2019-2020学年浙江省杭州市高级中学高二上学期期末数学试题(解析版)

1、2019-2020学年浙江省杭州市高级中学高二上学期期末数学试题一、单选题1已知直线在轴和轴上的截距相等，则的值是（ ）a1b-1c-2d2【答案】a【解析】试题分析：由题意得，直线的截距式方程为，所以，故选a【考点】直线的截距式方程的应用2边长为的正方形，其水平放置的直观图的面积为（）ab1cd8【答案】c【解析】正方形的边长为，故面积为8，而原图和直观图面积之间的关系，故直观图的面积为8×= ，故选c3已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ）abcd【答案】b【解析】方程，化为表示焦点在轴上的椭圆，可得，解得，实数的取值范围为，故选b.4若实数，满足约束条件，则的最

2、大值等于（ ）a2b1c-2d-4【答案】a【解析】作出可行域，平移目标函数，找到取最大值的点，然后可求最大值.【详解】根据题意作出可行域如图：平移直线可得在点a处取到最大值，联立可得,代入可得最大值为2，故选a.【点睛】本题主要考查线性规划，作出可行域，平移目标函数，求出最值点是主要步骤，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.5与直线x+y+3=0平行，且它们之间的距离为的直线方程为（ ）axy+8=0或xy1=0bx+y+8=0或x+y1=0cx+y3=0或x+y+3=0dx+y3=0或x+y+9=0【答案】d【解析】试题分析：设所求直线方程为x+y+m=0，运用两平行直线的距离公式，解关

3、于m的方程，即可得到所求方程解：设所求直线方程为x+y+m=0，则由两平行直线的距离公式可得d=3，解得m=9或3则所求直线方程为x+y3=0或x+y+9=0，故选d【考点】两条平行直线间的距离6已知双曲线一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（ ）abcd【答案】a【解析】先求得渐近线的方程，利用两条直线垂直斜率相乘等于列方程，结合求得双曲线离心率.【详解】由题可知双曲线的渐近线方程为，则，即，又，所以.故选a.【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线以及离心率的求法，考查两条有斜率的直线相互垂直时，斜率相乘等于，属于基础题.7一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：abef；

4、ab与cm成60°的角；ef与mn是异面直线；mncd.其中正确的是()abcd【答案】d【解析】【详解】将展开图还原为正方体，由于efnd，而ndab，efab；显然ab与cm平行；ef与mn是异面直线，mn与cd也是异面直线，故正确，错误.8过抛物线的焦点作直线交抛物线于，若，则的斜率是（ ）abcd【答案】c【解析】试题分析：由题意得，抛物线准线方程为，如图所示，当直线的倾斜角为锐角时，分别作点作，垂足为，过点作交于点，则，因为，所以，在中，由，可得，因为轴，所以，此时；当直线的倾斜角为钝角时，可得，故选c【考点】直线与抛物线的综合应用9如图，已知三棱锥，记二面角的平面角为，直

5、线与平面所成的角为，直线与所成的角为，则（ ）abcd【答案】a【解析】不妨设三棱锥d-abc是棱长为2的正四面体，取ab中点e，dc中点m，ac中点m，连结de、ce、mn、en，过d作doce，交ce于o，连结ao，则dec=，dao=，mne=，由此能求出结果【详解】不妨设三棱锥d-abc是棱长为2的正四面体，取ab中点e，dc中点m，ac中点m，连结de、ce、mn、en，过d作doce，交ce于o，连结ao，则dec=，dao=，mne=， ， ， ，取bc中点e，连结de、ae，则debc，aebc，又deae=e，bc平面aed，bcad，=90°故选a【点睛】本题考查

6、二面角、线面角、异面直线所成角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题10已知是椭圆上的三个点，直线经过原点，直线经过椭圆右焦点，若，且，则椭圆的离心率是（ ）abcd【答案】b【解析】设椭圆的另一个焦点为e，令|cf|=m，|bf|=|ae|=4m， |af|=2a-4m，在直角三角形eac中，4m2+（2a-4m +m）2=（2a-m）2，化简可得a=3m，在直角三角形eaf中，4m2+（2a-4m）2=（2c）2，即为5a2=9c2，可得e=故选b点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，

7、b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.二、填空题11边长为2的等边三角形绕其一边所在的直线旋转一周得到一个几何体，该几何体的体积是_，该几何体的表面积是_【答案】，【解析】【详解】试题分析：如图所示，绕所在的直线旋转一周，得到两个相同的圆锥，因为等边三角形的边长为，所以圆锥的高为，底面半径为，母线长为所以该几何体的表面积为；该几何体的体积为【考点】旋转体的定义及表面积与体积的计算12已知点在曲线上，则的取值范围是_，的最小值为_.【答案】； . 【解析】根据题意，得到曲线表示圆

8、的一半，画出图形，根据表示点与点连线的斜率，结合图形即可得出结果；记是曲线上任意一点，令，根据图像求出最小值，即可得出的最小值.【详解】因为曲线可化为，表示圆的一半，画出图形如下：式子表示点与点连线的斜率，根据图像可得：半圆上的点与点连线的斜率最小为，半圆上的点与点连线的斜率最大为；所以的取值范围是；记是曲线上任意一点，令，则，所以表示直线在轴截距的倍，由图像可得：当直线经过点时，该直线在轴截距最小，此时；又点在曲线上，所以的最小值等于.故答案为：；.【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，只需结合图像，以及所求式子的几何意义即可求解，属于常考题型.13若是双曲线的左，右焦点，点是双曲线上一点

9、，若，则_，的面积_.【答案】 【解析】根据双曲线的概念得到若，则，因为，而当p点落在轴上时才会有，故舍掉最终因为三角形 是直角三角形，故 故答案为(1). (2). .14设p、a、b、c是一个球面上的四个点，pa、pb、pc两两垂直，且，则该球的体积为_.【答案】【解析】将三棱锥补成长方体，从而得到外接球的球心为长方体的中心，再利用长方体的体对角线的平方等于三条棱的平方和，即可求得球的半径，从而得到球的体积.【详解】p、a、b、c是一个球面上的四个点，pa、pb、pc两两垂直，将三棱锥补成长方体，则三棱锥的外接球的球心与长方体的球心为同一个，都是长方体体对角线的中点，设球的半径为，.故答案

10、为：.【点睛】本题考查三棱锥与球的切接问题、球的体积计算，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意补形法的应用.15如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，分别为的中点，则直线与平面所成角的正切值为_；异面直线与所成角的余弦值是_【答案】，【解析】【详解】试题分析：由两两垂直，分别以所在的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，所以，其中平面的一个法向量为，所以与平面所成角的正弦值为，所以；又向量与所成角的余弦值为，又，所以异面直线与所成角的余弦值是【考点】空间向量的运算及空间角的求解16定长是3的线段ab的两端点在抛物线上移动，m是线段ab的中点，则m到y轴距离的最小值是_

11、.【答案】【解析】由抛物线定义可求得，根据可求得的最小值，由所求距离为可确定所求距离的最小值.【详解】设，由抛物线方程知焦点，准线方程为：由抛物线定义知：，（当且仅当三点共线时取等号）即，解得：中点到轴距离为，故所求最小值为故答案为：【点睛】本题考查直线与抛物线综合应用中的距离最值问题的求解，关键是能够熟练应用抛物线的定义得到的长，根据三角形两边之和大于第三边可确定三点共线时取最小值.17如图，在正方体中，是中点，在上，且，点是侧面（包括边界）上一动点，且平面，则的取值范围是_.【答案】【解析】先作出平面平面，结合题意，得到点的轨迹是线段，分别求出点与点，点重合时，的值，即可得出结果.【详解】

12、作出平面平面，则，因为平面，所以点的轨迹是线段，因此，当点运动到点处时，取得最小值，此时；当点运动到点处时，取得最大值，此时；所以的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题主要考查由线面平行求角的问题，熟记线面平行的性质即可，属于常考题型.三、解答题18已知直线与直线的交点为（1）直线过点，且点和点到直线的距离相等，求直线的方程；（2）直线过点且与正半轴交于两点，的面积为4，求直线的方程【答案】（1）或；（2）【解析】【详解】试题分析：首先解方程组得到交点的坐标，由点和点到直线的距离相等可知直线ab与直线平行或过ab中点，由此可求得直线方程；（2）设出直线的截距式方程，由点的坐标和三角形面积可求得

13、关于截距的方程组，解方程组求得截距值，从而得到直线方程试题解析：（1）直线与直线联立方程可得交点；点和点到直线的距离相等，所以或直线过ab中点，所以直线方程为或（2）由题可知，直线的横、纵截距存在，且，则，又过点，的面积为4，解得，故方程为，即【考点】直线方程19如图，在三棱锥中，平面，.（1）求证：平面；（2）求二面角的大小.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）根据题中条件，证明，再由线面垂直的判定定理，即可证明结论成立；（2）在平面内作于，过点作于，连结，根据线面垂直的判定定理与性质定理，得到，推出即为二面角，再由题中数据，即可求解.【详解】（1）因为平面，所以，因为，所以；又，所

14、以，即；又，且平面，平面，所以平面；（2）因为平面，所以平面平面，在平面内作于，则平面，所以；过点作于，连结，因为，且平面，平面，所以平面，因此，则即为二面角，在中，在中，所以，从而二面角的大小为.【点睛】本题主要考查证明线面垂直，求二面角的大小，熟记线面垂直的判定定理与性质定理，以及二面角的几何求法即可，属于常考题型.20已知圆的半径为3，圆心在轴正半轴上，直线与圆相切.（1）求圆的标准方程；（2）过点的直线与圆交于不同的两点，而且满足，求直线的方程.【答案】(1) （x2）2+y2=9 (2) xy3=0，17x7y21=0，x=0【解析】试题分析：（1）可设圆心坐标为，由直线与圆相切，知

15、圆心m到切线的距离等于半径，可求得，从而得圆的标准方程；（2）注意分类讨论，当直线斜率不存在时，代入求出a、b两点坐标，检验是否符合题意；当直线斜率存在时，设斜率为，得直线方程为，代入圆的方程，由韦达定理得，代入已知等式可求得的值，从而得直线方程试题解析：（i）设圆心为m（a，0）（a0），直线3x4y+9=0与圆m相切=3解得a=2，或a=8（舍去），所以圆的方程为：（x2）2+y2=9 （ii）当直线l的斜率不存在时，直线l：x=0，与圆m交于a（0，），b（0，），此时+=x1x2=0，所以x=0符合题意 当直线l的斜率存在时，设直线l：y=kx3，由消去y，得（x2）2+（kx3）2=

16、9，整理得：（1+k2）x2（4+6k）x+4=0.（1）所以由已知得：整理得：7k224k+17=0， 把k值代入到方程（1）中的判别式=（4+6k）216（1+k2）=48k+20k2中，判别式的值都为正数，所以，所以直线l为：，即xy3=0，17x7y21=0综上：直线l为：xy3=0，17x7y21=0，x=0 点睛：在直线与圆相切时，一般都用圆心到切线的距离等于圆的半径来求解，这样可以简化计算在解决直线与圆（二次曲线）相交问题时，一般设交点坐标为，把直线方程与圆的方程联立后得一元二次方程，然后利用韦达定理得出，再由交点满足的条件得出坐标的关系，代入可得参数值这就是解析几何中的“设而不

17、求”思想21已知等腰梯形中（如图1），为线段的中点，、为线段上的点，现将四边形沿折起（如图2）（1）求证：平面；（2）在图2中，若，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）先连接，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；（2）在图2中，过点作，垂足为，连接，证明平面平面，得到点在底面上的投影必落在直线上，记为点在底面上的投影，连接，得出即是直线与平面所成角，再由题中数据求解，即可得出结果.【详解】（1）连接，因为等腰梯形中（如图1），所以与平行且相等，即四边形为平行四边形；所以；又为线段的中点，为中点，易得：四边形也为平行四边形，所以；将四边形沿折起后，平行关

18、系没有变化，仍有：，且，所以翻折后四边形也为平行四边形；故；因为平面，平面，所以平面；（2）在图2中，过点作，垂足为，连接，因为，翻折前梯形的高为，所以，则，；所以；又，所以，即，所以；又，且平面，平面，所以平面；因此，平面平面；所以点在底面上的投影必落在直线上；记为点在底面上的投影，连接，则平面；所以即是直线与平面所成角，因为，所以，因此，故；因为，所以，因此，故，所以.即直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题主要考查证明线面平行，以及求直线与平面所成的角，熟记线面平行的判定定理，以及线面角的求法即可，属于常考题型.22椭圆，右焦点为，是斜率为的弦，的中点为，的垂直平分线交椭圆于，两点，的中点为.