指数函数经典例题(答案)

1、指数函数1 .指数函数的定义：函数y ax(a 0且a 1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是 R2 .指数函数的图象和性质：xx在同一坐标系中分别作出函数y=2x, y= 1 , y=10x, y= 的图象.xx我们观察y=2x, y= 1, y=10x , y= 图象特征，就可以得到210y ax(a 0且a 1)的图象和性质。a>10<a<1图 象65:12f1 11J0-(T1性 质(1)定义域：R(2)值域：(0, +oo)(3)过点(0, 1),即 x=0 时，y=1(4)在R上是增函数(4)在R上是减函数指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函

2、数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨.1 .比较大小例 1 已知函数 f (x) x2 bx c 满足 f (1 x) f (1 x),且 f (0) 3,则 f(bx)与f(cx)的大小关系是 .分析：先求b, c的值再比较大小，要注意bx, cx的取值是否在同一单调区问 内.解： f(1 x) f (1 x),函数f(x)的对称轴是x 1.故 b 2 ,又 f (0) 3 , c 3 .函数f(x)在 8上递减，在1, 8上递增.若 x> 0,则 3x>2x>1 , f (3x) &

3、gt; f (2x);若 x 0 ,则 3x 2x 1 , . f(3x) f(2x).综上可得 f(3x)> f(2x),即 f (cx) > f(bx).评注：比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中 问量等.对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论.2 .求解有关指数不等式例2已知(a2 2a 5)3x (a2 2a 5)1 x ,则x的取值范围是 :分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围.解：, a2 2a 5 (a 1)2 4> 4 1 ,函数y (a2 2a 5)x在(8,训上是增函数，3x 1 x,解得x 1. ；x的取值

4、范围是.44评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的 指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论.3.求定义域及值域问题例3求函数y VT产 的定义域和值域.解：由题意可得1 6x 2 > 0 ,即6x201,x 2&0,故x&2.,函数f (x)的定义域是 8,2.令 t 6x 2 ,则 y H ,又" 2 , - x 2< 0. . 0 6x 2 0 1 ,即 0 t 0 1 .0< 1 t 1 ,即 0 0 y 1 .评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响.4.最值问题例4函数

5、y a2x 2ax 1（a 0且a 1）在区间1,1上有最大值14,则a的值是.分析：令t ax可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t的取值范围.解：令t ax,则t 0,函数y a2x 2ax 1可化为y （t 1）2 2,其对称轴为t 1 .当 a 1 时，: x1,1 ,.WaxWa,即 l&t&a. aa,当 t a 时，ymax （a 1）2 2 14 .解得a 3或a 5 （舍去）；当0 a 1 时，: x 11 , a & ax & 工，即 a 0 t & 二， aa21 1-t 时，ymax - 12 14 ,aa解彳4 a 1

6、或a 1 （舍去），；a的值是3或；353评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等.5 .解指数方程例5解方程3x 2 32 x 80.解：原方程可化为9 （3x）2 80 3x 9 0 ,令t 3x（t 0）,上述方程可化为9t2 80t 9 0,解得t 9或t 1 （舍去），. 3x 9,. x 2,经检验原方程的9解是x 2 .评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根.6 .图象变换及应用问题例6为了得到函数y 9 3x 5的图象，可以把函数y 3x的图象（）.A.向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度B.向右平移9个单位长

7、度，再向下平移5个单位长度C.向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度D.向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度分析：注意先将函数y 9 3x 5转化为t 3x2 5,再利用图象的平移规律进 行判断.解：: y 9 3x 5 3x 2 5, 把函数y 3x的图象向左平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度，可得到函数y 9 3x 5的图象，故选(C).(1)(2)(3)(4)(5)y-,此时函数评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法， 利用其直观性实现数形 结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、 伸缩、对称等.习题1、比较下列各组数的大小：1丫/

8、1Y若事,比较J与"；若】，比较/与产；若"，比较小与*;若上，且小二产，比较a与b；若见北(。念门"0，且炉=胡，比较a与b.(3)由N，因厘3° ，故6这样矛盾.-，停 > 1(2)由必，故方.又。>0巴立1- >1(4)应有厘a .因若*之上，贝冲 .又五>口 ，故口 , 又因,故.从而厘f / ,这与已知蓊二"小£<1 - >1(5)应有.因若虞工方，则方.又苫工0 ,故 ,这样有.又因工。，且84°)，故.从而,这与已知广二"矛盾.小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇

9、偶性、图象来求解.2,曲线3a 分别是指数函数y.二y三/ , y=小和”*的图象, 则即瓦jd与1的大小关系是(). a < <c <d(的 <3<1 <c(CQ h <a < <c <d('.：-'分析：首先可以根据指数函数单调性，确定d,d5。<分<1 ,在尸轴右侧令冗=i ,对应的函数值 由小到大依次为耳口©工 ,故应选).小结：这种类型题目是比较典型的数形结合的题目，第(1)题是 由数到形的转化，第(2)题则是由图到数的翻译，它的主要目的是提 高学生识图，用图的意识. 求最值3,求下列函

10、数的定义域与值域1(1)y =2子 (2)y=4x+2x+1+1.1,一Z >>、.、一“1解：(1)x-3 w0, y = 2x 3 的止义域为 x | xC R且 x*3.又丰x 310, .277w1,1.y = 2x 3 的值域为 y | y>0 且 yw1.(2)y = 4x+2x+1+1 的定义域为R. v 2x>0,. y = 4x+2x+1+1 = (2 x) 2+2 - 2x+1 =(2 x+1)2>1.y = 4x+2x+1+1 的值域为 y I y>1.4,已知-1&x&2,求函数f(x)=3+2 3x+1-9x的最大值

11、和最小值解：设 t=3x,因为-1 <x<2,所以 1t 9,且 f(x)=g(t)=-(t-3)2+12，故当 t=33即x=1时，f(x)取最大值12,当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。5、设三2 ,求函数尸=4,-3 2F 的最大值和最小值.分析：注意到矛=（?）* =，设2T二衰，则原来的函数成为 刀=）笳一%+ 52,利用闭区间上二次函数的值域的求法，可求得函数的最值.解：设2工二匕,由。三七2知，1 - M44后二£ 二（然尸1 322v = 1a 3l； = 51 毕,函数成为2邑乩引，对称轴,h .11.32-3.3+5=1H /"二3（

12、14,故函数最小值为22 ,因端点 : 1较第=4距对称-12-31-f5 = 2-轴”二?远，故函数的最大值为22 .6. （9分）已知函数y a2x 2ax 1（a 1）在区间1,1上的最大值是14,求a的值.1.解：y a 2a 1（a 1）,换兀为 y t 2t 1（ t a）,对称轴为 t 1.当a 1 , t a ,即x=1时取最大值，略解得a=3 （a= -5舍去）7 .已知函数""小一如F （良0且口 = 1）一一3（1）求/的最小值；（2）若/, =一一才 求K的取值范围.时，/有最小值为4三户，解得y，2当时，*2。；当0C时脸2x0.28 （10分）（

13、1）已知f（x） m是奇函数，求吊数m的值；3x 1（2）画出函数y |3x 1|的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|3X-解？有一解？有两解?解：(1)常数m=1(2)当k<0时，直线y=k与函数y |3x1|的图象无交点，即方程无解;当k=0或k 1时，直线y=k与函数y |3x 11的图象有唯一的交点，所以方程有一解；当0<k<1时，直线y=k与函数y |3x 1|的图象有两个不同交点，所以方程有 两解。9 .若函数2 -1是奇函数，求厘的值.解：” 为奇函数，二力二一(1),1 1 + 4 =-a 即 212 f ,、1I121r1则 ?-1 2 - 11-2百

14、 1-2", .210.已知9x-10.3x+9<0,求函数y= (-) x-1-4 (二)，2的最大值和最小值42解：由已知得(3x) 2-10 - 3x+9<0 得(3x-9) (3x-1) <0 1<3x<9 故 0& x<2而 y=(l)x-1-4 (1)x+2= 4 - (1) 2x-4 ( 1) x+2 4222.1、，1令1= (-) x (- t 1)24贝U y=f (t) =4t2-4t+2=4 (t-) 2+12当 t=1 即 x=1 时，ymin=1 2当 t=1 即 x=0 时，ymax=224y(1产11 .已知

15、 4,求函数 2 的值域.解：由 一彳 得2fM2”打，即/十工三小2工，解之得4 - = 1 ,(1尸士己了之占-<y<A6于是222,即2,故所求函数的值域为c x2 2x 212 .(9分)求函数y 2的定义域，值域和单调区问定义域为R值域(0, 8。(3)在(-8, 1上是增函数 在1, +00)上是减函数。x2 3x 2.一一 113求函数y= 1 的单调区间.3分析 这是复合函数求单调区间的问题可设y= - ,u =x2-3x+2 ,其中y=- 为减函数33 u = x2-3x+2的减区间就是原函数的增区问(即减减一增)u = x2-3x+2的增区间就是原函数的减区问(

16、即减、增一减)u解：设y= 1 ,u=x2-3x+2,y关于u递减，3当xC(-oo, 3)时，u为减函数，2.y关于x为增函数；当xC |,+8)时，u为增函数，y关于x为减函数.a x I _ 厂14 ,已知函数 f(x) = a_1 (a>0 且 awl).ax 1(1)求f(x)的定义域和值域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)讨论f(x)的单调 性.解：(1)易得f(x)的定义域为 x I x e R.设y=a，解得ax=-LJax>0当且仅当-U>0时，方程有解.a 1y 1y 1解-1>0 得-1<y<1.y 1 f(x)的值域为 y | -1

17、 <y<1.xxf(-x)=工一=aT=-f(x)且定义域为R, ；f(x)是奇函数. a 11 axf(x)(a 1) 212ax 1 ax 110当a>1时，ax+1为增函数，且ax+1>0.22 ax 1二 为减函数，从而f(x) = 1-二 J =11为增函数.2。当0<a<1时，类ax 1ax 1ax 1x似地可得f(x) = av为减函数.ax 1215、已知函数 f x =a- 二J (aC R), 21(1) 求证：对任何aR, f (x)为增函数.(2)若f (x)为奇函数时，求a的值。(1)证明：设X1<X2f(X2)-f (xi)

18、2(2x2 2x1)(1 2均)(12x2)02x4x 1(1)求f(x)在1, 1上的解析式;(2)判断f(x)在(0, 1)上的单调性;故对任何aR, f (x)为增函数.(2) Q x R,又f (x)为奇函数f(0) 0 得到 a 1 0。即 a 1 16、定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期为2,且x (0,1)时，f(x)(3)当 为何值时，方程f(x)=在x 1,1上有实数解.解(1) .xCR上的奇函数 f(0) 0又二匕为最小正周期f(1) f(2 1) f( 1)f(1) 0x一.9 x 9 x(-1,。)，则一xC (0, 1), f ( x) - f (x)4 x 14x 12x4x 1x (-10)(2)4x 破0<x1<x2<1f(x) 0 x -1,0,12x,7T-x(2x0,12x2)(1 2x1 x2)=4 1(4x1 1)(4 2 1)f(x1)(2x1 2x2) (2xx 2x2 2 2x1)(4x11)(4x21)二在(0, 1)上为减函数。(3) ; f(x)在(0, 1)上为减函数。2 1 . f(1) f(x) f(0) 即 f(x) (-,1)5