线PSPS与河垂直，接着在过点与河垂直，接着在过点S S且与且与PSPS垂直的直线垂直的直线a a上选择适当的点上选择适当的点T T，确定，确定PTPT与过

3、点与过点Q Q且垂直且垂直PSPS的直线的直线b b的交点的交点R.R.如果测得如果测得QS=45 mQS=45 m，ST=90 mST=90 m，QR=60 mQR=60 m，求河的宽度，求河的宽度PQ.PQ.分析分析：PQR=PST=90PQR=PST=90，P=PP=P PQRPQRPSTPST即即 ， ， . .解得解得PQ=90. PQ=90. PQQRPQQSST604590PQPQ90(45) 60PQPQ 相似三角形应用举例问题问题3 3 已知左、右并排的两棵大树的高分别是已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8mAB=8m和和CD=12mCD=12m，两树的根部的，两树的根

4、部的距离距离BD=5mBD=5m，一个身高，一个身高1.6m1.6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路的人沿着正对这两棵树的一条水平直路L L从左向右从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点顶端点C C？分析分析： ABCD，AFHCFK. ，即，即 ，解得，解得FH=8.,ABl CDlFHAHFKCK8 1.66.4512 1.610.4FHFH 相似三角形应用举例相似三角形应用举例【例例1 1】雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面2m2m远

5、一块小积水处，远一块小积水处，他看到旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为他看到旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为40m40m，该生的眼部，该生的眼部高度是高度是1.5m1.5m，那么旗杆的高度是，那么旗杆的高度是_m._m.【答案答案】设旗杆的高度为设旗杆的高度为xmxm，由于在同一时刻，物体的高度与其影长所在的，由于在同一时刻，物体的高度与其影长所在的三角形与另一物体的高度与其影长所在的三角形相似，所以在同一时刻旗杆三角形与另一物体的高度与其影长所在的三角形相似，所以在同一时刻旗杆的高度与其影长的比等于人的眼部高度与其影长的比，故可列出的高度与其影长的比等于人的眼部高度与其

6、影长的比，故可列出= = 解得解得x=30 x=30（m m）. . 相似三角形应用举例相似三角形应用举例【例例2 2】如图如图1 1，在离某建筑物，在离某建筑物4 4米处有一棵树，在某时刻米处有一棵树，在某时刻1.2m1.2m长的竹竿竖长的竹竿竖直地面其影长为直地面其影长为2m2m，此时，树的影子照射地面，还有一部分影子在建筑，此时，树的影子照射地面，还有一部分影子在建筑物的墙上，墙上的影长为物的墙上，墙上的影长为2m2m，那么这棵树高约多少米，那么这棵树高约多少米. .图1【答案答案】4.4m.4.4m.m310【解析解析】解法（解法（1）本题可以延长）本题可以延长AD交交BC所在直线于所

7、在直线于E,则由题意可知，则由题意可知， DCE，可得，可得 ,由已知条件可求出由已知条件可求出CE的长为的长为 进而求出进而求出BE的长的长. 再由再由 ABE可得可得 ，于是可求出，于是可求出AB的长的长.CECBDCBACBBEBAABCBACBA 相似三角形应用举例相似三角形应用举例【例例3 3】阳光通过窗口照射到室内阳光通过窗口照射到室内, ,在地面上留下在地面上留下2.7m2.7m宽的亮区宽的亮区( (如图如图2 2所示所示),),已知亮区到窗口下的墙脚距离已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,EC=8.7m,窗口高窗口高AB=1.8m,AB=1.8m,求窗求窗口底边离地面的高

8、口底边离地面的高BC.BC.图2【解析解析】由同一时刻的光线互相平行可得，由同一时刻的光线互相平行可得，AEBD,所以所以AECBDC,可得可得 ，结合图形及已知条件可求出，结合图形及已知条件可求出BC的长的长.ACBCECDC【答案答案】BC=4m. 相似三角形应用举例相似三角形应用举例1 1如图如图1,AB1,AB是斜靠在墙上的长梯是斜靠在墙上的长梯, ,梯脚梯脚B B距墙脚距墙脚1.6m,1.6m,梯上点梯上点D D距墙距墙 1.4m,BD1.4m,BD长长0.55m,0.55m,则梯子的长为则梯子的长为_._.2 2如图如图2 2，A A、B B两点被池塘隔开，在两点被池塘隔开，在 A

9、BAB外选一点外选一点 C C，连结，连结 ACAC和和 BCBC，并，并分别找出它们的中点分别找出它们的中点 M M、N N若测得若测得MNMN15m15m，则，则A A、B B两点的距离两点的距离为为 . .图1图24.4m30m 相似三角形应用举例相似三角形应用举例3. 3. 李明同学想利用树影的长测量校园内一棵大树的高度，他李明同学想利用树影的长测量校园内一棵大树的高度，他在某一时刻测得一棵小树的高为在某一时刻测得一棵小树的高为1.51.5米米 ，其影长为，其影长为1.21.2米米. .同同时，他测得这棵大树的影长为时，他测得这棵大树的影长为3 3米，则这棵大树的实际高度为米，则这棵大

10、树的实际高度为_米米. .4 4高高4m4m的旗杆在水平地面上的影子长的旗杆在水平地面上的影子长6m6m，此时测得附近一个，此时测得附近一个建筑物的影子长建筑物的影子长24m24m，求该建筑物的高度，求该建筑物的高度. .415 相似三角形应用举例相似三角形应用举例5 5某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1m1m长的竹杆竖直长的竹杆竖直放置时的影长为放置时的影长为1.5m1.5m，在同一时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近，在同一时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一幢楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上一幢楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上

11、. .他测得落在他测得落在地面上的影长为地面上的影长为21m21m，留在墙上的影高为，留在墙上的影高为2m.2m.你能帮助他求出旗杆的你能帮助他求出旗杆的高度吗？高度吗？6 6一条河的两岸是平行的，在河的这一岸每隔一条河的两岸是平行的，在河的这一岸每隔5m5m有一棵树，在河有一棵树，在河的对岸每隔的对岸每隔50m50m有一根电线杆，在这岸离开岸边有一根电线杆，在这岸离开岸边25m25m处看对岸，看到处看对岸，看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有两棵树，求河的宽度之间还有两棵树，求河的宽度. . 相似三角

12、形应用举例相似三角形应用举例7. 7. 如图如图3 3，小明为了测量某一高楼，小明为了测量某一高楼MNMN的高，在离点的高，在离点N200mN200m的的A A处水处水平放置了一个平面镜，小明沿平放置了一个平面镜，小明沿NANA方向后退到点方向后退到点C C正好从镜中看到楼正好从镜中看到楼顶点顶点M M，若，若ACAC15m15m，小明的眼睛离地面的高度为，小明的眼睛离地面的高度为1.6m1.6m，请你帮助，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m0.1m）. .图3 相似三角形应用举例相似三角形应用举例本节课我们主要研究了运用两个三角形相似解决实际问题，本节课我们主要研究了运用两个三角形相似解决实际问题，在解决实际问题中经历了从实际问题到建立数学模型的过程在解决实际问题中经历了从实际问题到建立数学模型的过程.数学建模的关键是把生活中的实际问题转