第三节解析函数的不定积分PPT课件

1、第三节第三节 解析函数的不定积分解析函数的不定积分一、不定积分定义二、定理三、小结与思考机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2一、不定积分定义一、不定积分定义由柯西定理知由柯西定理知: 解析函数在单连通域内的积分只与起点解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关和终点有关, (如下页图如下页图) , , 10zz终点为终点为如果起点为如果起点为DD 0z1z 0z1z 1C2C1C2C 21d)(d)(CCzzfzzf 10d)(zzzzf机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3 , ,

2、 , 110zzDzz 并并令令内内变变动动在在让让如如果果固固定定 .d)()( 0 zzfzFD 内的一个单值函数内的一个单值函数便可确定便可确定 . )()( , d)()( , )( 0zfzFDfzFDzfzz 并并且且析析函函数数内内的的一一个个解解必必为为那那末末函函数数内内处处处处解解析析在在单单连连通通域域如如果果函函数数 定理：定理：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 4D zKzz 0z 证证 , 内任一点内任一点为为设设Dz在在D内再任取一点内再任取一点z+ z,连接连接 z 到到 z+ z 的线段作为积分路线，则的线段作为积分路线，则 )()(

3、zFzzF zzzf d)()()()( zfzzFzzF 所以所以)(d)(1zffzzzz d)()(1zffzzzz 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 5 , )( 内解析内解析在在因为因为Dzf , 连续连续所以所以, 0, 0 故故 , 时时使得使得 z有有时时即即 , z,)()( zff)()()( zfzzFzzF 从而从而 d)()(1zffzzzz .1 zz).()( zfzF 即即机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 6 原函数和不定积分的定义原函数和不定积分的定义:原函数之间的关系原函数之间的关系: : . )(一个常数

4、一个常数的任何两个原函数相差的任何两个原函数相差zf设函数设函数f (z)在区域在区域D内连续，若内连续，若D内的一个函数内的一个函数 (z)满足满足Dzzfz ),()(则称则称 (z)为为f (z)的一个原函数，的一个原函数，f (z)的所有原函数的的所有原函数的集合称为函数集合称为函数f (z)的的不定积分不定积分.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 7二、定理二、定理. , )()(d)( , )( )( , )( 000内内的的两两点点为为域域这这里里那那末末的的一一个个原原函函数数为为内内处处处处解解析析在在区区域域如如果果函函数数DzzzzzzfzfzDz

5、fzz ( (类似于牛顿类似于牛顿- -莱布尼兹公式莱布尼兹公式) )证证 , )( d)( 0的原函数的原函数也是也是因为因为zffzz ,)( d)( 0czfzz所以 , 0时时当当zz , )( 0zc 得得. )()( d)( 00zzfzz 所以所以机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 8例例1 1解解 . d 3的值的值求求 bazz , 是解析函数是解析函数因为因为 z ,41 4z它的原函数是它的原函数是由牛顿由牛顿-莱布尼兹公式知莱布尼兹公式知, 41 d 43babazzz ).(4144ab 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结

6、束 9例例2 2. dcos 0的值的值求求 izzz izzz0dcos izz0)(sind iizzzz00dsinsinizzz0cossin . 11 e此方法使用了微积分中此方法使用了微积分中“分部积分法分部积分法”机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 10四、小结与思考四、小结与思考 原函数、不定积分的定义以及牛顿原函数、不定积分的定义以及牛顿莱布尼莱布尼兹公式兹公式. )()(d )(00zzzzfzz 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 11思考题思考题 定理在积分计算中有什么用定理在积分计算中有什么用? 要注意什么要注意什么问题问题?作业：作业：P46 5，机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 12思考题答案思考题答案 注意定理要求的条件。注意定理要求的条件。放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 13Augustin-