平面向量空间向量知识点

1、平面向量§、向量的物理背景与概念1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、 既有大小又有方向的量叫做向量 .§、向量的几何表示1、 带有方向的线段叫做有向线段 ，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、 向量AB 的大小，也就是向量AB 的长度（或称模），记作AB；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1 个单位的向量叫做单位向量.3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行.§、相等向量与共线向量1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.§、向量加法运算及其几何意义1、 三角形加法法则和平行四边形加法

2、法则.2、 ab ab .§、向量减法运算及其几何意义1、 与 a 长度相等方向相反的向量叫做a 的相反向量 .2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.§、向量数乘运算及其几何意义1、 规定：实数与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘 .记作：a ，它的长度和方向规定如下： aa ,当0 时 ,a 的方向与 a的方向相同；当0 时,a 的方向与 a 的方向相反 .2、 平面向量共线定理：向量 a a0 与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数，使 ba .§2.3.1 、平面向量基本定理1、 平面向量基本定理：如果 e1 ,e2 是同一平面内的两个不共线

3、向量，那么对于这一平面内任一向量 a ，有且只有一对实数1 , 2 ，使 a1e2e .12§2.3.2 、平面向量的正交分解及坐标表示1、 a xiy jx, y .§2.3.3 、平面向量的坐标运算1、 设 ax1 , y1 , bx2 , y2 ，则： a bx1x2 , y1y2 ， a bx1x2 , y1y2 ， ax1, y1 ， a / bx1 y2x2 y1 .2、 设 A x1 , y1 , B x2 , y2，则：ABx2x1 , y2y1 .§、平面向量共线的坐标表示1、设 A x1 , y1 , B x2 , y2 , C x3 , y3

4、 ，则线段 AB 中点坐标为x12x2 ,y12y2， ABC 的重心坐标为x1 x2x3,y1 y2y3.33§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义1、 a ba b cos .2、 a 在 b 方向上的投影为：a cos .223、aa .24、5、aa .a ba b 0 .§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1、 设 ax1 , y1, bx2 , y2，则： a b x1 x2 y1 y2 ax12y12 a ba b 0x x y y20121 a / /babx1 y2x2 y102、 设 A x1 , y1 , B x2 , y2，则：A

5、Bx2x12y2y12.3、 两向量的夹角公式a bx1 x2y1 y2cosx12y12x2 2y22a b4、点的平移公式平移前的点为P( x, y) （原坐标），平移后的对应点为P ( x , y ) （新坐标），平移向量为PP (h, k) ，则xxhyyk.函数 yf ( x) 的图像按向量 a(h,k ) 平移后的图像的解析式为 y k f ( x h).§2.5.1 、平面几何中的向量方法§2.5.2 、向量在物理中的应用举例空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得 .下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳 .1、 直线的方向向量和

6、平面的法向量直线的方向向量：若 A 、B 是直线 l 上的任意两点，则AB 为直线 l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量 .平面的法向量：若向量 n 所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作 n，如果 n，那么向量 n 叫做平面的法向量 . 平面的法向量的求法（待定系数法）： 建立适当的坐标系设平面的法向量为 n( x, y, z) 求出平面内两个不共线向量的坐标a(a1, a2 , a3 ), b(b1, b2 ,b3 ) n a0根据法向量定义建立方程组.n b0解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量 .（如图）1、 用向量方法判定空间中的平行关系

7、 线线平行设直线 l1, l 2 的方向向量分别是a 、b ，则要证明 l1 l 2 ，只需证明 a b ，即 akb( kR) .即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线。 线面平行（法一）设直线 l 的方向向量是a ，平面的法向量是u ，则要证明 l ，只需证明 au ，即 a u 0 .即：直线与平面平行 直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可. 面面平行若平面的法向量为 u ，平面的法向量为 v ，要证，只需证 u v ，即证 uv .即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。3、用

8、向量方法判定空间的垂直关系 线线垂直设直线 l1 ,l 2 的方向向量分别是a 、b ，则要证明 l1l2 ，只需证明 ab ，即 a b0 .即：两直线垂直两直线的方向向量垂直。 线面垂直（法一）设直线 l 的方向向量是a ，平面的法向量是u ，则要证明 l，只需证明 a u ，即 au .（法二）设直线 l的方向向量是 a ，平面内的两个相交向量分别为m 、n ，若a m0,则 l.a n0即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直。 面面垂直若平面的法向量为 u ，平面的法向量为 v ，要证，只需证 uv ，即证 u v0 .即

9、：两平面垂直两平面的法向量垂直。4、利用向量求空间角 求异面直线所成的角已知 a, b 为两异面直线， A ， C 与 B ，D 分别是 a, b 上的任意两点， a, b 所成的角为，AC BD则 cos.AC BD 求直线和平面所成的角 定义： 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角求法： 设直线 l 的方向向量为a ，平面的法向量为u ，直线与平面所成的角为， a 与u 的夹角为，则为的余角或的补角的余角 .即有：a usincos.a u 求二面角定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分， 其中的每一部分叫做半平面； 从一条直线出发的两个半平面所组成的

10、图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面二面角的平面角是指在二面角l的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线 AOl , BOl ，则AOB 为二面角l的平面角 .如图：A BlOBOA求法： 设二面角l的两个半平面的法向量分别为m 、n ，再设 m 、n 的夹角为，二面角l的平面角为，则二面角为 m 、n 的夹角或其补角.根据具体图形确定是锐角或是钝角：m n如果是锐角，则 coscos，m n即arccosm n；m n 如果是钝角，则 coscosm n，即arccosm nm n.m n5、利用法向量求空间距离 点 Q 到直线 l距离若 Q 为直线 l外的一点

11、 , P 在直线 l 上， a 为直线 l 的方向向量， b = PQ ，则点 Q 到直线 l 距离为h1(| a | b |)2(a b) 2| a |点 A 到平面的距离若点 P 为平面外一点，点 M 为平面内任一点，平面的法向量为 n ，则 P 到平面的距离就等于MP 在法向量 n 方向上的投影的绝对值 .即 dMP cos n, MPn MPn MPMPnn MP直线 a 与平面之间的距离当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。n MP即 d.n两平行平面,之间的距离利用两平行平面间的距离

12、处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。n MP即 d.n异面直线间的距离设向量 n 与两异面直线a, b 都垂直， Ma, Pb, 则两异面直线a, b 间的距离 d 就是 MP在向量 n 方向上投影的绝对值。n MP即 d.n6、三垂线定理及其逆定理三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直PPO, O推理模式：PAAaPAa, aOAOAa概括为：垂直于射影就垂直于斜线.三垂线定理的逆定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直PO,O推理模式：PAAaAOa, aAP概括为：垂直于斜线就垂直于射影.7、三余弦定理设 AC 是平面内的任一条直线， AD 是的一条斜线 AB 在内的射影， 且 BD AD ，垂足为 D.设 AB 与(AD) 所成的角为1 ， AD 与 AC 所成的角为2， AB 与 AC 所成的角为 则 cos cos 1 cos 2 .BA1D28、 面积射影定理C已知平面内一个多边形的