自动控制系统的数学模型

1、第2章辅导机械系统机械旋转系统如图所示。为一圆柱体被轴承支撑并在黏性介质中转动。当力矩作用于系统时，产生角位移。求该系统的微分方程式。解根据牛顿第二定律，系统的诸力矩之和为dG(t) T(t)-Ts(t) -Td(t) = J y dt式中：J 转动系统的惯性矩；扭矩 Ts(t) = K"t),K扭簧的弹性系数；图机械旋转系统黏性摩擦阻尼力矩 Td (t) = B dW dtB黏性摩擦系数。因此该系统的运动方程式为J d 口。Bdt2(2 2)电气系统电气系统的基本元件是电阻、电容、电感以及电动机等， 支配电气系统的基本定律是基尔霍夫电路定律。图为一具有电阻一电感一电容的无源网络,

2、程式。解 根据基尔霍夫电路定律，有求以电压u为输入，uc为输出的系统微分方U二Ldi- i RuCdtUc工 dUc而 i =C cdt则上式可写成如下形式10图RLC无源网络上式表不了LC 驾 RCdt2du cUc = Udt(23)RLC电路的输入量和输出量之间的关系。编写控制系统微分方程的一般步骤为：(l)首先确定系统的输入量和输出量；(2)将系统划分为若干个环节，确定每一环节的输入量和输出量。确定输入量和输出量 时，应使前一环节的输出量是后一环节的输入量。(3)写出每一环节(或元件)描述输出信号和输入信号相互关系的运动方程式；找出联系输出量与输入量的内部关系，并确定反映这种内在联系的

3、物理规律。而这些物理定律的数学表达式就是环节(或元件)的原始方程式。在此同时再做一些数学上的处理，如非线性函数的 线性化。考虑忽略一些次要因素。使方程简化的可能性和容许程度。(4)消去中间变量，列出各变量间的关系式。设法消去中间变量，最后得到只包含输入 量和输出量的方程式。于是，就得到所要建立的元件或系统的数学模型了。非线性数学模型的线性化1、一般运动方程式化为增量方程式的步骤 以下式为例2F(t) = M d y(t) Bdykydt2dt(1)确定额定点，写出静态方程式：设额定点为(F。，v。),静态方程式为 Ky。=F。(2)将原运动方程式中的瞬时值用其额定点值和增量之和表示y=y。+A

4、y; F=F。+ AF。 2d (y0 二 v)d(y07)M (y°y) B (y0y)k(y0y); F0Fdt2dt(3)将演化后的运动方程式与静态方程式相减，其结果即为增量方程式M d 1y + B-dy + kAy = AF dt2 dt2、非线性函数的线性化线性化这一概念用数学方法来处理，就是将一个非线性函数在其工作点展开成泰勒(Taytor)级数，然后略去二次以上的高阶项，得到线性化方程，用来代替原来的非线性函(1) 一元函数的线性化y = f(xo)+管设系统的工作点为(x0, y0),那么y=f(x)在额定工作点附近展开成泰勒级数为(x-xo)2 -xo/、1 d2

5、f(x)(x-xo)2x02! dxdf (x)dx因函数y=f(x)在工作点很小的范围内变化，可忽略二次以上的各项，则方程为(x - Xo) = yok(x - Xo)Xo这就是非线性元件或系统的线性化数学模型。线性化有如下特点：(l)线性化是相对某一额定工作点进行的。工作点不同，得到线性化微分方程的系数也 不同。(2)若使线性化具有足够精度，调节过程中变量偏离工作点的偏差信号必须足够小。(3)线性化后的运动方程是相对额定工作点以增量来描述的。因此，可以认为其初始条 件为零。(4)线性化只能运用没有间断点、折断点和非单值关系的函数，对具有本质非线性元件 的非线性系统是不适用的。传递函数的定义

6、在线性定常系统中，初始条件为零时，系统(或元件)输出的拉氏变换Xc(s)和输入的拉氏变换Xr(s)之比称为系统(或元件)的传递函数，即G(s)=Lxc(t)LXr(t)Xc(s)Xr(s)XKs)> G(s)Xc(s)X(s)=G(s)X r(s)若令输入信号为单位脉冲函数图传递函数图示8 (t),其拉氏变换为Xr(s)= 1 ,则根据上式得Xc(s)=G(s)传递函数是系统或环节数学模型的另一种形式，它反映了系统输出变量与输入变量之间的关系。它只和系统本身的特性参数有关，而与输入量无关。系统传递函数是复变量 s的函数，常常可以表达成如下形式GQ)=或贝卜工)G(Q=n(承+D f -

7、1传递函数的性质1 .传递函数只与系统或元件自身的内部结构和参数有关，而与输入量和初始条件等外 部因素无关。2 .传递函数是复变量s的有理真分式，分母多项式的次数 n高于分子多项式的次数 m(这 是控制系统的物理性质决定的 )，而且其所有系数均为实数 (因为元件参数只能是实数)。3 .传递函数等于单位脉冲函数输入时的系统输出响应的象函数，或者说传递函数的拉 氏反变换是系统的单位脉冲响应。4 .在复数平面内，一定的传递函数有一定的零，极点分布图与之相对应。5 .分母中的最高阶若为 n,则称系统为n阶系统。6 .传递函数只能用于研究单输入、单输出系统，它只能反映输入和输出间的关系，并 且对于非零初

8、始状态的系统运动特性不能反映。典型环节及其传递函数(一)放大环节(比例环节)放大环节的输出量以一定比例复现输入量，而毫无失真和时间滞后现象。设输入量为Xr(t),输出量为Xc(t),则其运动方程式为Xc(t)=Kx r其传递函数为G(s尸Xc(s)/Xr(s尸K式中K 放大系数。放大环节的共同特点是传递函数为一常数。纯放大环节是很少见的，多数是忽略某些次要因素后视为放大环节。几乎所有控制系统都有放大环节，主要用于电压、电流、力、速度 等的放大或减小。(二)惯性环节在惯性环节中，总含有储能元件，以致使输出不能立即复现突变型式的输入，而是落后于输入。设输入为 Xr，输出为Xc(t),则其运动方程式

9、为Tdxcg Xc(t) = KXr(t)dt其传递函数为G(s-Xc(s)/Xr(s)=K/(Ts+1)式中 T 环节的时间常数；K环节的放大系数。惯性环节的特性由时间常数T和放大系数K决定。惯性环节的输出量和输入量的量纲可能是相同的，也可能是不相同的。K等于输出量与输入量的稳态值之比。图2-9电气惯性环节(三)积分环节积分环节的输出量Xc(t)的变化率和输入量 Xr(t)成正比，即第2="(才)-0其传递函数为G(s)=X c(s)/Xr(s)=K/s(四)振荡环节振荡环节包含两种形式的储能元件，并且所储存的能量相互转换。如机械位能和动能之间，电能和磁能之间的转换等。因此，使输出

10、量具有振荡的性质。设输出量为Xc,输入量为Xr,振荡环节的运动方程式为d2Xc2 kdXcdtXc = KXr其传递函数为G(s)KTkS 1令Tk =2打，可写成G(s)T2s2 2 Ts 1式中T-时间常数; 阻尼比； -放大系数。显然，决定振荡环节性能的参数有放大系数K,时间常数T和阻尼比I。(五)一阶微分环节一阶微分环节有理想微分环节和实际微分环节之分。理想微分环节的输出 Xr的微分。其运动方程式为x«t)为输入则传递函数为G(s)=X c(s)/Xr(s)=Ks从数学观点来看，微分是一个求变化率的过程。因此，任何一个能指示出一个量的变化速率的装置都可视为微分环节。实际微分环

11、节的传递函数常带有惯性环节，即G(s尸Xc(s)/X r(s尸Ks/(Ts+1)dt微分环节是自动控制系统中经常用于改善系统性能的环节(六)二阶微分环节二阶微分环节的运动方程为, 2， 、，、2d Xr(t)dXr (t)Xc(t)=K r2 2 rXr(t)dtdt相应地二阶微分环节的传递函数为G(s) =K( 2s2 2 s 1)可见二阶微分环节的输出不仅决定于输入量本身，还决定于它的一阶导数和二阶导数。 其特性由K、。和I三个参数来表示。该环节主要用来帮助改善系统的动态品质。(七)时滞环节即输入信号加入后，输出要隔一定时间。才能复现在实际控制系统中常遇到时滞环节, 输入信号，时滞环节的运

12、动方程为Xc(t)=X r(t- T )根据时域位移定理，其传递函数为Xc(s)Q.sG(s) = = eXr(s)图2-11时滞环节系统动态结构图控制系统的动态结构图一般由如下四种基本单元组成，它们是(1)信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，信号线上标信号的原函数 或象函数。(2)方框：方框中为元部件的传递函数。它起着对信号的运算和转换作用。(3)引出点：表示信号引出或测量位置，从同一点引出的信号完全相同，如图(c)所示。(4)综合点(比较点)：对两个以上信号进行加减运算，“ + ”号表示相加，“”号表U(s)(b)示相减，如图(d)所示。U(s)(a)U(s)U(s) 土 R(

13、s)U* >± 1 U(s)R(s)(c)(d)图组成动态结构图的基本单元2 .结构图的运算法则系统各环节之间一般有三种联接方式：串联、并联和反馈联接。(1)串联运算法则n个环节串联的总传递函数等于各个环节的传递函数之积。(2)并联运算法则n个同向环节相并联的总传递函数等于各环节的传递函数之代数和。(3)反馈运算法则具有反馈环节的系统的总传递函数等于前向通路的传递函数除以1力口(或减)前向通路和反馈通路两者传递函数的乘积。即G(s)= G(s)(负反馈)1 G(s)H(s)(s)= G(s(正反馈)1 -G(s)H (s)(4)比较点移位法则和引出点移位法则在复杂的反馈系统中，

14、除了主反馈之外，常有互相交错的局部反馈。为了便于运算，常通过移动比较点和引出点的方法，将系统结构作些变化， 以减少局部反馈回路。 这叫做方框图变换(或简化)。方框图变换的原则是：变换前后的输出信号应不变。引出点的前后移动其等效变换结构图如图所示。(b)引出点后移图引出点前后移动等效变换3 .有扰动参与作用下的闭环系统当给定量R(s)和扰动量N(s)两个输入量同时作用于线性系统时，可对每一输入量分别求 出输出量，然后应用叠加原理，将两者叠加而成系统的总输出量。(1)在R(s)作用下的闭环传递函数设N(s) = 0,应用反馈运算法则得闭环传递函数中(s) CR(s) Gi(s)G2(s)R R(s

15、) 1 Gi(s)G2(s)H(s)故GR(s) =中R(s)R(s)=Gi (s)G2(s)1 Gi(s)G2(s)H(s)R(s)(2)在N(s)作用下的闭环传递函数 应用反馈运算法则得闭环传递函数为s)*(s" G2(G)2Gs；s)H(s)Cn(s) = ：(s)N(s) =G2(s)1 G2(s)Gi(s)H(s)N(s)图扰动作用下的闭环系统图 图2-21的等效方框图(3)合成输出响应根据叠加原理，给定量和扰动量两种输入同时作用下的系统合成响应为C(s) =Cr(s) Cn(s) =Gi(s)G2(s)1 Gi(s)G2(s)H(s)R(s)G2(s)1 Gi(s)G2(

16、s)H (s)N(s)由上式可知，当 |Gi(s)G2(s)H(s)|>>1 和 |Gi(s)H(s)|>>1 时， n(s)=0,这意味着扰动 N(s) 的影响被抑制掉了。这是闭环系统的优点之一。此外，当|G1(s)G2(s)H(s)|>>1 一，1时,6R(s)定,即R与刖向通路的传递函数G1(S)G2(S)无关，只与反馈通路的传递函数H(s)H(s)成反比。这是闭环系统的另一优点。(4)系统的误差传递函数以误差信号E(s)为输出、以给定量R(s)或干扰量N(s)为输入量的闭环传递函数称为系统 的误差传递函数。在R(s)作用下的误差传递函数设N(s) = 0,再用反馈运算法则得误差传递函数为Er(s)1R(s) - 1 G1(s)G2(s)H(s)上式对于反馈系统的误差分析是非常重要的。在N(s)作用下的误差传递函数设R(s)= 0,再根据正馈运算法则得误差传递函数为En (s)-G2(s)