2008数学物理方法B卷答案及评分标准

1、南昌大学 20072008学年第二学期期末考试试卷 参考答案及评分标准 试卷编号： 6028 (b)卷 课程编号： h55020190 课程名称： 数学物理方法 考试形式： 闭卷 适用班级 物理系06各专业 姓名： 学号： 班级： 学院： 专业： 考试日期： 题号一二三四五六七八九十总分累分人 签名题分30301525 100得分考生注意事项：1、本试卷共6页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。 2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。一、 解答题 (本题满分30分) 得分评阅人 1. 关于复变函数 (注意和分别是与的二元实函数，而为虚数单位)，试解答:

2、(18分)(1) 在点z0可导的定义； (2) 可导的必要充分条件； (3) 在点z0解析的定义；(4) 在区域b上解析的定义； (5) 在一点可导与解析的关系； (6) 在区域上可导与解析的关系。解：(1) 若极限存在且与的方式无关，则称复变函数在点z0可导。 -(3分)(2) 函数可导的必要充分条件是4个偏导数存在-(1分)，且连续-(1分)，并且满足柯西-黎曼条件： -(1分)(3) 若函数在点z0及其邻域上处处可导，则称在点z0解析。 -(3分)(4) 若函数在区域b上每一点都解析，则称是区域b上的解析函数。(3分)(5) 在一点可导与解析的关系：函数在某点解析，则必在该点可导；反之，

3、不一定正确。亦即，函数在一点可导与解析不等价。 -(3分)(6) 函数在区域上可导与解析等价。 -(3分)2. 已知，求（）。（12分）解：由得即 -(2分)于是 -(2分)所以 -(2分)即 -(2分)最后，由于根据题意，所以 -(2分) -(2分)第 6 页 共 6页二、用留数定理计算复或实积分 (每小题15分，本题满分30分)得分评阅人 1. 解：可见，z=0是围线内的三阶极点。 -(5分)其留数为 故 -(4分)2. 解：作变数代换则 -(4分)于是，原积分化为若分母为0，则有但在回路内只有一个但极点 -(4分)其留数为 -(4分)所以 -(3分)三. 求解波动方程的初值问题 (本题满

4、分15分)1. 设a为正常数，试直接写出偏微分方程满足初始条件的解的表达形式，即达朗贝尔公式。(4分)解：方程的解为，此即达朗贝尔公式。 -(4分)2. 求解偏微分方程，初始条件为, 。(6分)解：这里a=1, 代入上式， -(1分)得到 3. 求解偏微分方程，初始条件为 。提示：寻找泛定方程的一个特解再作变换 使得的泛定方程是齐次的。(5分)解：泛定方程有一个特解 -(2分) 作变换 则的定解方程为 ，初始条件为, 由达朗贝尔公式知的定解方程只有零解。 -(3分) 从而，原方程的解为 四. 求解弦振动方程的边值问题 (本题满分25分)考虑两端固定的均匀弦的自由振动定解问题，泛定方程和边界条件

5、为：其中， a和是正常数。此问题可用分离变量(或分离变数)法求解，令，不考虑初始条件，试讨论并求解和所满足的常微分方程，最后导出该问题有一般解为其中和为待定系数。解：设 代入后得 显然边界条件等同于，在任意时刻都有 而方程两边同除 得 由于左右两边各自是 和 的函数，也就是说对于任意 和 ，左右两边都相等，这显然只有当两边都相于常数时才可能，即 -(5分) 这样对于 的微分方程及边界条件可以写为 -(3分) 而 的方程和初始条件为 -(2分) 所以在求得 后，就可以利用初始条件求得 。 的解为 代入边界条件得 可分为三种情况讨论：1) ，这时有 ，由此得得到零解。 -（3分）2) ，这时方程的解应为 代入边界条件得 同样有 ，也没有意义。 -(2分)3) ，这时方程的解应为 同样可以写成 代入边界条件得注意和 的情况不一样， 并不能得到 ，因为 不是对所有 都成立。a) 当 的取值使得 时，必有 ，这和上两种情况一样没有意义。 -(2分)b) 当 的取值使得 时