2007数学物理方法A卷答案及评分标准

1、南昌大学 20062007学年第二学期期末考试试卷 试卷编号： 6029 ( a )卷答案及评分标准课程编号： h55020190 课程名称： 数学物理方法 考试形式： 闭卷 适用班级 05物理、应物与光信息 姓名： 学号： 班级： 学院： 专业： 考试日期： 题号一二三四五六七八九十总分累分人 签名题分42508 100得分考生注意事项：1、本试卷共6页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。 2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。一、 填空题(每小题 3 分，共 42 分) 得分评阅人 1. 复数的指数式为 。2. 27 。3. 复数可简化为 i 。4.

2、 拉普拉斯方程在直角坐标系中的表达式为。5. 可导，必满足 柯西黎曼 条件，这个条件的数学表达式为、。6. 在的圆内，函数的泰勒级数展开为_ 。7. 已知，为任一回路，则 0 。8. 拉普拉斯变换 。第 7 页 共 7页9. 数学物理方程定解问题的适定性是指 解是存在的、唯一的和稳定的 。10. 一根两端(左端为坐标原点而右端）固定的弦，用手在离弦左端四分之一处把弦朝横向拨开距离h，然后放手任其振动。横向位移的初始条件为 。11. 偏微分方程的类型为 椭圆型 。12. 若解析函数的实部为，则其虚部为 b) ，其中为常数。a) b) c) d) 13. 复变函数有 d) 。a) 两个单极点和一个

3、三阶极点b) 一个单极点，一个可去极点和一个三阶极点c) 两个单极点和一个二阶极点d)一个单极点和一个三阶极点14. 判断下面的说法是否正确，正确的在题后的“（）”中打，错误的打×。（1）若函数在点解析，则函数在点可导，反之亦然。（×）（2）是二阶齐线性偏微分方程。 （×）（3）在洛朗展开中，虽然洛朗级数中存在的负幂项，但展开中心不一定是被展开函数的奇点。 （）二、 求解题 (每小题 10 分，共 50 分)得分评阅人 说明：（1） 需给出必要的文字说明和演算过程。（2） 本题第5、6、7小题按专业只做其中一题，注意：a. 物理学与应用物理学专业考生只能在第5、6

4、题中任选一题完成；b. 光信息专业考生则必须完成第7题。1. 用留数定理计算积分。解：被积函数在积分围线内有两个极点：单极点，两阶极点。 -(2分)留数分别为 -(3分)和 -(3分)根据留数定理得 -(2分)2. 解常微分方程初值问题。注：可使用拉普拉斯变换，或其它任何方法。解：拉普拉斯变换得 -(3分)所以 -(4分)逆变换得 -(3分)3. 设满足方程和边界条件，其中可为任意实数，试根据的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值。解：可分为三种情况讨论：1) ，微分方程解为，由得，由得，得，得到平庸解，显然没有意义。 -(3分) 2) ，解为，代入边界条件得，也得到平庸解，没有意义。

5、-(2分)3) ，解为,代入边界条件得a) 当 的取值使得 时，必有 ，这和上两种情况一样没有意义。b) 当 的取值使得 时， 不必为零，这种是有意义的情况。此时由 得到本征值: 此时，本征解为-(5分)4. 试写出达朗贝尔公式，并求解偏微分方程，初始条件为。解：若方程的初始条件为，则其解为，此即达朗贝尔公式。 -(4分)本题中，则 -(6分)注意：以下5、6、7小题按专业只做一题，物理学与应用物理学专业的考生只能从5和6两小题中任选一题完成，光信息专业的考生则必须完成第7小题。我是物理学或应用物理学专业的考生，选做 题。5. 用留数定理计算实积分 。解： -(2+2+2=6分)根据留数定理得 -(2+1+1=4分)6. 解偏微分方程（常数均为正数）。解：做未知函数变换将方程齐次化。令，代入方程和初始条件得；， -(4分)由达朗贝尔公式得 -(4分)最后 -(2分)7. 已知阶勒让德多项式的表达式为计算。解：由已知可求得 -(2分)以及 -(3分)所以，由于被积函数为奇函数，或者直接计算 -