固体物理中32个基础问题

1、固体物理问题1 如何理解什么是晶体结构。1 理想晶体：An ideal crystal is constructed by the infinite repetition of identical structural units in space.本质在于长程有序。2 晶体结构（Crystal structure） = lattice + basis1) 点阵（lattice）：a regular periodic array of points in space.选取不唯一，不同的基元可能对应不同的点阵。2) 基元（basis）：the group of atoms。选取不唯一，体积最小和

2、原子数最小的基元是原胞（初基基元），对应着初基晶轴，这两个是唯一的。3) 基矢（Primitive translation vectors ）：，（晶轴），晶轴选取不唯一，初基晶轴选取也不唯一；初基平移矢量对应于初基基元，因此初基基元形状不唯一。晶格平移矢量（Lattice translation vector）：where ， and are integers.基元中第j原子的相对位置（The center position of an atom j inside the basis）：where 3 原胞（Primitive lattice cell）：形状不唯一。 1）Primitive

3、 lattice cell is the minimum volume cell in the lattice。最小体积为其中，称为初基晶轴。2）There is always one lattice point per primitive lattice cell。同原胞中一个格点相联系的基元称为初基基元，初基基元是包含原子数目最少的基元。注意是一个格点，而不是一个原子。3）维格纳-赛兹原胞（Wigner-Seitz cell） 原则上是所有的点，但通常近邻的点即可，由近到远。在倒易空间的维赛原胞就是布里渊区。4）惯用晶胞（The conventional cell）can be same

4、or sometimes bigger than the primitive cell。392 晶格有哪些基本类型。立方晶格及简单晶体结构的基本特点。晶格平移矢量具有任意性，因此给出的一般性晶格通常都称为斜方晶格；布拉维晶格（Bravais lattice）是对某种具体晶格类型的通称。对称性使然。1二维晶格：五种不同的类型正方晶格，长方晶格，六角晶格，有心长方晶格（不是原胞），一般的斜方晶格。2 三维晶格：七大晶系十四种晶格类型一般的晶格类型为三斜晶格。七大晶系（惯用晶胞）：立方（3），四角（2），正交（4）；三角（1），六角（1）；单斜（2），三斜（1）（二斜和三斜的对称性一样）。3 立方晶

5、格：简单立方（sc），体心立方（bcc），面心立方（fcc）1）三个最近邻点作初基晶轴（这只适合于立方晶格）。2）最近邻数和堆积比率正相关。3）体心立方晶格的原胞是109°28的菱面体；面心立方的是60°菱面体。（三角晶格）4简单晶体结构1）密堆结构（Close-packed structures）六角密堆结构（hcp）：ABAB 面心立方结构（fcc）：ABCABC 二者最近邻数都是12，堆积率一样（0.74）；并且结合能（自由能）仅取决于每个原子的最近邻键的数目，因此两种结构在能量上没有差别。hcp原胞有2个原子，fcc原胞不是3个原子，而是一个原子！fcc沿着体对角线

6、方向进行堆积。2）金刚石结构（Diamond structure）图中分数值表示以立方体边长为单位，其原子处在一个fcc格子上；在1/4和3/4处的点是处在另一个相似的格子上（两套fcc，体对角线方向平移1/4）。如果看作单个的fcc晶格，基元是由位于（000）和（1/4,1/4,1/4）的两个全同原子组成（原胞中应该是相邻的原子，满足式）。每个原子有4个最近邻，因此堆积率很低，只有0.34；碳、硅、锗，锡都能结晶为金刚石型结构。3）氯化纳型结构（NaCl）面心立方，基元由一个Na+和一个Cl-组成，间距为一个单位立方体体对角线的一半，每个原子有6个异类原子作为最近邻。（一个大一个小，填充）。

7、问题是面心立方的基元怎么会两个原子？这也是两个面心立方合在一起的结果，距离长才构成离子晶体。4）氯化铯型结构（CsCl）（典型的离子晶体）简单立方，基元由一个Cs+和一个Cl-组成，每个原子有8个异类原子作为最近邻。5）立方硫化锌型结构（ZnS）（介于离子键和共价键之间）面心立方，类似于金刚石结构，错开于立方体体对角线的1/4，不同的是不存在一个反演对称操作中心。6）立方钡钛矿结构（BaTiO3）:Ba在顶点，Ti在体心，O在面心。3 如何确定晶面指数。1求晶面指数Step 1: find the intercepts, h, k and l, on the axes in the terms

8、 of lattice constants a1, a2, a3.Step 2: take the reciprocals of these numbers and multiply the same ratio to have three integers, usually the smallest three integers, h, k, and l, enclosed them into brackets (hkl).（反过来时则只需要求倒数，因为晶面是一系列可通过晶格平移矢量移动的平面，只有不可以移动时才是不等价的，例如（200）与（100）2 具体情况Case1: all h, k

9、 and l >1 multiply a number to 1/h, 1/k and 1/l to have the smallest three integers.Case2: any h, k and l < 1 multiply a number to 1/h, 1/k and 1/l to have three integers. E.g. (200) plane, (222) plane.Case3: any h, k and l is infinity the corresponding index is zero.Case4: any h, k and l = 0

10、take another origin point, repeat step 1.3 注意The indices (hkl) may denote a single plane or a set of parallel planes.negative index：Due to the symmetry, the planes with different indices might be equivalent inside the crystal. All can be denoted as 100The distance between two adjacent plane denoted

11、as (hkl), d, is re1lated to the indices h, k, and l. The bigger h, k and l, the smaller d.4扩展How to index a direction:The indices uvw of a direction in a crystal are the set of the smallest integers that have the ratio of the components of a vector in the desired direction, referred to the axes.In c

12、ubic system, the hkl direction is perpendicular to the (hkl) planes.4 证明Bragg定律。如何理解晶体衍射条件和Laue方程与Bragg定律的关系。1 布拉格定律为证明如下图所示，当行程差是波长的整数倍时，来自相继平面的辐射就发生相长干涉。条件：elastic scattering（弹性散射）periodic lattice（周期性的晶体结构）波长局限性：does not refer to what kind of lattice and basis, because no information of the intens

13、ity.（具体的点阵与峰的排列有关，原胞与结构因子有关，而结构因子与峰强度有关；这里没有涉及到峰的信息，即峰的排列和强度，因此不能确定具体的点阵和基元）2 衍射条件定理：一组倒格矢G决定了可能存在的X射线反射。由散射振幅最大时即为产生衍射，因此可推导衍射条件为其中。在弹性散射时，。由此结合式，可推导弹性散射的衍射条件为可证明，结合式和晶面指数的定义，即可推导出布拉格定律。3 Laue方程由一般的衍射条件式，结合初基基矢和倒格矢的关系，可推导劳厄方程4 晶格衍射条件和Laue方程与Bragg定律的关系衍射条件与Laue方程是等价的，当为弹性散射时，则是Bragg定律。5 如何理解什么是倒格子。立

14、方晶格和六角密堆结构的倒格子。1 倒格子在计算电子数密度n时，我们利用n(r)的周期性，进行了傅里叶变换，由此在k空间下研究晶体，称之为倒易空间。值得注意的是，电子数密度n是我们研究的出发点。定义倒格子的轴矢量为其中。倒格矢为性质：1）2）3）倒格矢垂直晶面，两个平行的晶面的距离为。注意这里不局限于立方晶格。4）倒易空间的原胞体积为2 立方晶格和六角密堆结构的倒格子1）sc晶格2）体心立方晶格3）面心立方晶格4）六角密堆结构6 什么是布里渊区，如何理解布里渊区和衍射条件的关系。1 布里渊区布里渊区定义为倒格子空间中的维格纳-赛茨原胞。2 第一布里渊区第一布里渊区为倒格子的中央晶胞（我们把倒易空

15、间成为倒格子空间，倒格子）。作由原点出发的诸倒格矢的垂直平分面，由这些垂直平分面所围成的完全封闭的最小体积就是第一布里渊区（通常只需做最近邻的几个点）。3 布里渊区和衍射条件的关系布里渊区边界包括了所有能在晶体上发生布拉格反射的波的波矢。这和定理“一组倒格矢G决定了可能存在的X射线反射”是一致的。由弹性散射的衍射条件得从原点出发，布里渊区边界总是垂直方向，并且距离原点的距离是，因此满足的波矢都在布里渊区边界处（注意不一定是第一布里渊区边界）。7 什么是晶格的结构因子。体心立方、面心立方、金刚石结构的结构因子。1 晶体的结构因子对于一个含有N个晶胞晶体，把衍射条件式代入散射振幅表达式，散射振幅可

16、写成其中就是结构因子，它的对象是晶胞。对电子数密度展开，并定义原子的形式因子（对象是原子），可得结构因子的具体表达式为其中j是一个晶胞里的第j个原子（注意不一定的原胞，更多的是惯用晶胞）。2 体心立方、面心立方、金刚石结构的结构因子1）体心立方结构惯用晶胞中含有两个全同原子，分别处于。2）面心立方结构惯用晶胞中含有四个全同原子，处于。3）金刚石结构惯用晶胞中含有八个全同原子，处于、。（用排列组合法）8 什么是晶体的内聚能、晶格能。哪些宏观物理量可以定性表征内聚能的大小。固体的内聚力应全部归因于电子的负电荷与原子核的正电荷之间的静电吸引相互作用。磁力对内聚力影响微弱，万有引力可以忽略，而强弱相互

17、作用是短程力，只作用于原子核内。由于最外层电子分布和离子实排列上的不同，将引起凝聚物质实际存在形式之间的差别。1 The cohesive energy（内聚能）:the energy that must be added to the crystal to separate its components into neutral free atoms at rest, at infinite separation, with the same electronic configuration.2 The lattice energy（晶格能） (for ionic crystals): th

18、e energy that must be added to the crystal to separate its component ions into free ions at rest at infinite separation.3 定性地表征内聚能大小的宏观物理量Generally, the higher the melting temperature, the bigger the cohesive energy, and also the bigger bulk modulus (体弹性模量).9 范德瓦耳斯力的本质是什么。如何理解Lennard-Jones势。1 范德华尔斯力

19、范德华尔斯力的本质是感生偶极子-偶极子相互作用，并且是一个吸引的相互作用。建立一个相应的简单模型（一个谐振子内部只有谐势项，没有电荷间的库伦势）。其中。两谐振子之间的库仑相互作用能（类电偶极矩相互作用项）通过正则变换（对角化处理），并对得到的两个独立频率进行泰勒展开，即可比较谐振子结合前和结合后的零点能量，计算为由此可见是一个吸引相互作用，系统的零点能量将由于偶极子-偶极子的耦合而降低。以原零点能为能量的零点，即可得到该相互作用势为。1）当时，从这一意义上讲，范德华尔斯相互作用是一种量子效应。（考虑量子修正，存在量子动能，其中原子愈重，量子修正愈小）2）范德华尔斯相互作用的存在不依赖于两个原子

20、的电荷密度的任何交叠。2排斥相互作用当两个原子相互靠近时，它们的电荷分布将逐渐发生交叠，从而引起系统的静电能发生变化。在两原子距离足够近时，交叠能是排斥性的，其中大部分贡献来自泡利不相容原理。常用的排斥相互作用的经验势有幂次方形式和指数形式的，即。3 Lennard-Jones势Lennard-Jones势包括吸引部分和排斥部分，为后面的形式更有物理意义，因为是特征量。当晶体处于平衡状态时，晶格常数为，即此时伦纳德势（内聚能）最小，导数为零。10 Madelung能和共价键的本质是什么。1 Madelung能离子晶体的结合能主要来源于静电能的贡献，这一静电能被称为马德隆能。因此，马德隆能的本质

21、是静电能。即带电荷为的离子之间存在着长程相互作用，它包括带异号电荷离子的静电吸引相互作用和带同号电荷离子之间的静电排斥作用。在离子晶体中，忽略范德华尔斯相互作用（伦纳德势的吸引部分），但仍然存在由于电子密度分布交叠引起的排斥势（只要由电子密度交叠，泡利不相容原理就产生排斥势，在离子晶体里电荷密度大致呈球对称分布），为短程的相互作用，用指数形式表示，即。因此，结合马德隆能和排斥势，只计及最近邻间的排斥相互作用，对于N个分子（2N个离子），晶格能为其中z是任一离子的最近邻数，并且定义马德隆常数在达到平衡位置时，由此可得到有关平衡间距的表达式，代回式2 共价键共价键是指两个或多个原子共同使用它们的外

22、层电子，在理想情况下达到电子饱和的状态，由此组成比较稳定的晶体结构。其本质是电子密度交叠后，高概率地出现在两个原子核之间的电子与两个原子核之间的静电作用。1）饱和性：每个原子形成的共价键总数是一定的。2）strong directional properties3）spins of the electron in the bond are antiparallel. 共价键以反平行自旋电子的电荷分布相互重叠为特征。在自旋反平行下，泡利原理贡献在排斥作用中的分量减少，这使得更大程度的交叠成为可能。这是令人惊讶的事，因为在离子键中电荷密度交叠导致了很大的排斥能，在共价键中尽管泡利原理仍然使排斥能存

23、在，但重叠电荷使得吸引力比排斥大。也就是说，在共价键中，无论是吸引能还是排斥能，都是由电荷密度交叠引起。如果要算内聚能，还是吸引能和排斥能共存。4）共价键与离子键之间没有严格的界限。本质都是静电作用，但形式不同，共价键更依赖于电子的共用和电子密度交叠。5）共价键是一个强键，而金属键是一个弱键。尽管它们都有共用电子对，共价键的价电子是局部共用的，而金属键的价电子是全部共有的。6）按成键方式，可以把共价键分成三种键（sigma bond）由两个原子轨道沿轨道对称轴方向相互重叠导致电子在核间出现概率增大而形成的共价键，叫做键，可以简记为“头碰头”（见右图）。键属于定域键，它可以是一般共价键，也可以是

24、配位共价键。一般的单键都是键。原子轨道发生杂化后形成的共价键也是键。由于键是沿轨道对称轴方向形成的，轨道间重叠程度大，所以，通常键的键能比较大，不易断裂，而且，由于有效重叠只有一次，所以两个原子间至多只能形成一条键。键（pi bond）成键原子的未杂化p轨道，通过平行、侧面重叠而形成的共价键，叫做键，可简记为“肩并肩”。键与键不同，它的成键轨道必须是未成对的p轨道。键性质各异，有两中心，两电子的定域键，也可以是共轭键和反馈键。两个原子间可以形成最多2条键，例如，碳碳双键中，存在一条键，一条键，而碳碳三键中，存在一条键，两条键。键（delta bond）由两个d轨道四重交盖而形成的共价键称为键，

25、可简记为“面对面”。 键 键 键7）对于双粒子全同体系， 其波函数是反对称的费米子波函数。通过计算两个全同粒子之间距离平方的期望值，可以发现期望值在有电荷交叠的情况下变小了（具体可看格里菲斯量子力学概论P137）。对称性要求（所谓的交换力）将趋向于聚拢电子到两个离子两线的中心位置，而这种负电荷的累积将导致离子受到向内的吸引力，这就是共价键的来源。结合两电子的自旋合成态，可知共价键要求两个电子占据总自旋为零的自旋单态（不规则是说法是两个电子指向相反）。11胡克定律的微观表示。什么是应力，应变，弹性顺度常数，劲度常数。立方晶体的杨氏模量，泊松比，体弹性模量。1 胡克定律的微观表示胡克定律：在弹性固

26、体中其应变与应力成正比。1）在处理晶体的弹性问题时，一般把晶体作为均匀连续性介质考虑，而不是看做原子的周期性排列。在低频下，这种近似方法总是有效的。2）胡克定律只适用于应变较小的情况。当应变足够大时，一般认为应变以进入非线性区域。2 应力，应变，弹性顺度常数，劲度常数应力：在固体中，作用于其单位面积上的力称为应力。可以分解为九个应力分量，即Xx、Xy、Xz、Yx、Yy、Yz、Zx、Zy、Zz，其中大写字母表示力的方向，下标表示力作用的平面法向。应变：定义形变位移。由此定义应变分量为弹性顺度常数：胡克定律表明，对于足够小的形变，应变分量是应力分量的线性函数，其中的线性系数就是弹性顺度常量S。劲度

27、常数：应力分量是应变分量的线性函数，线性系数是劲度常量C。3 立方晶体的杨氏模量，泊松比，体弹性模量对于立方晶体，只有三个弹性劲度常量是独立的。可以写成矩阵形式由此可联系着胡克定律，弹性能密度（负梯度关系）和运动方程。杨氏模量：当样品在某一个方向受到拉应力作用，而在其他方向保持自由时，其应力与该方向应变的比值称为杨氏模量。例如样品只受到X方向的应力，即杨氏模量为。泊松比：在单向受拉或受压时，横向正应变与轴向正应变的绝对值的比值。例如y方向的，即泊松比。（注意的特别定义！为相对形变）体积弹性模量：弹性能密度，其中B为体积弹性模量，是膨胀率；这定义与的定义等价。12 如何理解什么是声子。声子的能量

28、、动量。如何理解声子波矢的范围。1 声子的来源与性质声子是晶格振动的能量量子。在晶格振动中，波函数为格波，晶体的能量：各原子动能+相互间的势能。在势能的泰勒展开中，我们做简谐近似，只保留势能的二次项，但仍存在坐标的交叉项，因此我们引进简正坐标简正坐标是数学上的一种处理方式，它是将各原子的各原始物理坐标进行线性叠加、组合，从而消除各原子的原始坐标的耦合（它反映了物理间的相互作用关系），从物理上说是寻找一组新的完备基使计算更简单。消除交叉项，同时刚好转变为谐振子的形式。对于原胞中只含有一个原子的晶体，哈密顿为在新的坐标系里，系统的原子振动可以被描述成简谐振子的运动，即用简正坐标来描述独立的简谐振动

29、。晶格振动由3N个独立的谐振子来描述。方程为通过以上经典力学的分析，我们得到了晶格振动频率；在量子力学我们直接从经典力学里过渡到量子力学。尽管给人的感觉有些不自然，但在讨论中我们分析经典的和量子的区别。而在基泰尔的固体物理导论中就直接讨论经典力学的波函数和色散关系。事实上，当我们认识到经典和量子的区别和联系后，为了简单，我们就会觉得这个过渡是自然而然的了。里，谐振子模型的能量是量子化的，即，因此总能为从量子力学的观点看，表征原子集体运动的简谐振子的能量是量子化的，每个振动模式能量的最小单位为，每个振动模式能量的最小单位被称为声子，这就是声子的来源，是晶格振动量子理论最重要的结论。在经典理论中，

30、势能函数是连续的，量子理论修正了这个错误，而保留了经典理论中原子振动要用集体运动方式描述的观点，因而按经典力学求出的色散关系是正确的，量子理论并没有改变其结论，只是对各模式振幅的取值做了量子化的规定。另外，量子谐振子存在零点能。当温度趋于绝对零度时，晶格振动处于基态，但按照量子力学的观点，作为量子谐振子，它们依然振动着。能量量子化和零点能的存在是量子振子区别于经典振子的两大特点，它们都是粒子波动性的体现。能量量子化由于粒子de Broglie波的自身干涉；零点能的存在是源于粒子de Broglie波所固有的不确定关系。就平均而言，当粒子数越大，量子结果和经典结果越接近。声子是性质：1）声子是晶

31、格振动的能量量子。当电子或光子与晶格振动相互作用时，总是以为单元交换能量，若电子交给晶格的能量，称为发射一个声子；若电子从晶格获得的能量，则称为吸收一个声子。2）一种格波即一种振动模式对应于一种声子，对于由N个原胞（每个原胞有n个原子）组成的三维晶体，有3nN种格波，即有3nN种声子。当一种振动模式处于其能量本征态时，称这种振动模有个声子。因此总能量为3）声子与声子相互作用，或声子与其他粒子（电子或光子）相互作用时，声子数目并不守恒。声子可以产生，也可以湮灭。其作用过程遵从能量守恒和准动量守恒。正是由于声子数不守恒，所以在准波色统计中化学势为零。在弹性散射中，入射粒子遵循波矢选择定则，此时晶体

32、作为整体将发生动量为的反冲，但由于太小而很少以显式形式给出；在非弹性散射中，由于存在入射粒子与晶格的能量交换，因此能产生或吸收声子，只有在非弹性散射中，定义声子准动量才有用武之地。4）引入声子概念后，对于由强相互作用的原子的集体运动状态晶格振动的每一个格波，便可看作是由数目为能量为的理想声子组成，而整个系统则是由众多声子组成的声子气体。引入声子的概念不仅能生动地反映出晶格振动能量量子化的特点，而且在处理与晶格振动有关的问题时，可以更加方便和形象。例如在处理晶格振动对电子的散射时，便可以当作电子与声子的碰撞来处理。声子的能量是，动量是。又如在热传导可以看成是声子的扩散；热阻是于声子被散射等等。使

33、许多复杂的物理问题变得如此形象和便于处理是引入声子概念的最大好处。5）既然格波的能量量子定义为声子，当格波处于较高的激发态时晶体中就布局着较多的声子，即格波振幅较大时，晶体中的声子数较多。因此格波的振幅与声子的数目就有一定的关系。考虑长声学波的情况：即>>a时，可把晶体看作连续介质，角频率为的弹性模式为描述的振动是一个行波，它的能量有一半是动能，另一半是弹性势能，由此可算出和驻波模式相同的关系2 声子动量1）声子不携带物理动量。对于原胞中只含有一个原子的晶格弹性振动，经典力学的解为动量为因为，得。因此一个弹性模式（确定的w，可以对应很多的k）的动量为零，而一个模式含有个声子数，因此

34、声子的动量为零。当K=0时模式时（质心坐标），w为零，声子数为零，因此声子也没有动量；P不为零，此时晶格均匀平移，携带线动量（如果以质心为坐标系时就是静止的，对应波动里的能量为零）。举例：两粒子体系。（量子谐振子，经典波模型，经典粒子模型）2）声子的准动量尽管声子没有物理动量，但平常这些有声子参与的过程中，为处理问题方便起见，我们把量称为声子的准动量或声子的晶体动量，主要是由于它的性质类似于一个动量。这样凡是有声子参与的碰撞过程中动量守恒依然存在。但它的动量不是真实动量，因为当波矢增加一个倒格矢量时，不会引起声子频率和原子位移的改变。即从物理上看，它们是等价的，这是晶体结构周期性的反映。但在处

35、理声子同声子、声子同其它粒子之间的相互作用时，又具有一定的动量性质，所以叫做准动量。3 声子波矢的范围声子波矢K的范围在第一布里渊区，即1）对于原胞中只含一个原子的情况，由式，两个相邻平面的位移之比为位于与区间的相位Ka涵盖了指数函数所有独立的值。因为波函数只要知道了各处的比例，就得到波函数在所有地方的分别，这是由归一化得到的，因此声子波矢K的范围在第一布里渊区。2）在时空间的格波中，如下图所示，黑点就是晶格，由实线所代表的波不能给出比虚线更多的信息。即两个波具有相同的振幅和频率。从晶体结构角度来看，是由于离散的晶体结构导致了晶格能够用无数的波描述，因此把声子的波矢定义在第一布里渊区。13 基

36、元中含一个原子或两个原子时声子色散关系。光学支声子，声学支声子。1 基元中含一个原子或两个原子时声子的色散关系1）只考虑最近邻之间的相互作用，可得到具有胡克定律形式的受力，再由牛顿第二定律，可得运动方程为通过时间分离和代入行波解（可用传递矩阵求得），得色散关系为长波极限下，有2）基元中含两个原子时声子色散关系同理地，得到相应的运动方程代入行波解，并把两方程的系数写成行列式形式，可得解得在长波极限下，有2 光学支声子和声学支声子当每个原胞含p个原子时，有3pN种格波，即有3pN种声子。其中有3N中声学支，有（p-1）3N个光学支。对含有2个原子的情况，1）光学支声子：当K趋于零时，频率w在红外频

37、率范围；两原子相对于质心振动，而质心不动， 把色散关系回代运动方程，在K趋于零时可得。即。式左式为光学支。2）声学支声子：当K趋于零时，频率w在声频范围；两原子随质心一起运动，即。式右式为声学支。14 声子的统计分布，态密度。1 声子的统计分布声子是准波色子，遵循的是普朗克分布，为准波色分布。一个频率为的简正模式在某一温度下对应的平均量子数（声子数）为其中，是能量的特征长度。由于声子数不守恒，所以化学势为零。通过统计物理的状态数的指数比例关系，求加权平均的一般定义，还有求和的数学技巧可得到以上分布。2 态密度态密度是指单位频率（能量）间隔内的模式数。对于给定的色散关系，我们来推导态密度的一般性

38、表达式。在K空间中，有其中是等频率面（等能面）的面积元。通过梯度的定义和群速的表达式，最后用V是最一般的，用2/L只是立方晶格这个具体情况。因为是在均匀条件下，k空间里包含一个状态模式的体积。但我还不是很懂二者的联系。可求出事实上，对于简单的晶格，我们直接用态密度的定义就可以得到具体表达式1）一维态密度可以利用固定边界条件和周期边界条件得到相同的结果，但对于较大尺寸的晶体，常用周期边界条件。N=2k/(2/L)=kL/，态密度为2）二维态密度3）三维态密度15 Debye模型和Einstein模型。1 声子比热容定容比热容是指体积一定下，内能对温度的导数。声子的总能量就是所有声子能量之和，可以

39、通过波矢K和极化模式指标p求和，也可以对频率w和极化模式p求和；由于温度的存在，需要用到普朗克分布。表达式为其中，是能量子的无量纲化。由此可知，要求比热，就需要求出态密度，最终需要确定色散关系（或群速度）。在色散关系中，做泰勒展开时，取零阶近似，即为爱因斯坦模型；只取一阶近似，即为德拜模型。2 德拜模型德拜近似：声速保持恒定；有截止频率（确定的原胞数N）。即由此可得内能和比热容为其中定义为德拜温度，。1）温度很高时，对其中的指数形式做泰勒展开取二阶近似，在计算得2）在很低温度下，可以认为积分区间从零到正无穷。由此式的积分是常数，运用数学技巧，可以把积分算出。可知比热容与温度的三次方成正比。通常

40、称为定律。3 爱因斯坦模型频率均为，在红外范围。态密度为内能和比热为1）高温下，2）在很低温度下，。比德拜模型更快地衰减至零。4 德拜模型和爱因斯坦模型的关系1）Debye model is a good approximation for the acoustical branch（声学支）at long wave limit（速度恒定）. However it cannot describe the optical branch. On the other hand, the optical branch can be treated in the first approximation

41、by Einstein model.2）At very low temperature only the acoustical branch with small K can be thermally excited. The acoustical branch contributes mostly to the heat capacity.3）At very high temperature all the phonons are thermally excited to high energy level. Both models lead to the classical results

42、.4）For a complex crystal structure with p atoms in a primitive cell, the batter approximation is to combine Debye model and Einstein mode together. The acoustical branches are described by Debye model and the optical branches by Einstein model.即16 为什么热膨胀源于晶格的非谐振动。当势能只依赖于原子相对位移的平方项时（一次方项和常数项都为零），为谐和理

43、论；当势能含有高于二次项时，即为非谐项。令原子在绝对零度下偏离平衡间距的位移为x，相应的势能可写成其中c,g,f都是正数；三次方项代表原子之间排斥作用的非对称性，四次项代表在大振幅下振动的软化。采用波尔兹曼分布求平均位移通过泰勒展开取一阶近似，并利用函数的奇偶性，可求出在经典范围内，热膨胀的表达式为由奇偶性容易知道，势能中含有偶数项的值都在积分中为零了，所以谐项中是没有热膨胀的；并且一阶近似中，f也没有发挥作用。事实上，通过作势能图像，利用平均值在中心，可以很形象地体现热膨胀机理。17 声子气和自由电子费米气的热导率。倒逆过程。Wiedemann-Franz定律。1 声子气和自由电子费米气的热

44、导率与电导率相似地，可以通过热流定义热导率其中是热流（热通量），即单位时间内通过单位面积传输的能量。上述定义为一维情况。若粒子 所有粒子的热导率皆是如此定义，无论是声子还是电子。（声子或电子）的浓度为n，则在x方向上粒子通量为；在平衡时，反方向上存在同样大小的通量。两方向粒子通量给的总能通量为那么在三维情况下为因此，如果v是常量，由式知热导率为其中C是定容比热，v是群速度，l是平均自由程。平均自由程由几何散射（晶体边界和缺陷）和声子间散射引起；在谐和力下，没有声子散射（热膨胀中可以证明） 弹性散射不改变声子数，联系一下。含非谐项耦合时，在高温下，l正比于1/T（碰撞随温度升高而增加）。德拜模型

45、下的讨论1）低温下，声子数少，l近似为常量，v是常量，（电子为）。2）高温下，声子数多，C近似为常量，v是常量，（电子一样）。2 倒逆过程三声子过程，正常过程为；倒逆过程（U过程）为，此时K3的x方向是倒转了的。两过程的动量和能量都是守恒的。倒逆过程表明，所有有物理意义的声子波矢K都在第一布里渊区里，因此在碰撞过程中产生的任何更长的波矢都必须通过一个倒格矢，使其折回第一布里渊区。图为3 Wiedemann-Franz定律（维德曼-夫兰兹定律）定律：在不太低的温度下，金属的热导率与电导率之比正比于温度，其中比例常数的值不依赖于具体的金属。利用电导率公式和电子的热导率公式可以得到。不太低温度是由于

46、只涉及电子的热导率，忽略了声子的作用。18 什么是自由电子费米气。费米能级，费米面。自由电子费米气的态密度。1 自由电子费米气两两没有相互作用并遵循费米狄拉克分布（暗含泡利原理）的电子系统，可以用单电子近似进行描述。而在晶体中引入周期性势场是作了平均场近似，这是在弱关联情况下很有效的近似方法。2 费米能级，费米面The Fermi sphere: in the ground state (T = 0), the occupied orbitals may be represented inside a sphere in k space.费米球不一定是球。The Fermi energy: t

47、he energy at the surface of Fermi sphere.The Fermi surface: the surface in k space where the energy equals to Fermi energy.3 自由电子费米气的态密度三维的自由电子费米气模型，就是在自由粒子的薛定谔方程中加入周期性边界条件。解为其中受周期性边界条件作用，波矢取分量值色散关系（本征值）为当N个自由电子的系统处于基态 基态是指在绝对零度下，能量最低的状态。具体是由于泡利原理，电子一个一个地从低能级往高能级填，直至填完，这时的能量最低。这样三维下在k空间填出来的就是一个球。时，被

48、占据轨道可以表示为k空间中一个球内的点，这个球就是费米球；费米能定义为基态下最高被填满能级的能量，因此球面上的能量就是费米能，球面为费米面，费米面上波矢大小用表示，有k空间中，由泡利原理，一个费米子填充一个轨道。因此填充的轨道总数就等于电子数。填充的轨道总数为结合和式可推出关于电子浓度的表达式。通过定义或对数的数学技巧，可以得到态密度为19 为什么经典模型求出的电子比热容比实际测量结果大很多。金属的比热容。1 经典模型求出的电子比热容比实际测量结果大很多的原因the heat capacity of electron Cel= 3kBN/2. Reason: the Pauli exclusi

49、on principle and the Fermi-Dirac distribution。Not every electron gains an energy kBT, but only those electrons in orbitals within an energy range kBT of the Fermi level can be excited.估算：在态密度图中，利用简单的几何关系，用面积（粒子数）比可以看出，只有比例T/TF的那部分电子被激发，室温下为0.01数量级。，为费米温度。2 电子比热容内能增量为利用轨道数N的恒等式和分布函数的具体表达式，可写成第一个积分表示将

50、电子由激发到轨道所需的能量；第二个积分表示能量在以下的轨道将电子激发到所需的能量。其中第一个积分占主要。在低温下（），化学势为常量；由式知态密度也是与温度T无关的量，同时在低温下，取变换过自变量的积分下限从。由此得电子比热3 金属比热容在温度远低于德拜温度和费米温度的情况下，金属的比热容可以写成电子和声子两部分贡献之和，即由于系数的观测值与计算值符合不甚好，在实际中定义热有效质量进行应用。值得注意的是，热有效质量和电子的有效质量是完全两回事。热有效质量与电子质量比值等于电子比热容的观测值与计算值之比，用于电子的热学性质，并且比例之所以不为一是由于电子费米气模型产生的；电子有效质量是由色散关系的

51、曲率定义的，完全不同的物理定义和应用。20 利用自由电子费米气模型证明欧姆定律。Matthiessen定则。为什么有电阻。我们开始研究晶体中电子在外场作用下的运动规律。由于温度的存在，分布的一般化和碰撞的增加会使问题变得更加复杂。当粒子的平均自由程远大于晶格常数时，可以用准经典运动的方式来研究。也就是在单电子模型下，用经典的受力来分析单粒子的运动行为。在金属中，电子的平均自由程很长，我们用准经典的方式研究电子行为，并且是在绝对零度下。1 欧姆定律在准经典运动中，电子在外电磁场下，存在碰撞时，由牛顿定律得B=0时，恒定的外加电场使k空间中的费米球开始时以匀速率运动 费米球作为整体移动为经典模型；

52、只有费米面移动为费米模型。我们更关注的是费米面（一种思想）下的状况，因为在碰撞中，所有碰撞仅仅涉及费米面附近的电子；即只与费米面的电子碰撞有关。，但由于碰撞的存在，使得移动的费米球在电场中维持一种稳态。和是常数，可求得，有这就是欧姆定律。由，可求出电导率和电阻率为在含内场（如周期性势场）时,n和m都将有所改变，m为有效质量，n随m变化；温度存在时，n和改变，n增加，变小。这在半导体理论中有更具体的分析，但整个电导率的公式是一样的。2 Matthiessen定则总的电阻率 和热阻率类似，是平均自由程的缘故；事实上，热导率也如此。因此，一个思想是把晶体的热学和电学性质进行类比。为其中是热声子引起的

53、电阻率，而是那些破坏晶格周期性的所谓静态缺陷对电子波散射而引起的电阻率。在缺陷浓度不算大时，通常不依赖于缺陷数目，而通常不依赖于温度。这种经验性结论被称为马西森定则。3 电阻的产生电阻来源于晶体的散射，也就是晶体中的碰撞 声子与声子的碰撞来源于非谐项势，温度越高碰撞越多。这里主要是电子的碰撞，并且没涉及电子间的碰撞。无论温度如何，电子碰撞总是有的，只是温度越高，碰撞越多。式的来源于此，冲量定理。分别是电子与热声子的碰撞，电子与晶格缺陷和边界的碰撞。电阻率中与温度相关的部分正比于电子同热声子和热电子的碰撞速率，而这正比于热声子的浓度。当温度高于德拜温度时，。21 利用自由电子模型说明霍尔效应。在

54、电磁场作用下，一般的运动方程为式，即1 静磁场平行于z轴方向时，运动方程为2 对于静电场的稳态，速率为常数，时间导数为零。把运动方程写成漂移速度形式其中，称为回旋平率，在高斯单位下为。3考虑一个放置在纵向电场Ex和横向磁场Bz的晶体，由于电流不能从y方向流出去，有。不考虑z轴情况，运动方程写成了电场形式其中Ex是外加电场，Ey是内生电场，就是霍尔电场。根据霍尔系数定义，并利用欧姆定律式，得1）The lower the carrier concentration, the greater the magnitude of the Hall coefficient. Measuring RH i

55、s an important way of measuring the carrier concentration.2）The positive Hall coefficient indicates the motion of the carriers of apparent positive sign, hole.3）事实上，用经典电子模型也可以得到霍尔系数相同的结果。22 晶体中为什么会产生能带。利用近自由电子模型说明能隙的由来和大小。 能带是由有起伏的周期势场产生，归根结底是周期性点阵排列。1 定性分析：原子能级是分立的，晶体中包含多个原子使得原子能级劈裂而得到晶体能带。而分立区间仍然很大，这就是能隙 要注意是所有布里渊区边界处都会产生能隙，而不只是第一布里渊区边界。2 微扰论我们研究一维周期场的晶体。所谓近自由电子近似是假定周期场的起伏比较小，作为零级近似，用势场的平均值代替。把周期起伏作为微扰 用微扰方法时，我们总是先用非简并微扰，发现有问题后，再考虑简并微扰。要注意不是就是简并了，还需要。这是