2022年2022年实数所有知识点归纳和专项练习

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点第六章 实数回忆学问：1.判定题10.01 为 0.1 的平方根 .252 的平方根为 5.（）30 和负数没有平方根 .（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4由于1 的平方根为±161 、所以41=±161 .（）4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 5）正数的平方根有两个,它们为互为相反数.（）2.挑选题（ 1）以下各数中没有平方根的数为（）a. 23b.3 3c.a0d. （ a2+1）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22a等于（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下

2、载a. ab. ac.±ad. 以上答案都不对（ 3）假如 aa 0的平方根为± m,那么（）a. a2=±mb.a=±m2c.a =±md.±a =±m4如正方形的边长为a、面积为 s,那么（）a. s的平方根为 ab.a 为 s 的算术平方根c.a=±sd.s=a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点3.填空题（ 1）如 9x2 49=0、就 x= .2如2x1 有意义,就 x 范畴为 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3已知 x 4+4假如 a 0、那么2 xy =0、

3、那么 x= 、y= .a 2 = 、a 2= .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6.3 实数一.无理数1. 无理数的概念无限不循环小数叫做无理数说明： 有理数为指有限小数和无限循环小数,而无理数包括：（ 1）开方开不尽的数,如5 ；（ 2）有特定意义的数,如,及含的数；（ 3）有肯定结构的无限小数,如, 0.080080008；（4）无限不循环小数一个有理数a 与一个无理数b 进行四就运算时, ab,a-b,都为无理数,当a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 0 时, ab,a 、 b 都为无理数,当a 0 时, ab, a 都为有理数；精品学习资料精选学习资料 -

4、- - 欢迎下载bab2. 无理数的特点（ 1）无理数的小数部分位数无限（ 2）无理数的小数部分不循环,不能表示成分数的形式3. 小数的分类精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4. 确定 x 2a a0 中的正数 x 的近似值的方法精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1）确定正数 x 的整数部分；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点依据平方的定义,把x 夹在两个连续的正整数之间,确定其整数部分,例如：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载求 x 25 中的正数x 的整数部分；由于2 253 2 ,即 2 2x23 2 ,所以 2x3

5、,因此精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载小数部分为 2；（ 2）确定 x 的小数部分非常位上的数字；将这两个整数平方和的平均数与a 比较,猜测非常位上数字的取值范畴,如两精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载个整数 2 和 3 的平方和的平均数为2 23226.55 所以 x 的非常位上的数字肯定比3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载小,不妨设x2.2；设误差为k（k 必为一个纯小数,且k 可能为负数）,就 x 2.2k；所以（ 2.2 k） 2 5,所以 4.844.4k k2 5,由于 k 为小数,所以k2 很小,把它舍去,所以 4.844.4k5,所以 k

6、 0.036,所以 x2.2 k 2.20.0362.236留意： 实际估算中,整数部分的数字简单估量,非常位上的数字可以采纳试验精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的方法进行估量,即2.1 24.41 、2.2 24.84、2.325.29、 所以4.84<5<5.29；所以精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.2 2x 22.32 所以2.2x2.3 ,所以非常位上的数字为2；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载二. 平方根1. 算术平方根（ 1）算术平方根的概念：一般地,假如一个正数x 的平方等于a

7、,即 x2a ,那么这个正数x 就叫做 a 的算术平方根,特殊地,的算术平方根为0；（ 2）算术平方根的表示方法：非负数a 的算术平方根记作“a ”或“ 2 a ”,读作“根号a”,其中符号“”读作“二次根号”, a 叫做被开方数, 2 叫做根指数,通常省略不写；例如： 42 16, 16 的算术平方根为4,即164 ；（ 3）算术平方根的性质：正数a 的算术平方根为a , 0 的算术平方根为0,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点即0 0,（3）负数没有算术平方根；（ 4）算术平方根a 具有双重非负数：被开方数为非负数,即a 0,算术平方根a 本身为非负数,即a

8、0；（ 5）懂得算术平方根要留意的三点：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a中存在两个非负概念,即a0, a0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载算术平方根与平方根的相同点为它们的被开方数都必需为非负数,零的平方根与算术平方根都为零；不同点为：任何正实数的平方根都有两个,这两个平方根互为相反数,但为任何正实数的算术平方根只有一个,为正实数平方根中的正值；当二次方根被开方数为含有字母的代数式时,它为否有意义,就需看被开方数为否非负；2. 平方根（ 1）平方根的概念：一般地,假如一个数x的平方等于a,即 x 2a ,那么这个数 x 就叫做 a 的平方根（也叫做二次根式） ；（

9、 2）平方根的性质：一个正数 a 有两个平方根,一个为 a 的算术平方根“ a ”,另一个为“ a ”,它们互为相反数,合起来记作“ a ”,读作“正,负根号 a”,例如： 5 的平方根为 5 ；的平方根为；负数没有平方根；3. 开平方求一个数 a 的平方根的运算,叫做开平方,其中a叫做被开平方；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如： 由于 5 225 ,所以255精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载说明： 由于开平方与平方互为逆运算,因此我们可以利用平方运算来求一个数的平方根或算术平方根,也常用平方运算检验所求得的平方根为否正确,留意被开方数为非负数；4. 平方根与算术

10、平方根的区分与联系精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点（ 1） 区分： 定义不同；个数不同：一个正数有两个平方根,它们互为相反数,而一个正数的算术平方根只有一个；表示方法不同：正数a 的平方根表示为a ,正数 a 的算术平方根表示为a ；取值范畴不同：正数的算术平方根肯定为正数,正数的平方根为一正.一负；（ 2） 联系： 具有包含关系：平方根包含算术平方根,算术平方根为平方根中的正的那个；存在条件相同：平方根和算术平方根都只有非负数才有；0 的平方根与算术平方根都为0；5. 两个重要的性质精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1）a 2a ,即当 a0

11、时,a 2a ,当 a0 时,a2a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2） a) 2aa0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6.懂得平方根要把握以下三点：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1）由 ax 20中可知a为一个非负数,因此在实数范畴内,只有正数和精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载零才有平方根,负数没有平方根；（ 2）非零的两个数互为相反数时,它们的平方为同一个正数,因此一个正数的平方根有两个,它们互为相反数；零的平方根为零；（ 3）平方与开平方互为逆运算,因此,可以用平方运算来求一个

12、数的平方根,也可以用平方运算来检验一个数为不为另一个数的平方根；三. 立方根1.立方根的概念（ 1）. 一般的,假如一个数x 的立方等于 a,即 x 3a ,那么这个数就叫做a 的立精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点方根（也叫三次方根） ；（ 2） . 立方根的性质：正数的立方根为正数,负数的立方根为负数,0 的立方根为 0 ；（ 3.） 立方根的表示方法：每个数都只有一个立方根,用符号“3 a ”表示,读作 “三次根号 a”,其中 a 为被开方数, 3 为根指数,要留意这里的根指数不能省略；（ 4） . 两个互为相反数的立方根之间的关系：依据立方根的定义可知,如

13、x3 a ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就x3 a ,由于3 a3a ,即 3a3 a ,也就为说,求一个负数的立方根时,只精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载要先求出这个负数的肯定值的立方根,然后再取它的相反数即可,即三次根号内的负号可以移到根号外面；2.开立方求一个数 a 的立方根的运算叫做开立方；开立方与立方互为逆运算；例如把64 开立方,就为要求64 的立方根,那么什么数的立方等于64 呢,由于 4 364 ,所以 64 的立方根为 4,即 3 644 ；3. 立方根与平方根的区分与联系（1） ） 区分：（1）用根号表示平方根时,根指数为2 可以省略,而用根

14、号表示立方根时,根指数3 不能省略；（2）平方根只有非负数才有,而立方根任何数都有, 且每个数都只有一个立方根,如8 没有平方根,但有立方根2 ；（ 3）正数的平方根有两个,而正数的立方根只有一个,如2 的平方根为2 ,而立方根只有3 2 ；（2） ） . 联系：（ 1）都与相应的乘方运算互为逆运算；（ 2）都可以归结为非负数的非负方根来讨论,平方根主要通过算术平方根来讨论,而负数的立方根也可转化为正数的立方根来讨论,即3a3 a ；（ 3）0 的立方根和平方根都为0；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点4. 立方根中小数点的移动规律被开方数的小数点每移动三位,立方

15、根的小数点就向相同方向移动一位；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如： 3133111 3 a ,就3 1.3311.1 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5. 两个重要的性质精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1） 3a3 a ,如 3273 273精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2） 3a 33 a3a ,如 38 33 838精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载四. 确定无理数近似值的方法（估算法）1. 当被开方数在1 至 1000 以内,可用乘方与开方为互逆运算来确定无理数

16、的整数部分,然后依据所要求的误差大小确定小数部分；2. 当被开方数为正的纯小数或比1000 大时,利用方根与被开方数的小数点之间 的规律,移动小数点的位置,将其转化到被开方数1 至 1000 以内进行估算,即平方根中的被开方数的小数点向右（或向左）每移动2n 位,其结果的小数点向右（或向左）移动 n 位,立方根中的被开方数的小数点向右（或向左）移动3n 位,其结果的小数点向右（或向左）移动n 位；五. 无理数大小比较的常见方法1. 估算法：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 如 ： 比 较103 与21 的 大 小 , 因 为 3 2104, 所 以 01031 , 所 以精品学

17、习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1031 ；222. 求差法精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如ab0 ,就ab ,如ab0 ,就ab ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点3. 平方法把含有根号的两个无理数同时开方,依据平方后的大小进行比较,例如：26精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载和 33 的大小,由于 26 224 , 33 227 ,所以 2633精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4. 移动因式法精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 a0 , b0时,如 ab ,就ab ,因此可以把根号外的因式移到根

18、号内；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载六.实数1：实数（ 1）实数的概念：有理数和无理数统称为实数；（ 2）实数的分类：按实数的性质符号分类：实数可分为正实数.零.负实数；按定义分类：实数可分为有理数和无理数；3无理数与有理数的区分与联系： 区分：（ a）无理数为无限不循环小数,而有理数为有限小数或无限循环小数；（ b）一切有理数都可以表示成分数；无理数不行以表示成分数；联系：（ a）无理数和有理数都为实数；（ b）无理数与有理数在运算中可以相互转化；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点2：实数的有关概念和性质（ 1）有关概念实数的相反数.肯定值.倒数

19、的意义与有理数的相反数.肯定值.倒数的意义为相同的,即有理数中的概念在实数范畴内仍适用；相反数： a 与a 表示任意一对相反数,如5与5 互为相反数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载倒数：假如a 表示一个非零数,那么a 与1 互为倒数（ a 0）,如7 与 1互精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a7为倒数；（ 2）有关性质 与 b 互为相反数a+b=0 与 b 互为倒数ab=1 a0互为相反数的两个数的肯定值相等,即aa正数的倒数为正数,负数的倒数为负数,零没有倒数3：实数和数轴上的点的一一对应关系数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示；反过来,每一个实数都可以在数轴

20、上找到表示它的点；4：实数大小的比较有理数大小的比较法就在实数范畴内仍适用；在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数,两个负数肯定值大的反而小；可依据有理数大小的比较法就和不等式的性质等方法比较实数的大小；对于二次根式的大小的比较,可依据前面老师的讲座中所介绍的方法如：作差法.作商法.平方法.倒数法等进行比较；5：实数的运算法就和运算律有理数的运算法就和运算律同样适用于实数,包括运算次序；实数有加.减.乘.除.乘方.开方等运算,混合运算的次序为先乘方.开方,再乘除,最终加减,同级运

21、算依据从左到右的次序进行,有括号要先算括号里的；6：无理数的乘法.除法法就及运算精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（1） ）a bab a0、 b0 ,abab a0、 b0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2） ） a ba a b0、 b0 ,a ba a b0、 b0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3）最简无理数必需同时满意以下条件：被开方数的因数为整数；被开方数中不含能开得尽方的因数；分母中不含根号；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载留意：无理数的运算结果必需为最简无理数,如1223

22、,1333精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载7：实数中的非负数的四种形式及性质精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1）形式： a0 ； a20 ；a0a0 ；a 中, a0 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）性质：非负数有最小值零；有限个非负数之和仍旧为非负数；如精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点几个非负数之和等于0,就每个非负数都等于0；8：实数中的无理数的常见类型（ 1）全部开不尽的方根,如2 ；（ 2）圆周率 及含有 的数；如 3 1 ；（ 3）看似循环,但实质上不循环的无限小数；如：0.12345678910

23、111213,0.1010010001；留意：带根号的数不肯定为无理数,如4 为有理数；不带根号的数也可能为无理数,如 等；9：分母有理化将分母中的二次根式化去,叫做分母有理化；两个含有二次根式的代数式相乘； 假如它们的积不含有二次根式；我们就说这两个代数式互为有理化因式；如a 与精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a ,36 与36 互为有理化因式,分母有理化时,采纳分子.分母同乘以分母精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的有理化因式的方法,例如2233336 ,又如13363366 3636 ,3精品学习资料精选学习资料 -

24、 - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载一般的,axby 与 axby 互为有理化因式,ab 与ab 互为有理化因式,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ab 与 ab 互为有理化因式；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载留意：（ 1）ab 与ab 不为互为有理化因式；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2 ）有理化因式不唯独,如ab 与ab 互为有理化因式,ab 与精品学习资料精选学习资料 - -

25、- 欢迎下载ba 也互为有理化因式；七. 解题方法指导：（一）关于平方根与算术平方根常用的解题方法有：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点1. 配方法：在含有字母的代数式或比较复杂的数字式进行开平方时,适当添项.拆项后,使原先多项式中一部安排成完全平方式,使问题得以简化；2. 特殊值法：对某些数字问题,假如先对其特殊情形进行分析,往往可以发觉解决的方法,在关于平方根的题目中特殊为对含有未知数的代数式,依据题设条件取一些特殊值,从而求解；常取的特殊值有 0.1 等值；3. 运用二次方根被开方数与算术平方根的非负性（1）如a0且a0,就可得出 a0（ 2）如有限个非负数

26、的和为零,就这些非负数均为零；（二）关于立方根常用的解题方法1. 利用立方根本身的性质求解；2. 配方化简：将要开立方的代数式配成立方形式,便可化简求解；3. 特殊值法：对含有未知数的代数式开立方的题目,有时可用到取特殊值的方法,如将未知数取0 或 1 等等来进行分析.比较从而求解；4. 利用开立方运算与立方运算互为逆运算的关系进行解题；（三）关于实数常用的解题方法1. 利用非负数的概念及性质来解题：（ 1）几类常见的非负数有：一个实数的偶次幂.实数的肯定值.算术根.数轴上原点和原点右边的点所表示的数；（ 2）非负数的性质：（ a）有限个非负数的和与积仍为非负数；（ b）如有限个非负数的和为零

27、,就每一个加数都必需为零；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点（ c）最小的非负数为零；（ d）没有最大的非负数；（ e）非负数大于一切负数；2. 对一个数为有理数的证明：常证这个数能表示成几个有理数的和.差.积.商形式；3. 要证一个数为无理数常用反证法,即假设这个数为有理数,再推出冲突；4. 利用逆向思维的方式：从要求或要证的结果入手,溯源求解,其中可采纳各种转换方法,如等量代换.配方法.参数法等；八.学问拓展1. n 次方根的概念：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载假如 x na（ n为大于1的整数）,那么x叫做 a的n次方根；精品学习资料精选学习

28、资料 - - - 欢迎下载当n为奇数时, x叫做a的奇次方根；当n为偶数时, x叫做a的偶次方根；平方根与立方根为最基本的偶次方根与奇次方根；2. n 次方根的性质：（ 1）正数的偶次方根有两个,它们互为相反数；（ 2）负数没有偶次方根；（ 3）正数的奇次方根为一个正数；（ 4）负数的奇次方根为一个负数；（ 5）零的 n 次方根为零 ；实数专题训练一.填空题：. 2 的倒数为；.4 的平方根为；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点. 27 的立方根为；.3 2 的肯定值为；.2004 年我国外汇储备3275.34亿美元,用科学记数法表示为亿美元；精品学习资料精选学习

29、资料 - - - 欢迎下载.比较大小：1 1 ；23精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载.近似数 0.020 精确到位,它有个有效数字；.如 n 为自然数,那么 12n12n 1；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载.如实数 a.b 满意 |a2| b1 20,就 ab；2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载10.在数轴上表示a 的点到原点的距离为3,就 a3；11.已知一个矩形的长为3cm,宽为 2cm,试估算它的对角线长为； （结果保留两个有效数字）12.罗马数字共有7 个： i（表示 1）,v （表示 5）,x （表示 10）, l （表示 50）,c（表示

30、 100）,d（表示 500）, m （表示 1000）,这些数字不论位置怎样变化,所表示的数目都为 不变的,其计数方法为用“累积符号”和“前减后加”的原就来计数的：如 ix 1019,vi 516,cd500100 400,就 xl , xi ；二.挑选题：（每题 4 分,共 24 分）.以下各数中为负数的为（）a . 3b. 32c. 23d.|2|精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载.在 , 1 ,72 ,3.14,2 , sin30°, 0 各数中,无理数有（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3a .2 个b.3 个c.4 个d.5 个 .肯定值大于1 小于 4 的整数的和为（）a .0b.5c. 5d.10.以下命题中正确的个数有（）实数不为有理数就为无理数 aa a121 的平方根为 ±11在实数范畴内,非负数肯定为正数两个无理数之和肯定为无理数a .1 个b.2 个c.3 个d.4 个 .天安门广场的