线性空间基和维数

1、.即线性空间的构造如何？即线性空间的构造如何？怎样才能便于运算？怎样才能便于运算？问题问题如何把线性空间的全体元素表示出来？如何把线性空间的全体元素表示出来？这些元素之间的关系又如何呢？这些元素之间的关系又如何呢？（基的问题）（基的问题）问题问题线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西数发生联系数发生联系, ,使其能用比较具体的数学式子来表达？使其能用比较具体的数学式子来表达？（坐标问题）（坐标问题） . 设设V 是数域是数域 P 上的一个线性空间上的一个线性空间（1）1212,(1),rrV rk kkP 和式和式 1122rrkkk的一个的一个线

2、性组合线性组合称为向量组称为向量组12,r （2） ，若存在，若存在 12,rV 12,rk kkP则称向量则称向量 可经向量组可经向量组 线性表出线性表出；12,r 1122rrkkk使使.若向量组若向量组 中每一向量皆可经向量组中每一向量皆可经向量组 12,s 12,r 线性表出，则称向量组线性表出，则称向量组12,s 可经向量组可经向量组 线性表出线性表出； 12,r 若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组为为等价的等价的 （3）12,rV ，若存在不全为零的数，若存在不全为零的数 12,rk kkP，使得，使得 11220rrkkk则称

3、向量组为则称向量组为线性相关线性相关的的；12,r .（4）如果向量组如果向量组 不是线性相关不是线性相关的，即的，即12,r 11220rrkkk只有在时才成立，只有在时才成立， 120rkkk则称则称为为线性无关线性无关的的 12,r （1）单个向量单个向量 线性相关线性相关 0.单个向量单个向量 线性无关线性无关 0向量组向量组线性相关线性相关 12,r 12,r 中有一个向量可经其余向量中有一个向量可经其余向量线性表出线性表出 .（2）若向量组线性无关，且可被若向量组线性无关，且可被12,r 向量组向量组 线性表出，则线性表出，则 12,s ;rs若若 与与 为两线性无关的为两线性无关

4、的12,r 12,s 等价向量组，则等价向量组，则 .rs（3）若向量组线性无关，但向量组若向量组线性无关，但向量组 12,r 12,r 线性相关，则线性相关，则 可被向量组可被向量组 线性表出，且表法是唯一的线性表出，且表法是唯一的12,r . 因为，对任意的正整数因为，对任意的正整数 n，都有，都有 n 个线性无关的个线性无关的向量向量若线性空间若线性空间 V 中可以找到任意多个线性无关的向量，中可以找到任意多个线性无关的向量，则称则称 V 是是无限维线性空间无限维线性空间 例例1 所有实系数多项式所成的线性空间所有实系数多项式所成的线性空间 Rx 是是无限维的无限维的. 1，x，x2，x

5、n1. n 维线性空间维线性空间；常记作；常记作 dimV n .若在线性空间若在线性空间 V 中有中有 n 个线性无关的向量，但是个线性无关的向量，但是任意任意 n1 个向量都是线性相关的，则称个向量都是线性相关的，则称 V 是一个是一个 零空间的维数定义为零空间的维数定义为0. .dimV 0 V0.在在 n 维线性空间维线性空间 V 中，中，n 个线性无关的向量个线性无关的向量 12,n ，称为，称为 V 的一组的一组基基；下的下的坐标坐标，记为，记为 12( ,).na aa设设 为线性空间为线性空间 V 的一组基，的一组基， 12,n ,V则数组，就称为则数组，就称为 在基在基 12

6、,n 12,na aa112212,nnnaaaa aaP 若若.有时也形式地记作有时也形式地记作 1212(,)nnaaa 向量向量 的坐标的坐标 12( ,)na aa是被向量是被向量 和基和基 12,n 唯一确定的即向量唯一确定的即向量 在基下的坐标唯一的在基下的坐标唯一的. . 12,n 但是，在不同基下的坐标一般是但是，在不同基下的坐标一般是不同的不同的 .：若线性空间若线性空间V中的向量组中的向量组 满足满足 12,n ） 线性无关；线性无关； 12,n ） 可经可经 线性表出线性表出 ,V12,n 则则V为为n 维线性空间，维线性空间， 为为V的一组基的一组基 12,n .证明证

7、明： 线性无关，线性无关， 12,na aaV的维数的维数至少为至少为 n 任取任取V中中 n1个向量个向量 ，121,nn 由由)，向量组，向量组 可用向量组可用向量组121,nn 若是线性无关的，则若是线性无关的，则n1n，矛盾，矛盾 121,nn 12,na aa线性表出线性表出. . V中任意中任意n n1 1个向量是线性相关的个向量是线性相关的 121,nn 故，故，V是是n 维的，维的， 就是就是V的一组基的一组基 12,n .例例23 维几何空间维几何空间R3 ( , , ) , ,x y z x y zR123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)是是R3的一组基；的一

8、组基； 123(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)也是也是R3的一组基的一组基一般地，向量空间一般地，向量空间12( ,),1,2, nniPa aaaP in为为n维的，维的， 12(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)n就是就是 Pn 的一组基称为的一组基称为Pn的标准基的标准基. . n 维线性空间维线性空间 V 的基不是唯一的，的基不是唯一的，V中任意中任意 n个个 任意两组基向量是等价的任意两组基向量是等价的 例例3（1）证明：线性空间）证明：线性空间Pxn是是n 维的，且维的，且线性无关的向量都是线性无关的向量都是V的一组基的一组基 （2）证明：）证明：1，xa，

9、(xa)2，(xa)n11，x，x2，xn1 为为 Pxn 的一组基的一组基 也为也为Pxn的一组基的一组基.证证:（1）首先，首先，1，x，x2，xn1是线性无关的是线性无关的 1，x，x2，xn1为为Pxn的一组基，的一组基，从而，从而，Pxn是是n维的维的.011(,)na aa其次，其次， 1011( ) nnnf xaa xaxP x可经可经 1，x，x2，xn1线性表出线性表出 ( )f x在基在基1，x，x2，xn1下的坐标就是下的坐标就是此时，此时，1011( )nnf xaa xax.（2）1，xa，(xa)2，(xa)n1是线性无关的是线性无关的 又对又对 ( ) nf x

10、P x，按泰勒展开公式有，按泰勒展开公式有 (1)1( )( )( )( )()()(1)!nnfaf xf afa xaxan即即, ,f(x)可经可经1，xa，(xa)2，(xa)n1线性表出线性表出. .1，xa，(xa)2，(xa)n1为为Pxn的一组基的一组基 在基在基1，xa，(xa)2，(xa)n1下的坐标是下的坐标是 (1)( )( ( ),( ),)(1)!nfaf afan此时，此时，1011( )nnf xaa xax.若把若把C看成是实数域看成是实数域R上的线性空间呢？上的线性空间呢？ 而实数域而实数域R上的线性空间上的线性空间C为为2维的，数维的，数1，i 就为就为例

11、例4求全体复数的集合求全体复数的集合C看成复数域看成复数域C上的线性上的线性空间的维数与一组基；空间的维数与一组基；解：解：复数域复数域C上的线性空间上的线性空间C是是1维的，数维的，数1就是它的就是它的一组基；一组基；它的一组基它的一组基：任意数域任意数域P看成是它自身上的线性空间是一维的，看成是它自身上的线性空间是一维的， 数数1就是它的一组基就是它的一组基.解：解：令令 111 0,0 0E120 1,0 0E210 0,1 0E220 00 1E则则 11122122,EEEE是线性无关的是线性无关的事实上，由事实上，由 111221220aEbEcEdE，即，即 0a bc d有有

12、0.abcd又对又对 2 211122122aaAPaa，有，有 1111121221212222Aa Ea Ea Ea E例例5求数域求数域P上的线性空间的维数和一组基上的线性空间的维数和一组基 2 2P是是 的一组基，的一组基， 是是4维的维的 11122122,EEEE2 2P2 2P.矩阵矩阵 在基在基 下的下的 11122122aaAaa11122122,EEEE坐标就是坐标就是 11122122(,).aaaa一般地，数域一般地，数域P上的全体上的全体 矩阵构成的线性空间矩阵构成的线性空间mn为为 维的，维的， m nPmn0001000ijE j第 列i第 行1,2,1,2,im

13、jn 就是就是 的一组基的一组基 m nP11(),mnm nijijijiiAaPAa E 有有矩阵单位矩阵单位.1234, 下的坐标，其中下的坐标，其中 1234(1,1,1,1),(1,1, 1, 1),(1, 1,1, 1),(1, 1, 1,1) 解：解：设设 1 1223 344xxxx，则有线性方程组，则有线性方程组12341234123412341211xxxxxxxxxxxxxxxx解之得，解之得， 12345111,4444xxxx 在基在基 1234, 下的坐标为下的坐标为 5 111( ,)4 444 例例6在线性空间在线性空间 中求向量中求向量 在基在基 4P(1,2

14、,1,1).1. .已知全体正实数已知全体正实数R对于加法与数量乘法：对于加法与数量乘法：,kababk aaa bRkR 构成实数域构成实数域R上的线性空间，求上的线性空间，求R的维数与一组基的维数与一组基. . 2100( )( ) ,00,00Vf A f xR x A 2. .求实数域求实数域R上的线性空间上的线性空间V的维数与一组基的维数与一组基. .这里这里132i . 1 解解: 数数1是是R的零元素的零元素.即即 x 可由可由 a 线性表出线性表出.任取任取R中的一个数中的一个数 a , 且且 ，则，则a是线性无关的是线性无关的.1a log,log,.xaxkaxRkRk aaax 又又有有使使故故R是一维的，任一正实数就是是一维的，任一正实数就是R的一组基的一组基.( 1)a (,11).xRxxx . 2 解解: 2313,1,2i 2133132nnknkkZnk 22310010000 ,010,00001AAE 233132nEnkAAnkkZAnk .下证线性无关下证线性无关.