平面向量知识点与基础练习

1、平面向量一、向量的相关概念1、向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意 不能说向量就是有向线段（向量可以平移） 。 如已知 A （ 1,2），B（ 4,2），则把向量AB按向量a （1,3）平移后得到的向量是_（ 3,0 ）2、向量的表示方法：用有向线段来表示向量. 起点在前，终点在后。有向线段的长度表示向量的大小，用_箭头所指的方向_表示向量的方向.用字母 a， b， 或用AB ，BC ， 表示（1）模：向量的长度叫向量的模，记作|a| 或 | AB |.（2）零向量 ：长度为 0 的向量叫零向量，记作：0 ，注意 零向量的方向是任意的 ；（ 3

2、）单位向量 ：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量( 与 AB 共线的单位向量是AB)；| AB|（4）相等向量 ：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性。（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、 b 叫做平行向量，记作：a b ，规定零向量和任何向量平行。提醒 ：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线 , 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（因为有 0 ) ；三点A、B、C共线AB、AC 共线；（6）相反向量 ：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a

3、的相反向量是a 。零向量的相反向量时零向量。二、向量的线性运算1. 向量的加法：（ 1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.如图，已知向量a，b，在平面内任取一点A，作 ABa， BCb，则向量 AC 叫做 a与 b 的和，记作 a+b，即a+bABBCAC。 ABBCCDDE AECCaba+bBa+bBDbaba三角形法则平行四边形法则特殊情况：A(1 )AaabbababABCCA3 )B( 2)(对于零向量与任一向量a，有 a00aa（ 2）法则： _三角形法则 _， _平行四边形法则 _（ 3）运算律： _ a +b=b+a； _， _（ a+b） +c=a+（ b+c） ._

4、当 a、b 不共线时，2. 向量的减法：（ 1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法.已知向量 a、 b，求作向量 () +b=a+ () +b=a+0=aa bb减法的三角形法则作法：在平面内取一点O，作 OA=a,OB = b,则 BA=ab （指向被减数）即 ab 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量注意：用“相反向量”定义法作差向量，ab = a+(-b) ( )b显然，此法作图较繁，但最后作图可统一ab cab = a + ( b)ab3. 实数与向量的积：（1）定义：实数与向量 a 的积是一个向量，记作 a，规定： | a|=| | a|. 当 0 时， a 的方

5、向与 a 的方向相同；当 0 时， a 的方向与 a 的方向相反；当 =0 时， a=0， a 与 a 平行 .（2）运算律： （ a） =（ ） a， （ + ） a= a+ a， （ a+b） = a+b.特别提醒：1) 向量的加、减及其与实数的积的结果仍是向量。2)向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且仅有一个实数 ，使得 b= a，即 b ab= a（a 0） .例题：1.(2010 ?四川 ) 设点 M是线段 BC的中点 , 点 A 在直线 BC外 , BC 2 =16, | AB AC | | AB AC |,则| AM解析 : 由 | ABAC | | ABAC

6、 |可知 , AB AC, 则 AM为 Rt ABC斜边 BC上的中线 ,因此,|AM |1|BC| 2,选C.2答案 :C2. 已知 ABC中, 点 D 在 BC边上 , 且 CD2DB , CDr ABsAC , 则 r+s 的值是 ()A. 2B. 4C.-3D.033解析 : CD2DB CD2 CB2(AB AC)33 CD2AB2AC ,又 CD r AB sAC ,3322 r=, s, r+s=0. 故选 D.33答案 :D3. 平面向量 a,b 共线的充要条件是 () A.a,b 方向相同B.a,b 两向量中至少有一个为0C. 存在 R, 使 b= aD. 存在不全为零的实数

7、1, 2, 使 1a+ 2b=0解析 :a,b共线时 ,a,b方向相同或相反, 故 A错 .a,b共线时 ,a,b不一定是零向量, 故 B错. 当 b=a 时 ,a,b 一定共线 , 若 b 0,a=0. 则 b= a 不成立 , 故 C 错. 排除 A、 B、 C, 故选 D.答案 :D4. 已知 O?A?B 是平面上的三个点, 直线 AB上有一点C,满足 2ACCB0, 则 OC 等于()A.2OAOBB.OA2OBC.2OA1OBD.1OA 2OB3333解析 : OCOBBCOB2ACOB2(OCOA), OC2OAOB, 故选 A.答案 :A5. 设 D?E?F 分别是 ABC的三边

8、 BC、 CA、 AB上的点 , 且DC2BD , CE2EA, AF2FB , 则 ADBECF 与 BC ()A. 反向平行B. 同向平行C. 不平行D. 无法判断ADABBD12ABBC , BE BC CE BCCA,解析 :332CFCAAFAB,CA3AD BECF5 AB5 CA4 BC333故选 A.5CA)4541(ABBCCBBCBC.33333答案 :A练习题组一向量的基本概念1.给出下列六个命题：两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若 |a| |b|，则 a b；若 AB DC ，则四边形ABCD 为平行四边形；在 ?ABCD 中，一定有AB DC ；若 m n，

9、 n p，则 m p；若 a b， b c，则 a c，其中不正()A2B 3C4确的D 5个数是2下列四个命题，其中正确的个数有对于实数m 和向量 a，b，恒有 m(a b) mamb对于实数m， n 和向量 a，恒有 (m n)a ma na若 ma mb( m R)，则有 ab若 ma na(m，n R， a0)，则有 m nA1 个B2 个C3 个()D4个题组二向量的线性运算3.若 A、B、C、D 是平面内任意四点，给出下列式子：ABDCBCDA；ACBDBCAD ；ACBDDCAB.其中正确的有()A0个B1 个C2 个D3 个4如图所示， D 是 ABC 的边 AB 的中点，则向量 CD ()A BC 21 BAB BC 21BACBC1 BAD. BC 1 BA22c.题组三向量的共线问题7.(2009湖·南高考)对于非零向量a、b，“ a b0”是“ a b”的()A 充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件8