三角函数典型例题分析

1、0°360。间的三角函数典型例题分析弧度制典型例题分析 任意角的三角函数典型例题分析一 任意角的三角函数典型例题精析二 同角三角函数的基本关系式典型例题分析诱导公式典型例题分析 用单位圆中的线段表示三角函数值典型例题分析三角公式总表正弦函数、余弦函数的图象和性质典型例题分析26函数y=Asin(wx+j)的图象典型例题分析 正切函数、余切函数的图象和性质典型例题分析已知三角函数值求角典型例题分析全章小结高考真题选讲0°360°间的三角函数典型例题分析例1 已知角a的终边经过点P(3a, -4a) (a<0, 0° Wa W360。)，求解a的四个三

2、角函数.解 如图 2-2： Vx=3a, y=-4a, a<0； = 7(3+(-43)2 =-5ayAx3and = = - , cos Cl = =r5r5yAx3tgC = - =ctgCLx3y4例2 求315°的四个三角函数.解 如图2-3,在315°角的终边上取一点P(x, y)图2-3于是可得；*=¥匚'门因此'cosa注：对于确定的角a ,三角函数值的大小与P点在角a的终边上的位置无关，如在 315°的角的终边上取点Q(b T),计算出的结果是一样的弧度制典型例题分析例1 (1)将112° 30,化为弧度；

3、将干弧度化为度 解"=盒弧度.-.112° 3=-J-x 112.5度=学孤度.loUo180(2).1弧度=()°T5x .5冗 180 - n百弧度=(石x)=彳亍1J16 7T角度与弧度的换算要熟练卓握，见下表设0P=r,作PM垂直于x轴，垂足是M,可见ZP0MM5(1)O115°30B45B60*75°90B120°135°150°訥度07512716n47t35嚴12兀233n46角度180°210°225。240°270 °300 °315°3

4、30 0360 °弧度n7n6九44=33ji237"4llfi62兀例2 将下列各角化成2kn +a (kw乙OWa <2ir )的形式，并确定其所在的象限。19爪解(1)7 1 = 2 兀 +右, 卑与第的终边相同。 而嘤是第三象限的角，0字是第三象限的角.£兀=_6兀+二，斗兀与琴的终边相同，6 6 6 6它是第二象限的角.注意：用弧度制表示终边相同角2kir+a (kez)时，是打的偶数倍，而不是it的整数例3己知a =,则点P伽a, tga)所在的象艰是OA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解f<a=T<KAsina >

5、;0, tga <0 因此点P(sina , tga )在第四象限，故选D.例4集合M = (x|x =苧+扌k Z),”=曲=年 + ? kE Z),则有A. M=NC. McNB. MdND. Mnx=0解 TM集合是表示终边在第一、二、三、四象限的角平分线上的角的集合.N集合是表示终边在坐标轴(四个位置)上和在第一、二、三、四象限的角平分线上的角 的集合AMcN,故选C.任意角的三角函数典型例题分析一例1 已知角a的终边上一点P(-15a , 8a ) (a WR,且a HO),求a的各三角函数值.分析根据三角函数定义来解解 Vx = -15a, y = 8a, .r = 7O5a

6、)2 + (8a)2 =17| ci|,(aQ)_g15 若贝 Ijr = 17 Cl,于是 sin a = , cos a =, tgQ =8 n 15 小 17 n 17话，ctgCL = , seedesc CL =o1 若a<0, JJiJr = -17a ,于是sin。二讦，cosQtga815 c 1717垂,ctgCL= 石,seed = , esc a =忑-例2当a为第二象限角时，色四-罟的值是sin a |cosa|A. 1B. 0C. 2D. -2解当Cl为笫二象限时，sina>0, coSa<0,故四三sin a |cosa|anacosq. H 壬仕

7、一=2,从而选C.ana 一 cosu例3 若sin2a >0,且cosa <0,试确定a所在的象限.分析 用不等式表示出a ,进而求解.解 Vsin2a >0,2a在第一或第二象限,即2kir <2a <2kTT+n , kez)nr.k兀<a<k兀ke Z)乙当k为偶数时，设k=2m(meZ),有2m 兀 < a < 2m 兀 + 舟Z)有乙当k为奇数时，设k=2m+l(meZ)有2m兀 + 兀 < Cl 2m兀 +- (m Z)Aa为第一或第三象限的角乂.rflcosa V0可知a在第二或第四象限.综上所述,a在第三象限.例4求

8、下列函数的定义(l)y = tgx + ctgx； (2)y = 7 + tgx解(l)tgx的定义域为x|xE R且xMk兀+?，肢Z, ct竽的定义域义域为x|xWR 且 xHkir , kZx|x£ R且x护k兀 +舟，k-6 Z) A (x|x£ R且兀 Z) 乙.丄厶 亠» = (x|x R且x/ 婪,k Z):函数y二tgx+ctgx的定义域是2(sinx0详刃+获红)得'2kK<x<(2k4-l)7T详2k兀±壬(kz)A 2k<K(2k + l)兀且E#2k兀 +(k Z)乙.定义域为2k兀,2k冗+U(2k兀+

9、号，(2k+ 1) Kjtkg z)说明 本例进一步巩固终边落在坐标轴上角的集合及各三角函数值在每一象限的符 号，三角函数的定义域.例5 计算(1) a2sin(-1350° ) +b2tg405° -(a-b)2ctg765° -2abcos(T080° )11 1213(2) sin(-兀)+cosw7l tg4 兀-sec 6j3分析 利用公式1,将任意角的三角函数化为02ir间（或0°360°间）的三角函 数，进而求值解 (1)原式二 asin(-4X360° +90° )+b2tg(360° +

10、45° )-(a-b)2ctg (2X360° +45° )- 2abcos (-3X360° ) =a：sin90° +b2tg45° -(a-b)2ctg45° -2abcos0° =a+b2-(ab)2ab=0 27(2)原式=sm(-2 兀 + ) 4- cos tgO° -sec(4 +) 653sin -sec y任意角的三角函数典型例题精析二例1 下列说法中，正确的是 A.第一象限的角是锐角E.锐角是第一象限的角C. 小于90°的角是锐角D. 0°到90°的角是

11、第一象限的角【分析】本题涉及了儿个基本概念，即“第一象限的角”、“锐角”、“小于90°的 角”和“0。到90°的角” 在角的概念推广以后，这些概念容易混淆.因此，弄清楚这些 概念及它们之间的区别，是正确解答本题的关键.【解】第一象限的角可表示为（0 |k 360° <6 <90° +k 360° , kGZ,锐角可表示为e |o° <e <90° ,小于90°的角为e |e oo° , o°到90°的角为 e |o° we <90° 因

12、此，锐角的集合是第一象限角的集合当k=0时的子集，故（A）, （0, （D）均不正确,应选（B）.例2己知sinQ cosCKO,血Q tanQ<0,那么耳，2d, （90° -a ）分别是第几象 乙限角？【分析】由sina cosa <0,所以a在二、四象限；由sina tana <0,所以a在二、三象限.因此a为第二象限的角，然后由角a的集合正确地写出善，"和（90。a）的集合是解题的关犍.【解】（1）由题设可知a是第二象限的角，即90° +k - 360° <a <180° +k - 360° (k

13、eZ),45'180° <2<90°+k 180。(k£ Z).当k为偶数时，善是第一象限的角；当k为奇数时，善是第三象限的角.所以善是第一或第三象限的角.(2) 因为 180° +2k 360° <2a <360° +2k 360° (kez),所以 2a 是第三、第 四象限角或终边在y轴非正半轴上的角.(3) 解法一：因为 90° +k 360° <a <180° +k 360° (kez),所以 一180° -k 360

14、76; <-a <-90° -k - 360° (kZ)故 一90° -k 360° <90° -a <-k 360° (kez).因此90° -a是第四象限的角.解法二：因为角a的终边在第二象限，所以一a的终边在第三象限.将一a的终边按逆时针旋转90。，可知90° -a的终边在第四象限内.【说明】在确定形如a +k180°角的象限时，一般要分k为偶数或奇数讨论； 确定象限时，a +kn与a kn是等效的.例 3 已知集合 E二6 |cos© <sin0 , OW0

15、 W21T , F= 0 | tan© <sin6 ,那 么EQF是区间1【分析】 解答本题必须熟练学握各个象限三角函数的符号、各个象限的三角函数值 随角的变化而递增或递减的变化情况.可由三角函数的性质判断，也可由三角函数线判 断用代入特殊值排除错误答案的方法解答本题也比较容易.兀5兀【解法一】 由正、余弦函数的性质，E = je 7<e<it气兀nr在*丁的范围内，使"je竝的e为三宀50 T<0<Jr -选(人)【解法二】由圆中的正弦4和正切线容易看出，对于二、四象限的角，AT<MP,即tana <sin0 ,由正弦线和余弦线可

16、看出，当兀5JT< 0<-时，MP>OM,44即sin 8uo$8 ,所以 EClF = 88 <兀应选(A)开兀77T7KKS法三1 由tan >sin,可出際(B).由tan->sm可排除(C), (D),得 A.55t©【说明】本题解法很多，用三角函数线还可以有以下解法：因为第一、三象限均有AT >MP,即tan0 >sin0 ,所以(B), (C), (D)均不成立.用排除法也有些别的方法，可自己 练习.例 4 (1)已知角 a 终边上一点 P(3k, 4k) (k<0),求 sina , cosa , tana 的值：(

17、2)己知角a的终边上一点P的坐标为-75, y) (y#0),且灶辺=#y,求点P到原点的距离r和cosa, tan Cl , cot。的值.【分析】利用三角函数的定义进行三角式的求值、化简和证明，是一种常用的基本方法在第(R小题中因己知“-厲，可判断点P在二、 三两个象限，因此必须分两种情况讨论.【解】(1)因为x=3k, y=_4k,所以r = 7(3k)2 +(-4k)2 = -5k (k<0)故 sinCl =r-4k4cos Qx 3k 3r -5k_ 5Z5k = 5(2)由于sm。二车y二工4 r所以 r = = 2V2 (yH0)由F =x2+y2,得卩=± J

18、r2 -x2 = ± 75. 因为x = -3履 故a在第二或第三象限.若a在笫二象限，则cos a = - = £ = -r 224若a在第三象限,则eg络cotCL5例5 个扇形的周长为1,求扇形的半径、圆心角各収何值时，此扇形的面积最大.【分析】解答本题，需风活运用弧度制下的求弧长和求面积公式.本题是求扇形面积的 最大值，因此应想法写出而积S以半径r为门变暈的函数表达式，再用配方法求出半径r和 己知周长1的关系.【解】设扇形而积为S,半径为“圆心角为a,则扇形弧长为1一2“所以S起(7-2r) <r = - (r2416一 2丄故当r = 7>且d = t

19、 =2时，扇形面积最大.4£4【说明】在学习弧度制以后，用弧度制表示的求弧长与扇形面积公nHr2360式=1 a| r和比角度制的求弧长、面积公式7 = -及5 =更简单，在吳际中的应用也较广泛.尤其是在解抉有关扇形、弓形的问题中，中心角用弧度表示较方便.本例实际上推导出一个重要公式，即当扇形周 长为定值时，怎样选取中心角可使而积得到最大值.本题也可将面积表示为a的函数式， 用判别式来解.例6根据下列条件求cosa, tana的值 (1)己知smCl =纟（2）己知血°=秒；（3）己知血。=m【分析】第（1）小题因a在第二彖限，因此只有一组解：第（2）小题给了正弦函数值，

20、但没有确定角a的象限，因此有两组解：笫（3）小题角a可能在四个象限或是轴线角，因 此需分两种情况讨论开【解】（1）由于<a<兀，coSa<0,所以cos Cl 二 _ Jl _ gm' a12 an cis, tan a =13 cos a12（2）因为 sin Q = 一看 <0,所以a是第三.四象限的角. 25当在第三象限时，cosQ = - J1 - sin? a =-右，tan CL =巨;12 5当 0 在第四象限cosCl = , tanCL=-.（3）因为sina =m（|ni| <1）,所以a可能在四个象限或a的终边在x轴上.当Q的终边在一

21、.四象限或蚌由的非负半上时，cosa=4n7,AAe亠. sm a + cos a + sm of + cosa + 2 sin <x cos a15.左边=1 + sina + cosa(sin a + cosoe)2 + sin ce + cos a=1 + an a + cosa(sin ce + cosa!)(l + sina + cosa) .=sin a + cosa1 + sin a + cosa当a的终边在二 三象限或站由的非正半轴上时，cos CL = -71- m2 ,tan a = 一mJ _ tn?例7（1）己知tana二m,求sina的值：（2）己知 tan a

22、 = m,求三角式 2an2 Cl + cos2 CL 的值.乙【分析】已知tana的值求sina或cosa 般可将tanaa写成7,再和隐含条件口川a +a = 1联立即可，因需用开方求值,cos a因此必须考虑角a的象限.（2）可将2迪2。a化为分子、分母都是sina和cosa的同次式，再转化为关于tana的式子求值，转化的方法是将分 子.分母同除以cos（或cos2a ,这里cosa HO）,即可根据己知条件求值. sin. a=g cos asm2 G +cos2 a = 1, 2 a消去 cos Cl ,得sin? a + = 1, fiPm2an2 CL + sin2 Cl -m2

23、 = 0, sin2 Cl0S1 （1）由m1 + m7V71因为-丁 + 2何<ac石" + 2k兀（kEZ）时，久辺与tan a同号.兀3兀而当 + 2k7T<CL<匕I m1+m2-m1+n?+ 2k兀（k Z）时，sindtana 异号.2当- +2kTr<a< +2kn吋（k£Z）, 2 27T3 兀，/、当+2k7T<a< +2k7T时（kZ）（2）2sin2 a 4-cos2 a =:2赧士宀 2tan2a4 2m2 4sirr a + cos2 CL tan2 a +1 m2 + 1【说明】由tana的值求sina和

24、cosa的值，有一些书上利用公式coJ a = -, sin2a= 一打c，但这两个公式由三角函数的定义1 + tan a1 + cot a很容易推岀，所以不用专门推导和记忆这些公式，这类问题由现有的关系式和方法均可 解决.例8证明tan a sin Q tan a + sin a tan CL - an CL tan d an 0.【分析】本题的证明方法很多，可由关系式涵a =斗将两边的COW“切”化“弦”来证明，也可用比较法证明两边的差为0,或者由左二右，或由右n左，因为寿式两边均为角a的三角函数，因此也可用三角函数的定义來证明.【证祛一】左边=河. 一畑° cos asin a

25、1-cos a右边=sand + san Cl cos asin2 a1 + cos a(1 + cos Q )(1 - cos Q) _1 - cos2 QsnCl (1 - cos a) sin.工(1- cos Q ) sna a_ sin CLsin a (1 - cos a )1 - cos Q由左边二右边，所以原式成立【证祛二】因为tan Q sin a tan ° - sin CLtan Q + sm Q tan d * sin °所以tan2a > sin2 a -(tan2 a - sin： a) (tan a - sm a ) tan Cl sin

26、. Ct tan2 Cl (sm2 Cl - 1) + sin2 CL °:0, (tan Q 一 sm Q ) tan Q sm Q_- tan2 a cos2 a + sin2 CL(tan Q - sin a ) tan Cl an. CL _-sin2 a +sii? a(tan a -血 a) tan a sin a =0,tan Cl sm Q _ tan a + sm Q tan CL - an CL tan a sin Q【证法三】（根据三角函数定义）设P（X, y）是角a终边上的任意一点，则yysin Q =r, tan a =,I ,所以左边J冇y 厲盲乍yX J

27、* + by丄_y左边二左边，故等式成立.例9 化简或求值：cos210° 005（-420" ）tan330'（丿 cot 390" sin 750° cos900°；厂、47兀2 11冗11 2兀-cos4-Btan -笄” 丁2cos2 4C3）Jl 2sm（兀一 a）cos（兀+ a）（a为第三象限角）.值.1）原式=(-cos30° )cos60° (-tan30°cot30e sin30" cos!80=原式=善co碍2 cos?弓4411113=X + 3 XX 323 池 1342

28、X2(3)原式=Jl + 2sina cos。 =(&沁 + cos Q y =|sm Q + cosQ |=sina cosa （因为a为第三象限角）.【分析】解本题的关键是熟练地应用正、余弦的诱导公式和记住特殊角的三角函数(2)；g =g (裒)=4cce冗x C)， g T)T (x#)，求占卜召卜羽吨)的值【分析】在(1)中理解函数符号的含义，并将f(sin x)化成f (cos (90° x)是充分利 用已知条件和诱导公式的关键.在(2)中必须正确掌握分段函数求值的方法.【解】(l)f(sin x) =f(cos(90° x) =cos9(90°

29、 x)=cos(2X360° +9CT 9x) =cos (90° 9x)=siii9x；=半 + 血(一弓)+l+cos(一月一 l + sin(-月 +1同角三角函数的基本关系式典型例题分析1. 已知某角的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值. 例1己知sin a =- 求a角其他三角函数值.解 Vsina V0角a在第三或第四象限(不可能在y轴的负半轴上)若CL在第三象限，则cos。=-tgCLsm acos a4334S比Q =COSG(2) 若a在第四象限，则35sm a _cos asec1cos acscQ =Isin a说明在解决此类问题时，要注意:(1)

30、 尽可能地确定a所在的象限，以便确定三角函数值的符号.(2) 尽可能地避免使用平方关系(在一般情况下只耍使用一次).(3) 必要时进行讨论.例 2 己知 sina =m(|m| W1),求 tga 的值.tga =an.cos a=0当m二±1时，a的终边在y轴上，tga无意义.(3)当a 在 I、IV 象限时，Vcosa >0.i - sin2 ci = Jl - m2H = nm mj_ m2从而毎帀討Tk uuSa从而店a 当a在第II、III象限时，Vcosa <0,m3 -1说明(1)在对角的范闱进行讨论时，不可遗漏终边在坐标轴上的情况.(2)本题在进行讨论时，

31、为什么以cosa的符号作为分类的标准，而不按sina的符号 (即m的符号)來分类讨论呢？你能找到这里的原因并概括出所用的技巧吗？2. 三角函数式的化简三角函数式的化简的结果应满足下述要求：仃)函数种类尽可能地少.(2) 次数尽可能地低.(3) 项数尽可能地少.(4) 尽可能地不含分母.(5) 尽可能地将根号中的因式移到根号外面來.化简的总思路是：尽可能地化为同类函数再化简.例 3 化简 sirfa tga +cosP ctga +2sina cosas h 亠 sm Q sm a cos a cos a解 1 原式=+ 2sma * cos CLcosasma_ sin4 a + cos4 a

32、 +2sit? a cos2 asin a * cos a(sin2 a 十 cos2 a )2sin Q cos a=seca csca解 2 原式=(sin2a tga +sina cosa )+(cos2a ctga +sina cosa )=tga (sirra +cos2a )+ctga (sin2a +cos，a )=tga +ctgasin" a + cos2 acos 0. 4 an CL=seca csca说明 (1)在解1中，将正切、余切化为正弦、余弦再化简，仍然是循着减少函数种类 的思路进行的.(2)解2中的逆用公式将sinacosa用tga表示，较为灵活，解1

33、与解2相比，思路 更自然，因而更实用.例4 化简:(1 )Js忙妆-2tgx(0<x< )；拝導平碍(K<e<r>y l+cosf 1 -cos y2二原式=41 -tgx (0<x< )兀TVtgx-l (<X<)分析 将被开方式配成完全平方式，脱去根号，进行化简.解 原式=Jtfx _ 2tgx + =|tx -1|7TTTTC丁当0<x< 时，tgx< 1 ；当<x< 时，tgxlII1-COS0 + 1 + COS esin 0 sm 0<O)3JT=-2csc 6 (*/ 7l< 9 &l

34、t; 3. 三角恒等式的证明证明三角恒等式的过程，实际上是化异为同的过程，即化去形式上的异，而呈现实质上 的同，这个过程，往往是从化简开始的一一这就是说，在证明三角恒等式时，我们可以从最 复杂处开始.例 5 求证 cosa (2seca +tga ) (seca -2tga ) =2cosa -3tga 分析从复:杂的左边开始证得右边.、口 +4尺,2g sin CL1证明左边二 co$Q( +)( )cos。 cos Q cosa cos。1a. r、=(2 + sin a )(1 -2and )cos。1 1= (2-2sin2Cl -3sma)=7(2cos2Q "3sinCL

35、=2cosa -3tga =右边例6 证明恒等式(1) l+3sin2a sec a +tg4a =secGa(2) (sinA+ secA)s+ (cosA+cscA)2= (1+secAcscA)分析 （1）的左、右两边均较复杂，所以可以从左、右两边同时化简为一式，也可采用“左边.右边或嶷=1”（考虑为零的情况）.证明 (1)右边左边=secfca -tgfca -3sirfa sec'a -1= (sec2a -tg2a ) (sec a +sec:a tg'a +tg:a )-3sin*a sec a -1= (sec,a -2sec:a tg'a +tg:a

36、)-l=(sec:a -tg'a )'-1=0等式成立(sin A + secA 12+cosA + esc A1 + sec AcscAjL1 + secA esc A：左边sin A cos A + cosAsin A cosA + sin AsinAcosA +1sin A cos A + 1（两弦化）=sin2A+cosA=l故原式成立在解题时，要全面地理解“繁"与“简”的关系.实际上，将不同的角化为同角，以减 少角的数目，将不同的函数名称，化为同名函数，以减少函数的种类，都是化繁为简，以上 两点在三角变换中有着广泛的应用.1 + tgx1 一 tgxr.亠卜

37、十 1 + 2 sin x cosxW求证一2cos x 一 sm x分析1 从右端向左端变形，将“切”化为“弦”，以减少函数的种类.sinx证明右边二cosxsinx cosx:cosx + sinx)2(cos- sin x)(cosx + anx)cosx + sm xcosn - smz22 c cos x + sin x + 2 sin x cosxcos2x - sin2 x二左边分析2 由l+2sinxcosx立即想到（sinx+cosx）*,进而可以约分,达到化简的目的.anx + cosecosx - sinx证明左边二an x + cos x + 2 sin xcosx2

38、2cos x - sin xtgx cosx + cosx cosx 一 tgxcosx鹉右边(sinx + cosx)2(cosx + anx)( cosx - sin x)说明 （1）当题目中涉及名种名称的函数时，常常将切、割化为弦（如解法1）.或将弦 化为切（如解法2）以减少函数的种类.（2）要熟悉公式的齐种变形，以便迅速地找到解题的突破口，请看下列.1 + sin CLcos Q14 s亡c a + tga1 $ec a - tgCt证明I左边二sec2 a - tg'CL 亠 sec a +(secQ + tg Q )(sec Q 一 tgQ + 1)等式成立1 + sec

39、a -1呂 a=seca +tga说明 以上证明中采用了 “1的代换”的技巧，即将1用sec沁-tg2a代换，可是解题 者怎么会想到这种代换的呢？很可能，解题者在采用这种代换时，己经预见到代换后，分子 可以因式分解，可以约分，而所有这一切都是建立在熟悉公式的各种变形的基础上的，当 然，对不熟练的解题考而言，还有如下的“一般证法” 一一即证明“左边-右边二0”证明左边 右边 _ 1 + 'ec a + tg。 1 + sin CI1 + sec Q - tgQ cos acosa(l“ca 十十an a )(1 + sec a -tgCL)(14 sec Q - tga )cos ac

40、1 sin2 acos n. +cos a cos Q (1 + sec Cl -tgQ)cosQ cos CL - cos a 0左边二右边(1 + sec - tg a )诱导公式典型例题分析例1 求下列三角函数值:(l) sin(-1200* )； tg945° ； (3)cosJ 兀；(4)ctg(-)解 (1 )sin(-1200° )=-sinl200° =-sin(3X360° +120° ) =-sinl20° 二-sin仃80° -60° ) 凑=-sin 60°(2)tg945

41、6; =tg(2X360° +225° )=tg225° =tg(108° +45° )=tg45° =14711兀11兀兀JT(3)co$=兀=CO$(6叽 H) = CQS =CCS(2兀=COS6 6 666=731717兀兀兀(4)ctg(-y 兀)=-ctgy 兀=-ctg(6兀)=-ctg(- ) = ctg =7T疗5冗7T例2 己知cos（-。）=斗，求cos（+d）-sin2（a -）的值.o36o兀5兀5兀分析;0）+（飞-+0）=兀，因此可以把飞-+0化成JT兀（Q）,进而利用诱导公式求解.5TT兀兀+ 兀)=c

42、os兀(-a) = -cos(-a)=66733“兀a兀2sin2(a -) = 1 -cos2( a)=三 663原式=叫疗 22 + 3 = 333+ 兀)co$(兀 + a) ctg(- atg(7T - a)cos?(- a -71)+ 2兀)例3化简竺型_ sir? a cos a ctgCLtga (-cos3 a)an" a ctgQtga cos2 atg2 CL ctgCL -=T = 1tgQ例4 求证(1) sin(nir +a ) = (-l)Bsina : (n Z)(2) cos (nil +a ) = (-l)Bcosa 证明 1°当n为奇数时

43、，设n=2k-l(keZ)贝ij (l)sin(nTT +a )=sin(2k-l)ir +a =sin(-7T +a ) =-sina =(-l)*sina(2) cos(nir +a ) =cos (2k-l)7T +a =cos(-n +a )=-cosa =(-l)Bcosa2°当n为偶数时，设n=2k(keZ),则(1)sin(n*rr +a ) =sin(2kir +a ) =sina =(-l)Msina (V (-1)B=1)(2) cos(n*rr +a ) =cos(2kn +a ) =cosa =(-l)Bcosa由1 ° , 2° ,本题得

44、证.例5 设A、B、C是一个三角形的三个内角，则在 sin(A+B)-sinCcos(A+b)+cosC t g (A+B) +t gCctg(A+B)-ctgCTT这四个式子中，值为常数的有（cT）D. 4个A. 1个B- 2个C. 3个解 由已知，A+B+C=tt , .*.A+B=it _C» 故有 sin(A+B)-sinC=sin(1T -C) -sinC=sinCsinC=0 为常数. cos (A+B) +cosC=cos (1T -C) +cosC=-cosC+cosC=0 为常数. tg(A+B)+tgC=tg(iT -C)+tgC=-tgC+tgC=O 为常数.

45、ctg(A+B) -ctgC=ctg(ir -C) -ctgC=-ctgC-ct gC=-2ctgC 不是常数.从而选(C) 用单位圆中的线段表示三角函数值典型例题分析例1 利用三角函数线，求满足下列条件的角或角的范围.(l) sina =1 (2)tgd. =-1 Sind< ： cos CL >2解如图2-10过点（0,作谢的平行线与单位圆交于点P,1 7T5JTsin<xOP = sin<xOP = ：厶 OP' = 5 ZxOP y =2 66兀5 JT满足条件的所有角是Cl|CL =2k兀+w或2k比+丁6 6,k Z>op和op f就是角Q的终

46、边 T Zxop =3兀7V兀厶°P =-TV满足条件的所有角是ap =k兀才,k£Z如图212,过点(0,扌)，作琏由的平行线交单位圆于点p,1 117TT贝UsmZxop = sin-Zxop i =, T Zxop =兀，Zxop1 =2 6 6.满足条件的所有角是9陛兀+：兀0：氷兀+$兀，kz0 6(4)如图213,过(孕 0)作x轴的垂线与单鬼圆交于点P、P，,则737T兀cosZxop = cosZxop ; , pJxop = , Zxop =.2 66（2）如图2-11,过点（1, -1）和原点作直线交单位圆于点p和J满足条件的所有角是Q|2kJT -ZL

47、<a<2k：T +二,6 6三角公式总表1丄血氏二nTT R"180S «= LR= R2 |i2 23602.正弦定理：- = = 2R （R为三角形外接圆半径） sin A sin B sin Cc 3 =a 2 +b 2 _2ab cos C3余弦定理：a 3 =b 2 +c 2 -2be cos A b 2 =a 2 +c 2 -2ac cos Bb2 + c2 - acosA=2bc4.SZ= a h =absinC = be sin A= ac sin B =2R2 sin A sin B sinC22224R二 P" Jp( P - n)

48、(P - b)(p - c)_ a2sinBsinC _b2 sin AsinC _ c2 sin AsinB2 sin A2sinB2sinC（其中p = |（a+b+c）, r为三角形内切圆半径）5同角关系：商的关系：tg&二工二血? =sin& sec0 ctg&= = C°S = cosO esc。x cos 0y sin 0(3) sin = = cos tg sec = = tg& esc 0rx cosxr3 cos 0 = = sin & etg & esc 0-= etgQ sec 0rysin 0倒数关系：sin&a

49、mp;csc&= cos。 sec 0= tg& ctg& = l平方关系：sin' &+ cos2 0 = sec2 &-tg?& = esc2 0-ctg2 = lasin& + bcos& = J" + b sin(& + 0) (其中辅助角卩与点(a, b )在同一象限，且, b、tg0= )a6函数 y二 Asinr x+0)+ k 的图象及性质：(69>0,A>0 )振幅A,周期T=,频率f=,相位初相0CDT7五点作图法：令ax+ cp依次为0彳,；r,竺,2乃 2 2&

50、诱导公试sincostgctg-sin a+ cosa-tga-dga兀a+ sina一 cosa_tg«_ctga-sin a一 cosa+32兀-a-sin a+ COS6Z_tg«2k/r+a+ sina+ cosa+3+ 3sincontgctg -a2+ cosa+ sin a+叫+tga+ a2+ cosa一 sin a_tga3 a2-cosa.sin a+ dga+tg«3;r + a2一 cosa+ sin a_dga_tga求出x与y, 依点(x,y)作图三角函数值等于Q的同名三角函数值，前面 加上一个把d看作锐角时，原三角函数值的 符号；BP

51、：函数名不变，符号看象限三角函数值等于a的异名三角函数值，前而 加上一个把a看作锐角时，原三角函数值的 符号;即:函数名改变,符号看象限9 和差角公式 siii(«± P) = sintzcos/7 ± cossin pcos® 土 P) = cosa cos/7 + sin a sin p tg(a±/?) =tga 土 哪1 + tga tg0 tga ±tg/? = tg(« ± 0) (1 干 tga tg")的"凡豐XXX駕X其中当触心时，有:i) tgA+ tgB+ tgC = tg

52、A tgB tgCii).tgtgl+tgtgl+tgltgl=l10二倍角公式：(含万能公式) sin 20 = 2sin8cos8 =2览ei + tg'eIt 2 cos20 = cos2 3 一 sin2 & = 2 co£ &-1 = 1 一 2 sin2 0 =l+tgp tg2&=- si"止-J®&卿&=1+2l-tg-6>1 + tgP 2211三倍角公式：sin 3& = 3 sin & - 4 sin3 & = 4 sin 0 sin(60° - 0) s

53、in(60° + 0) cos30 = -3 cos& + 4 cos? & = 4 cos& cos(60° 一 0) cos(50° + 6) tg3& = 3tg&_ 号 & = tg& tg(60- &) tg(60+ 0)112.半角公式：（符号的选择碍所在的象限确定） 0 一 cos。an = ±J2 V 2 cosl "cos。2討空2 2Q 1 一 8S & = 2 sin2 2口 0(1+ cos。COS- = ±J2 V 2& 1+ 8

54、S&= 2 cos2 2 J1 士 sin 8 = /(cos± sin)2V 22&丄.0 cos ±sm sinO1- cos& tg£= 1-co2 Vl + cosO 1 + cosO sin。13. 积化和差公式：sin a cos P = sin(a + /7) + sin(a 一 0) 2cos a cos 0 = £ cos( a + 0) + cos( a - /?)14. 和差化积公式：cos a sin /7 = sin(a + 0) - sin(a - /?) 2sin a sin 卩=-cos( a + p) - cos(a- 0)e Q r 2+0 GL_ 卩 sin a + sui 0 = 2 sincos- 2 2尺c r a+ p a-p(3) cos a + cos p = 2 cos cos2 2qc c a+0 a-p(2) sin a - sin p =