2022年2022年初高中数学衔接知识

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载数学温馨提示：这套辅导材料用于同学们假期复习使用,均附有答案；请依据老师提示,仔细复习中学教材,查阅工具书,独立完成；开学时将材料带回交给班主任验收,并据此支配入学考试；进入高中,你们为高中生了,做好了充分的预备吗？其实学好高中数学并不难,你只要有坚强不拔的毅力,仔细做题,善于总结归纳,持之以恒,信任你肯定能胜利；假期发给你们的这本小册子,为为了初高中学问连接而编写的；为了使你们在初高中数学学习上形成较好的连续性,能有效地克服学问和方法上的跳动,利于激发你们学习数学的爱好；你们肯定要利用好暑假,做好

2、初.高中数学教材的连接；a 组题要全部完成,b组题供学有余力同学完成；学数学的几个建议：1.记数学笔记, 特殊为对概念懂得的不同侧面和数学规律, 老师为备战高考而加的课外学问；记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题, 以及你仍存在的未解决的问题, 以便今后将其补上；2.建立数学纠错本；把平常简洁显现错误的学问或推理记载下来,以防再犯；争取做到： 找错.析错.改错.防错；达到：能从反面入手深化懂得正确东西；能由果朔因把错误缘由弄 个水落石出.以便对症下药；解答问题完整.推理严密；3.熟记一些数学规律和数学小结论,使自己平常的运算技能达到了自动化或半自动化的熟 练程度；4.常常对学问结构进行梳

3、理,形成板块结构,实行“整体集装 ”,如表格化,使学问结构一目了然；常常对习题进行类化,由一例到一类,由一类到多类,由多类到统一；使几类问题归纳于同一学问方法；5.阅读数学课外书籍与报刊,参与数学学科课外活动与讲座,多做数学课外题,加大自学力度,拓展自己的学问面；6.准时复习,强化对基本概念学问体系的懂得与记忆,进行适当的反复巩固,毁灭前学后忘；7.学会从多角度.多层次地进行总结归类；如：从数学思想分类从解题方法归类从学问应用上分类等,使所学的学问系统化.条理化.专题化.网络化；8.常常在做题后进行肯定的“反思 ”,摸索一下此题所用的基础学问,数学思想方法为什么, 为什么要这样想,为否仍有别的

4、想法和解法,此题的分析方法与解法,在解其它问题时,为否也用到过；9.无论为作业仍为测验,都应把精确性放在第一位,通法放在第一位,而不为一味地去追求速度或技巧,这为学好数学的重要问题；初高中数学连接教材现有初高中数学学问存在以下“脱节”1立方和与差的公式中学已删去不讲,而高中的运算仍在用；2因式分解中学一般只限于二次项且系数为“1”的分解,对系数不为“1”的涉及不多、 而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求,但高中教材很多化简求值都要用到、如解方 程.不等式等；3二次根式中对分子.分母有理化中学不作要求,而分子.分母有理化为高中函数.不等式常用的解题技巧；4中学教材对二次函数要求较低,同学处

5、于明白水平,但二次函数却为高中贯穿始终的重 要内容；配方.作简图.求值域.解二次不等式.判定单调区间.求最大.最小值,争论闭区间上函数最值等等为高中数学必需把握的基此题型与常用方法；5二次函数.二次不等式与二次方程的联系,根与系数的关系（韦达定理）在中学不作要求,此类题目仅限于简洁常规运算和难度不大的应用题型,而在高中二次函数.二次不等式与 二次方程相互转化被视为重要内容,6图像的对称. 平移变换, 中学只作简洁介绍,而在高中讲授函数后,对其图像的上. 下；左.右平移,两个函数关于原点,轴.直线的对称问题必需把握；7含有参数的函数.方程.不等式,中学不作要求,只作定量争论、而高中这部分内容视

6、为重难点；方程.不等式.函数的综合考查常成为高考综合题；8几何部分很多概念（如重心.垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理,射影定理, 相交弦定理等）中同学大都没有学习,而高中都要涉及；另外,像配方法.换元法.待定系数法中学教学大大弱化,不利于高中学问的讲授；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载目录1.1 数与式的运算1.1.1 肯定值1.1数与式的运算1.1.1肯定值一.概念：肯定值的代数意义：正数的肯定值为它的本身,负数的肯定值为它的相反数,零的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1.1.2. 乘法公式肯定值

7、仍为零即a、a0、| a |0、a0、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1.1.3二次根式1.1.分式a、 a0.肯定值的几何意义：一个数的肯定值,为数轴上表示它的点到原点的距离精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 2分解因式2.1一元二次方程两个数的差的肯定值的几何意义：二.典型例题：ab 表示在数轴上,数a 和数 b 之间的距离精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.1.1 根的判别式例 1 解不等式： | x1 |4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解法一：由x10,得 x1；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.1.2 根与系数

8、的关系（韦达定理）如 x1,不等式可变为 x14 ,即 1x4 ,得 x3 ,又 x 1,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.2 二次函数 x -3；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.2.1 二次函数y ax2 bx c 的图像和性质如 1x ,不等式可变为x14 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即 x5又 x1x5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.2.2 二次函数的三种表示方式综上所述,原不等式的解为x3 或 x5 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3.1.1 二次函数的简洁应用解法二：如图1 1 1, x1 表示

9、x 轴上坐标为x 的点 p 到坐标为1 的点 a 之间的距离精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载|pa|,即 |pa| |x 1|；pcad精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3.2 方程与不等式所以 | x1 |4 的几何意义即为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3.2.1 二元二次方程组解法|pa| 4可知点 p 在点 c坐标为 -3 的左侧.或点 p 在点 d坐标 5的右侧x-315x|x 1|精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3.2.2 一元二次不等式解法3.1 相像形3.1.1 平行线分线段成比例定理x练 习 a 1填空：（ 1）如 x3

10、或 x5 ；5,就 x= ； 如 x图 1 114 ,就 x= .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3.1.2 相像形（ 2）假如 a2挑选题：b5 ,且 a1,就 b ；如 1c2,就 c .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3.2 三角形3.2.1 三角形的 “四心 ”3.2.2 几种特殊的三角形3.3 圆3.3.1 直线与圆,圆与圆的位置关系以下表达正确选项（）（ a）如 ab ,就 ab（ b）如 ab ,就 ab（ c）如 ab ,就 ab（ d）如 ab ,就 ab练习 b3解不等式：| x2 |3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下

11、载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4.化简： |x 5| |2x13|（ x 5）（ c）可以为零（ d ）可以为正数也可以为负数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1.1.2. 乘法公式一.复习：我们在中学已经学习过了以下一些乘法公式：一.概念：一般地,形如a a1.1.3 二次根式0 的代数式叫做二次根式根号下含有字母.且不能够开得精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1）平方差公式ab aba2b 2 ；22222精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）完全平方公式ab 2a 22abb2 尽

12、方的式子称为无理式. 例如3aab2b ,ab等为无理式, 而2 xx1 , 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载我们仍可以通过证明得到以下一些乘法公式：x22 xyy2 ,a2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1）立方和公式必 （ 2）立方差公式ab a 2ab a 2abb2 abb2 a 3b 3 ；a 3b3 ；等为有理式1分母（子）有理化精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载须记 （ 3）三数和平方公式abc 2a2b2c22 abbcac ；把分母（子）中的根号化去,叫做分母（子）有理化为了进行分母（子）有理化,需要精品学习资料精选学习资料 -

13、- - 欢迎下载住 （ 4）两数和立方公式（ 5）两数差立方公式ab3ab3a33a2 ba33a2b3ab 23ab2b3 ；b 3 引入有理化因式的概念两个含有二次根式的代数式相乘,假如它们的积不含有二次根式,我们就说这两个代数式互为有理化因式,例如2 与2 , 3a 与a ,36 与36 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载对上面列出的五个公式,有爱好的同学可以自己去证明 二.典型例题2332 与 2332 ,等等一般地,ax 与x , axba xb与 axb互为有理化因式y与 axb,y精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 1运算： x1x1 x2x1x2x1

14、 分母有理化的方法为分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分母中的根号的过程；而精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解法一：原式= x21 x212x2分子有理化就为分母和分子都乘以分子的有理化因式,化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中,二次根式的乘法可参照多项式乘法进行,运算中要运用精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载= x621 x4x21公式abab a0、 b0 ；而对于二次根式的除法,通常先写成分式的形式,然后通过精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载= x解法二：原式= x1 1x2x331 x1x2x1分母有理化进行运算；二次根式的加减法

15、与多项式的加减法类似,应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载= x1 x122a、a0、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载= x61 2 二次根式a的意义aaa、 a0.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 2已知abc4 , abbcac4 ,求 a 2b2c2 的值精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 a 21 b 2 1 b19423解：a2 练 习 a 1填空：b2c2abc22abbcac8 二.典型例题例 1将以下式子化为最简二次根式：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1）a （）；

16、（ 1）12b ；（ 2）a2ba0 ；（ 3）4x6 y x0 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2（ 2） 4 m216m24m ；解：（ 1）12b23b ；（ 2）a babab a0 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载633精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3 a2bc2a24b2c2 （ 3）4 x y2 xy2 xy x0 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2挑选题：（ 1）如x21 mxk 为一个完全平方式,就k 等于（）2例 2运算：333 解法一：3 33 3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载212121233精

17、品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ a） m（ b）m（ c）4m（ d）m 3163 33精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）不论 a , b 为何实数,a 2b22a4b8 的值（）3333精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ a）总为正数（ b）总为负数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载33333131精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载9362解法二：3 33 333例 5化简：（ 1）945 ；（ 2）x2120x2x1 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载223解：（ 1）原式 =5454精品

18、学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载33115 2252精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3125 23123131552 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载31 2（ 2）原式 =1 2 xx1x1 ,x1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 3试比较以下各组数的大小：（ 1）1211 和1110 ；（ 2）264和 226 . 0x练 习 a 1填空：1,x1x , 所以,原式x x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：（ 1）12111211121112111,11211121113（ 1）；13精品学习资料精选学习资料 - - -

19、欢迎下载1 11 01 11 01 11 0 1 11 0 1,（ 2）如5x x32 x35x ,就 x 的取值范畴为_ _；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载11 11 01 11 0又12111110 ,（ 3） 4246543962150；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1211 （ 4）如5x1x1x,就2x1x1x1x1 x1x1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）22 621110 2622622+62122+、622+62挑选题：（提示先简化后代入）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又 4 22,等式xx成立的条件为（）精

20、品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6 46 22,x2x2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 226.64（ a） x2练习 ba211（ b） x0a2（ c ） x2（ d） 0x2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 4化简：32 200432 2005 3如 b,求 ab 的值a1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解： 32 200432 2005精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 32 20 0 43220 0 42 0 0 432 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载32 32 32 200413232 精品学习

21、资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载11111精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4比较大小：2354（填 “ ”,或 “ ”）1.1.4 分式一.概念： 1分式的意义 1 22391 011 9 1010（ 3）证明：111精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2334nn1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载形 如 a的式子,如b 中含有字母,且b0 ,就称 a 为分式当m 0时,分式a 具有下 11 11 11精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载bbb2334nn1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载列性质：aambbm；

22、aam bbm 11,2n1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载上述性质被称为分式的基本性质2繁分式a又 n 2,且 n 为正整数,1 n 1 肯定为正数,111 1 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载像b,cdmnp2m这样,分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式2334c2n n 1 22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 3设 e,且 e 1, 2c 5ac 2anpa 0,求 e 的值精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载二.典型例题：例 1如5x4ab,求常数a、 b 的值解：在 2c2 5ac 2a2 0 两边同除以a2,得e2 2 5e

23、 2 0,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x x2xx2 2e1 e 20,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：aba x2bx ab x2 a5x4,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xx2ab5、xx2解得a2 、bx x23x x2练习 a1 e 2 1,舍去；或e 2 e 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2a4、1填空题：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 2（ 1）试证：111（其中 n 为正整数） ；对任意的正整数n,1 11精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n n1nn1n n2；nn2精品学习资料

24、精选学习资料 - - - 欢迎下载111（ 2）运算：；12239102挑选题：如 2 xy2 ,就 x（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1111（3）证明：对任意大于1 的正整数 n, 有xy3y精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1）证明：11 n1n23341,nn125（ a）（ b）44（ c）56（ d ）5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载nn1n n1nn13正数 x、 y 满意 x2y 22 xy ,求 xy 的值精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载111（其中 n 为正整数）成立xy精品学习资料精选学习资料 - - - 欢

25、迎下载n n1 nn1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）解：由（ 1）可知111122391 04运算111.112233499100精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1解不等式：x13习题 1 1a组1挑选题：（ 1）如ab2b组abba ,就（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（a ） ab（b） ab（ c） ab01（ d） ba0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）运算 a等于（）a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ a）a（ b）a（c ）a（

26、 d）a 1111精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载已知 xy1,求 x3y33 xy 的值2运算：132435911精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3填空：（ 1） 2318 23 19 ；1 2分解因式一.复习引申：因式分解的主要方法有：十字相乘法.提取公因式法.公式法.分组分解法, 另外仍应明白求根法及待定系数法精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）如1a21a 22 ,就 a 的取值范畴为 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3）11111 12233445561十字相乘法例 1分解因式：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢

27、迎下载1 13a 2ab（ 1） x2 3x 2；（ 2） x2 4x 12 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4填空：a, b,就22 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 33a5ab2b（ 3） x2ab xyaby 2 ；（ 4） xy1xy 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 1yy精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5已知：x、 y,求的值解：（ 1）如图1 2 1,将二次项x2 分解成图中的两个x 的积,再将常数项2 分解成 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 3xyxy与 2 的乘积, 而图中的对角线上的两个数

28、乘积的和为3x,就为 x2 3x 2 中的一次项, 所以,有 x2 3x 2 x 1 x 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x 1x 21 111 21 2x6xayx 1byy1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载图 1 21图 1 2 2图 1 2 3图 1 2 4图 1 2 5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时,可以直接将图1 2 1 中的两个x 用 1 来表示（如图1 2 2 所示）（ 2）由图 1 2

29、3,得 x2 4x 12 x 2 x 62分解因式：（ 1）x2 6x 8；（ 2）8a3 b3；2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3）由图 1 2 4,得x2 ab xyaby 2 xa y xb y（ 3）x 2x 1；（ 4） 4 xy1y y2 x 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 4） xy1xy xy x y 1 x 1 y+1 （如图 1 2 5 所示）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2提取公因式法与分组分解法例 2分解因式：32221分解因式：练 习 b 组精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1） x93x3x ；（

30、 2）2xxyy4 x5 y6 （ 1）a 31；（ 2）4x413x29 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：（ 1）x3= x93x23 x23x = x33 3x2 3x9 = x2 x33 x3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载或 x393x23x x33x23x18 x1 38x1323精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 x12 x122 x122 2 2（ 3） b2c2ab2ac2bc ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 x3 x3二次项一次项常数项精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2） 2 x2xyy24 x

31、5 y6 = 2 x2xyy2 4 x5 y6精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载= 2 xy xy4 x5 y62x-y2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载= 2 xy2 xy3 x+y-3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3关于 x 的二次三项式ax2+bx+ca 0 的因式分解2在实数范畴内因式分解：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如 关 于x的 方 程ax2bxc0a0 的 两 个 实 数 根 为x1 .x2 , 就 二 次 三 项 式（ 1） x5 x3；（ 2） x222 x3 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22ax

32、bxca0 就可分解为a xx xx .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载12例 3把以下关于x 的二次多项式分解因式：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1） x22 x1 ；（ 2） x24 xy4 y2 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：（ 1）令x22 x1=0 ,就解得x112 , x212 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 x22 x1=x12x12（ 3） 3x24xyy ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载21= x12 x12 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）令 x24 xy4 y2

33、=0,就解得x222 y , x1222 y ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载二.练习a 1挑选题： x24 xy4 y2 = x212 y x212 y 3分解因式：x2 x a2 a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载多项式2x2xy15 y2 的一个因式为（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ a） 2 x5 y（ b） x3 y（ c ） x3 y（d） x5y精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载当 a2时, 0, 所以方程有两个不相等的实数根x1 1, x2 a1（ 4）由于该方程的根的判别式为 22 4×1

34、×a 4 4a 41a,所以当 0,即 41 a 0,即 a 1 时,方程有两个不相等的实数根x111a ,x211a ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.1一元二次方程2.1.1 根的判别式一.概念：我们知道,对于一元二次方程ax2 bxc 0（ a0）,用配方法可以将其变形为当 0,即 a 1 时,方程有两个相等的实数根x1 x2 1；当 0,即 a 1 时,方程没有实数根说明：在第3, 4 小题中,方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而变化,于为,在解题过程中,需要对a 的取值情形进行争论,这一方法叫做分类争论分类争论这一思想方法精品学习资料精选学习资料

35、- - - 欢迎下载2xb 2b2a4ac4a2为高中数学中一个特别重要的方法,在今后的解题中会常常地运用这一方法来解决问题精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由于 a0,所以, 4a2 0于为（ 1）当 b2 4ac 0 时,方程的右端为一个正数,因此,原方程有两个不相等的实数根x1,bb24 ac2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）一.概念： 1.如一元二次方程ax2 bx c 0（ a0）有两个实数根精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2；2ab b24 a cbb24 a c精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）当 b2 4ac 0 时,方程的右端

36、为零,因此,原方程有两个相等的实数根x1, x22a,就有2 a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x1xb2；2ax1x2bb 22a4acbb 22a4ac2bb；2aa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3）当 b2 4ac 0 时,方程的右端为一个负数,而方程的左边 xb 2 肯定大于或bb 24acbb 24 acb 2 b2 4 ac4acc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2ax1x222精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载等于零,因此,原方程没有实数根2a2a4a4aa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由此可知, 一元二

37、次方程ax2 bx c 0（ a0）的根的情形可以由b2 4ac 来判定, 我们把b2 4ac 叫做一元二次方程ax2 bx c 0（ a0）的根的判别式,通常用符号“来”表示所以,一元二次方程的根与系数之间存在以下关系：2bc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载综上所述,对于一元二次方程ax2 bx c 0（ a0）,有假如 ax bx c 0（ a0）的两根分别为x1, x2,那么x1x2, x1 ·x2a这一关a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1）当 0 时,方程有两个不相等的实数根x1,2bb24ac；2a系也被称为韦达定理2.特殊地,对于二次项系

38、数为1 的一元二次方程x2 px q 0,如 x1, x2 为其两根,由精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）当 0 时,方程有两个相等的实数根x x b；韦达定理可知x1 x2 p, x1·x2 q,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载122a（ 3）当 0 时,方程没有实数根即p x1 x2 , q x1·x2,所以,方程x2 px q 0 可化为x2 x x 0,由于 x , x为一元二次方程x2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载12x x1·x21 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载二.典型例题：例 1判

39、定以下关于x 的方程的根的情形（其中a 为常数）,假如方程有实数根,写出方程的实数根（ 1） x2 3x 3 0；（ 2） x2 ax 1 0；（ 3） x2 ax a 1 0；（ 4） x2 2x a 0 px q 0 的两根,所以,x1, x2 也为一元二次方程x2 x1 x2x x1·x2 0 的两根,因此有以两个数x1, x2 为根的一元二次方程（二次项系数为1）为 x2 x1 x2x x1·x2 0二.典型例题：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：（ 1） 32 4×1×3 3 0,方程没有实数根例 2已知方程5x2k x60的一

40、个根为2,求它的另一个根及k 的值精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）该方程的根的判别式 a2 4×1× 1 a2 4 0,所以方程肯定有两个不等的实分析：由于已知了方程的一个根,可以直接将这一根代入,求出k 的值,再由方程解出另精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载数根 x1aa 24,x22a a242一个根但由于我们学习了韦达定理,又可以利用韦达定理来解题,即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项,于为可以利用两根之积求出方程的另一个根,再由两根之和精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3）由于该方程的根的判别式为 a2

41、 4×1×a 1 a2 4a 4 a22,所以,当 a 2 时, 0,所以方程有两个相等的实数根x1 x2 1；求出 k 的值解法一： 2 为方程的一个根, 5×22 k×2 6 0,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 k 7所以,方程就为5x2 7x 6 0,解得 x1 2, x 3 解法二：由韦达定理可知,这两个数为方程x2 4x 12 0 的两个根解这个方程,得x1 2, x2 6 所以,这两个数为2 和 6精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2所以,方程的另一个根

42、为53 , k 的值为 75说明：从上面的两种解法我们不难发觉,解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解法二：设方程的另一个根为x1,就2x 6 , x 3 例 5如 x1 和 x2 分别为一元二次方程2x2 5x 3 0 的两根精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载11551133精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3k（ 1）求 | x1 x2|的值；（ 2）求 x 2的值；（ 3） x1 x2 x 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由（） 25,得k 7512253精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以,方程的另一个根为3 , k 的值为 7解：x1 和 x2 分别为一元二次方程2x 5x 3 0 的两根, x1x2, x1 x222精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1553精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 3已知关于x 的方程