重要但常不为人知道的几何定理

1、阿基米德折弦定理：AB和BC是O。的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），BC>AB ,M是弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD。从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。角平分线定理 定理1 :角平分线上的点到这个角两边的距离相等。该命题逆定理成立：在角的部到一个 角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。定理2 :三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。该命题逆定理 成立：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么 该点与对角顶点的连线是三角形的一条

2、角平分线。xv=uy燕尾定理因此图类似燕尾而得名，是五大模型之一，是一个关于三角形的定理（如图ABC，D、E、F为BC、CA、AB上点，满足 AD、BE、CF交于同一点0）。S八ABC 中，SSOB： SmOC=S ABDO： SZCDO=BD ： CD ；同理，SAOC： SA30C=SAAFO： SaBFO=AF ： BF;SABOC： SABOA=S ACEO： SAEO=EC ： AE。推论：共边比例定理：四边形ABCD （不一定是凸四边形），设AC,BD相交于E,则有BE ：DE=S AABC ： 5八ADC。此定理是面积法最重要的定理.典型例题： 如图三角形ABC的面积是10平方厘

3、米，AE=ED，BD=2DC，则阴影部分的面积是答案:4解析：过D作DM |BF交AC于M （如图）因为BD=2DC，因为AE=DE，所以 ABE的 面积与ADBE的面积相等，所以阴影部分的面积为 DBE的面积+ AAEF的面积，即三角形AFB 的面积，由 DM |BF 知道 ADMC 相似 CBF 所以 CM : CF=CD ： CB=1 ： 3，即 FM=CF,因为EF是ADM的中位线，AF=MF，所以AF=AC，由此即可求出三角形AFB的面积，即阴 影部分的面积.BDC解：过D作DM|BF交AC于M （如图）因为BD=2DC , 因为AE=DE，所以 ABE的面积与A DBE的面积相等

4、所以阴影部分的面积DBE的面积+ AAEF的面积DM|BF 所以 DMC 相似 CBF 所以 CM： CF=CD ： CB=1 ： 3 即 FM=CF 因为EF是ADM的中位线，AF=MF , 所以AF=AC 所以4ABF的面积10X=4 （平方厘米）即阴影部分的面积（即 DBE的面积加A AEF的面积）等于4平方厘米 答：阴影部分的面积是4平方厘米，故答案为：4 .共角定理：若两三角形有一组对应角相等或互补，则它们的面积比等于对应两边乘积的比。分角定理：在4ABC中，D是边BC上异于B,C或其延长线上的一点，连结 AD，则有BD/CD= (sin / BAD/sin / CAD) * (AB

5、/AC)。角定理：在A ABC中，D是BC上的一点，连结AD。那么sin / BAD/AC+sin / CAD/AB=sin / BAC/AD。逆定理：如果 sin /BAD/AC+sin ZCAD/AB=sin ZBAC/AD，刃B么 B,D,C 三点共线。角定理定理的推论：在定理的条件下，且/ BAD= /CAD，即AD平分/ BAC，贝U B D C共线的充要条件是：2cos ZBAD/AD=1/AB+1/AC中线定理(pappus定理)，又称阿波罗尼斯定理， 是欧氏几何的定理，表述三角 形三边和中线长度关系。定理容：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方的和的2

6、倍。即，对任意三角形 ABC，设I是线段BC的中点，AI为高线，则有如下关系：AB2+AC2=2BI2+2AI 2或作 AB2+AC 2=BC2/2+2AI 2重心、定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的2/3。(三角形的重心是各中线的交点，)共边定理设直线AB与PQ交于M，则S apab/S z.qab=PM/QM (有一条公共边的三角形叫做共边三角 形)共边定理：设直线AB与PQ交于点M，贝U S APAB/S AQAB=PM/QM证明：分如下四种情况，分别作三角形高，由相似三角形可证证法 2 ： S APAB=(S APAM-S APMB)=(S APAM/S APMB+1

7、)X S APMB=(AM/BM+1)XSAPMB(等高底共线，面积比=底长比)同理，S AQAB=(AM/BM+t) S AQMB所以，SAPAB/S AQAB=S APMB/S AQMB=PM/QM(等高底共线，面积比=底长比)定理得证！特殊情况：当PB/ AQ时，易知APAB与AQAB的高相等，从而SAPAB=S AQAB , 反之 , SAPAB= AQAB，贝 U PB / AQp射景乡定理，又称欧几里得定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的 比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。是数学图形计算的重要 定理。概述图中，在Rt A AB

8、C中，/ABC=90 ° BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下:BD2=AD -DCAB2=AC ADBC2=CD AC由古希腊著名数学家、几何原本作者欧几里得提出。射影定理的推广证明欧几里得提出的面积射影定理规定平面图形射影面积等于被射影图形的面积乘以该图形所在平面与射影面所夹角的余弦。（即COSO =S射影/S原）。”cos 6 二altitudeuon ngrial设二面角M - AB - N的度数为a,在平面M上有一条射线AC，它和棱AB所成角为3,和平面N所 成的角为Y,贝U sin Y=sin a sin 3 （如图）若已知二面角其中一个半平面某直线与二面角的棱所成的角

9、，以及该直线与另一半平面所成的角，则 可以求该二面角的正弦值。折叠角公式（又名：三余弦定理）：设A为面上一点，过A的斜线AO在面上的射影为AB , AC为面上的一条直线，那么/ OAC, Z BAG, Z OAB三角的余弦关系为：cos Z OAC=cos Z BACX cos Z OAB （ Z BAG 和 Z OAB 只能是锐角）通俗点说就是，平面a的一条斜线I与a所成角为O 1, a的直线m与I在a上的射影I夹角为02 I与m所成角为O,贝y cos O =cos O 1*cos O又-叫最小角定理 或爪子定理，可以用于求平面 斜线与平面直线成的最小角.蝴蝶定理(Butterfly Th

10、eorem):设M为圆弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点X和Y,贝yM是XY的中点。坎迪定理”，不为中点去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，称为时满足：1/MY1/MX=1/MQ-1/MP,这对2, 3均成立。该定理实际上是射影几何中一个定理的特殊情况，有多种推广：M,作为圆弦是不必要的，可以移到圆外。1 )在椭圆中帼!如图一，椭圆的长釉A1、A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上,中心为 M(o, r) (b>r>0 )。(I)写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率(II )直线y=k1x交椭圆于两点C (x1,y1 ) ,D(x2 ,

11、 y2) (y2>0 );直线y=k2x交椭圆于两点 G (x3 , y3), H ( x4, y4)( y4>0 )。求证：k1 x1 x2/(x1 +x2)=k2x3x4/(x3+x4)(III )对于(H)中的C, D, G, H，设CH交X轴于点P, GD交X触于点Q。求证：I OP I = I OQ I。(证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形)从x向AM和DM作垂线，设垂足分别为X和X”。类似地，从丫向BM和CM作垂线，设垂足分别为丫和Y'设：k1 x1 x2/(x1 +x2)=k2x3x4/(x3+证明过程图片UV WYY9 <VJW.USF:；常器.

12、 h底匕舄町-iXDJTjtw .VW1fArjrp声尸 (inp j? mwF 址骑前 IfX 川” PRV 嘘 b Ifr Hx4)为式，两边同取倒数，得为1/k1x2+1/k1x 仁 1/k2x4+1/k2x3'设：x1 x4/(k1 x1 -k2x4)=-x2x3/(k1 x2-k2x3)为 式，两边同取倒数，得 k1/x4- k2/x 仁 k2/x2-k1/x3 ，移项得 k2/x1 +k2/x2=k1 /x3+k1 /x4将两边同乘以k1 k2，即得k2/x1 +k2/x2=k1 /x3+k1 /x4它与完全一样。这里利用两式同时变形的方法可以较容易实现目的，有分析、有综合

13、，有思维，有 运算。思路的选择有赖于对式子特征的观察联想。纵观这道题的题目特征及解答过程，我们看到了用代数方程方法处理几何问题的作用与威力。2)在圆锥曲线中通过射影几何，我们可以非常容易的将蝴蝶定理推广到普通的任意圆锥曲线(包括椭圆，双曲线，抛物 线，甚至退化到两条相交直线的情况)。圆锥曲线C上弦PQ的中点为M,过点M任作两弦AB, CD,弦AD与BC分别交PQ于X, 丫,则M为XY之中点。而通过投影变换可以非常容易证明这个定理。射影几何里面关于投影变换有一个重要结论，对于平面上任意两个圆锥曲线C1 ,C2.任意指定C1部一个点A1和C1上面一个点B1，另外任意指定C2部一个点A2和C2上面一

14、个点B2,存在一个唯一投影变换将曲线C1变换到C2而且A1变换到A2,B1变换到B2.由此对于本题，我们可以通过投影变换将C1变换成一个圆M，而将弦PQ的中点M变换成这个圆的圆心。在此变换以后，弦AB和CD都是圆M的直径而且四边形ACBD是圆M接矩形，PQ也是一条直 径，有对称性显然得出投影变换后M为X,Y的中点。又因为变换前后M都是线段PQ的中点，我们可以得出在直线PQ上这个变换是仿射变换，所以变换前M也是XY的中占。 / I、3）在平行四边形中在平行四边形中，M为对角线AB与CD点。4）坎迪定理去掉中点的条件，结论变为一个一般关于向量的比例式，成为坎迪定理，这对2，3均成立。（切割线定理圆

15、幕定理是平面几何中的一个定理，是相交弦定理、切割线定理及割线定理 推论）的统一,例如如果交点为P的两条相交直线与圆0相交于A、B与C、D，则PA-PB=PC- PD。圆恭定理的所为情况图I :相交弦定理。如图，AB、CD为圆0的两条任意弦。相交于点P,连接AD、BC,由/ B= / D，同理/ A= / C,于/B与/ D同为弧AC所对的圆周角，因此由圆周角定理知： 所以八尸4DAFCB。FXxPB = PCx ?。图n：割线定理。如图，连接AD、BC。可知/ B= ZD，又因为/ P为公共角,所以有4PAD*，同上证得PAxPB = PCx 尸。图川：切割线定理。如图，连接 AC、AD。/P

16、AC为切线PA与弦AC组成的弦切角，因此 有ZPBC=ZD，又因为/ P为公共角，所以有r.C,易证 7八心;图W: PA、PC均为切线，贝1J Z PAO= ZPCO=直角，在直角三角形中： OC=OA=R , PO为公因此APAOAAPCO所以pa=pc，所以PA2 -尸O综上可知，X#士学二卢* X是普遍成立的。塞瓦定理指在4ABC任取一点0,延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，贝V(BD/DC) X(CE/EA) X(AF/FB)=1。即是 BD*CE*AF=DC*EA*FB梅涅劳斯定理：AFBD CE.a X 1当直线交A ABC三边所在直线BCr AC, AB于点D E时，

17、FB DC EA 一推论在AABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是入=8!_也、p =CM/MA、v =AN/NB。于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是人yv二1。(注意与塞瓦定理相区分，那里是 入yv )=1切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，连心线平分两条切线的夹角。如图中，切线长AB=AC , OA平分/ BAC。垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件，就可以推出其他三条结论。称为知二推三：平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所

18、对的两条弧）；平分弦（不是直径）；垂直于弦；经过圆心。托勒密定理：圆接四边形中，两条对角线的乘积（两对角线所包矩形的面积）等于两组对边乘积之和（一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和）已知：圆接四边形 ABCD ，求证：AC BD=AB CD+AD -BC -证明：如图1，过C作CP交BD于P,使/仁Z2，又/3=Z4, .,./ACOs/BCP .得AC ：BC=AD : BP , AC - BP=AD BC 。又/ ACB= ZDCP ,/5= /6, aaCB aZDCP .得 AC ：CD=AB : DP , AC-DP=AB- CD 。 + 得 AC（BP+DP）=AB CD+AD BC .即AC-BD=AB- CD+AD BC .广义托勒密定理：设四边形 ABCD四边长分别为a,b,c,d,两条对角线长分别为m、n,则有：m2*n2=a2*c2+b2*d2-2abcd*cos （A+C）1 .任意凸四边形ABCD，必有AC- BDC AB- CD+AD BQ当且仅当ABCD四点共圆时取等号。2 .托勒密定理