★初中数学竞赛试题精选

1、数学竞赛专项训练（9）11、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位数可以被（）整除。a. 111b. 1000c. 1001d. 1111解：依题意设六位数为，则abcabca105b104c103a102b10ca102（1031）abcabcb10（1031）c（1031）（a103b10c） （1031）1001（a103b10c） ，而 a103b10c 是整数，所以能被 1001 整除。故选 c方法二：代入法2、若，则 s 的整数部分是_2001119811198011s解：因 1981、19822001 均大于 1980，所以，又902219801

2、9801221s1980、19812000 均小于 2001，所以，从而知22219022200120011221ss 的整数部分为 90。3、设有编号为 1、2、3100 的 100 盏电灯，各有接线开关控制着，开始时，它们都是关闭状态，现有 100 个学生，第 1 个学生进来时，凡号码是 1 的倍数的开关拉了一下，接着第二个学生进来，由号码是 2 的倍数的开关拉一下，第 n 个（n100）学生进来，凡号码是 n 的倍数的开关拉一下，如此下去，最后一个学生进来，把编号能被100 整除的电灯上的开关拉了一下，这样做过之后，请问哪些灯还亮着。解：首先，电灯编号有几个正约数，它的开关就会被拉几次，

3、由于一开始电灯是关的，所以只有那些被拉过奇数次的灯才是亮的，因为只有平方数才有奇数个约数，所以那些编号为 1、22、32、42、52、62、72、82、92、102共 10 盏灯是亮的。数学竞赛专项训练（9）24、某商店经销一批衬衣，进价为每件 m 元，零售价比进价高 a%，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的 b%出售，那么调价后每件衬衣的零售价是 （）a. m(1+a%)(1-b%)元b. ma%(1-b%)元c. m(1+a%)b%元d. m(1+a%b%)元解：根据题意，这批衬衣的零售价为每件 m（1a%）元，因调整后的零售价为原零售价的 b%，所以调价后每件衬衣的零售价为

4、m（1a%）b%元。应选 c5、如果 a、b、c 是非零实数，且 a+b+c=0，那么的所有可能|abcabcccbbaa的值为（）a. 0b. 1 或-1c. 2 或-2d. 0 或-2解：由已知，a，b，c 为两正一负或两负一正。当 a，b，c 为两正一负时：；0|1|1|abcabcccbbaaabcabcccbbaa所以，当 a，b，c 为两负一正时：0|1|1|abcabcccbbaaabcabcccbbaa所以，由知所有可能的值为 0。|abcabcccbbaa应选 a6、在abc 中，a、b、c 分别为角 a、b、c 的对边，若b60，则的值为（bcabac）a. b. 2122

5、c. 1d. 2解：过 a 点作 adcd 于 d，在 rtbda 中，则于b60，所以 db，ad2ccabcab数学竞赛专项训练（9）3。在 rtadc 中，dc2ac2ad2，所以有（a）2b2c2，整理得c232c43a2c2=b2ac，从而有1)(22222bbcabacbcabcabcbaabacbcbcabac应选 c7、设 ab0，a2+b2=4ab，则的值为（baba）a. b. c. 2d. 336解：因为(a+b)2=6ab，(a-b)2=2ab，由于 ab0，得，abbaabba26，故。3baba应选 a8.已知 a1999x2000，b1999x2001，c1999

6、x2002，则多项式 a2+b2+c2-ab-bc-ca 的值为（）a. 0b. 1c. 2d. 332) 1() 1(21211)()()(21222222222原式，又，解：accbbaaccbbacabcabcba9、已知 abc0，且 a+b+c0，则代数式的值是（abccabbca222）a. 3b. 2c. 1d. 0数学竞赛专项训练（9）43)()()()()()(ccbbaabcaccbabcabaabcbaacbcabcacb解：原式10、某商品的标价比成本高 p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过 d%，则 d 可用 p 表示为解：设

7、该商品的成本为 a，则有 a(1+p%)(1-d%)=a，解得p100p100d11、已知实数 z、y、z 满足 x+y=5 及 z2=xy+y-9，则 x+2y+3z=_解：由已知条件知（x+1）y=6，(x1)y=z29，所以 x1，y 是 t26tz29=0的两个实根，方程有实数解，则（6）24（z29）4z20，从而知z=0，解方程得 x+1=3，y=3。所以 x+2y+3z812.气象爱好者孔宗明同学在 x（x 为正整数）天中观察到：有 7 个是雨天；有 5 个下午是晴天；有 6 个上午是晴天；当下午下雨时上午是晴天。则 x 等于（）a. 7b. 8c. 9d. 10选 c。设全天下

8、雨 a 天，上午晴下午雨 b 天，上午雨下午晴 c 天，全天晴 d 天。由题可得关系式 a=0，b+d=6，c+d=5，a+b+c=7，得 2d-a=4，即 d2，故b=4，c=3，于 xa+b+c+d=9。13、有编号为、的四条赛艇，其速度依次为每小时、千米，1v2v3v4v且满足0，其中，为河流的水流速度（千米/小时） ，它们在河1v2v3v4v水v流中进行追逐赛规则如下：（1）四条艇在同一起跑线上，同时出发，、是逆流而上，号艇顺流而下。 （2）经过 1 小时，、同时掉头，追赶号艇，谁先追上号艇谁为冠军，问冠军为几号？ 数学竞赛专项训练（9）5 解：出发 1 小时后，、号艇与号艇的距离分别

9、为441)(vvvvvvsiii水水（）各艇追上号艇的时间为44444421)()(vvvvvvvvvvvvvtiiiiii水水对有，即号艇追上号艇用的时间最小，号是冠1v2v3v4v321ttt军。14.有一水池，池底有泉水不断涌出，要将满池的水抽干，用 12 台水泵需 5 小时，用 10台水泵需 7 小时，若要在 2 小时内抽干，至少需水泵几台？解：设开始抽水时满池水的量为，泉水每小时涌出的水量为，水泵每小时抽水量为xy，2 小时抽干满池水需 n 台水泵，则znzyxzyxzyx2210771255由得，代入得： zyzx535nzzz21035，故 n 的最小整数值为 23。2122n答

10、：要在 2 小时内抽干满池水，至少需要水泵 23 台15.某宾馆一层客房比二层客房少 5 间，某旅游团 48 人，若全安排在第一层，每间 4 人，房间不够，每间 5 人，则有房间住不满；若全安排在第二层，每 3 人，房间不够，每间住 4 人，则有房间住不满，该宾馆一层有客房多少间？解：设第一层有客房间，则第二层有间，由题可得x)5( x)5(448)5(35484xxxx由得：，即xx54848412539 x数学竞赛专项训练（9）6由得：，即)5(44848)5(3xx117 x原不等式组的解集为11539 x整数的值为。x10 x答：一层有客房 10 间。16、某生产小组开展劳动竞赛后，每

11、人一天多做 10 个零件，这样 8 个人一天做的零件超过 200 个，后来改进技术，每人一天又多做 27 个零件，这样他们 4 个人一天所做零件就超过劳动竞赛中 8 个人做的零件，问他们改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的几倍？解：设劳动竞赛前每人一天做个零件x由题意)10(8)2710(4200)10(8xxx解得1715 x是整数16xx（1637）163.3故改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的 3.3 倍。初中数学竞赛专项训练（初中数学竞赛专项训练（5）（方程应用）一、选择题：1、甲乙两人同时从同一地点出发，相背而行 1 小时后他们分别到达各自的终点 a 与b，若仍从原地出发，互换彼此的目

12、的地，则甲在乙到达 a 之后 35 分钟到达 b，甲乙的速度之比为（）a. 35b. 43c. 45d. 342、某种产品按质量分为 10 个档次，生产最低档次产品，每件获利润 8 元，每提高一个档次，每件产品利润增加 2 元，用同样工时，最低档次产品每天可生产 60 件，提高一个档次将减少 3 件，如果获利润最大的产品是第 r 档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量增加） ，那么 r 等于（）a. 5b. 7c. 9d. 103、某商店出售某种商品每件可获利 m 元，利润为 20%（利润） ，若这种商售价进价进价数学竞赛专项训练（9）7品的进价提高 25%，而商店将这种商品的售价提高到每件

13、仍可获利 m 元，则提价后的利润率为（）a. 25%b. 20%c. 16%d. 12.5%4、某项工程，甲单独需 a 天完成，在甲做了 c（cb，若两个三角形的最小内角相等，则的值等于（）baa. b. c. d. 213 215 223 225 7、在凸 10 边形的所有内角中，锐角的个数最多是（）a. 0b. 1c. 3d. 58、若函数与函数的图象相交于 a，c 两点，ab 垂直 x 轴于 b，)0(kkxyxy1则abc 的面积为（）a. 1b. 2c. kd. k2二、填空题1、若四边形的一组对边中点的连线的长为 d，另一组对边的长分别为 a，b，则 d 与的大小关系是2ba 2、

14、如图 8-5，aa、bb分别是eab、dbc 的平分线，若 aabbab，则bac 的度数为3、已知五条线段长度分别是 3、5、7、9、11，将其中不同的三个数组成三数组，比如（3、5、7） 、 （5、9、11）问有多少组中的三个数恰好构成一个三角形的三条边的长4、如图 8-6，p 是矩形 abcd 内一点，若pa3，pb4，pc5，则 pd图 8-6abdcp图 8-4abcdadcfcbeabbdc图 8-5ea数学竞赛专项训练（9）215、如图 8-7，甲楼楼高 16 米，乙楼座落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午 12 时太阳光线与水平面的夹角为 30，此时求如果两楼相距 20 米，那么

15、甲楼的影子落在乙楼上有多高？如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的距离应当是米。6、如图 8-8，在abc 中，abc60，点 p 是abc 内的一点，使得apbbpccpa，且 pa8，pc6，则 pb16米20米abcd甲乙图 8-7图 8-8bacp数学竞赛专项训练（9）22三、解答题1、如图 8-9，ad 是abc 中 bc 边上的中线，求证：ad（ab+ac）212、已知一个三角形的周长为 p，问这个三角形的最大边长度在哪个范围内变化？3、如图 8-10，在 rtabc 中，acb90，cd是角平分线，debc 交 ac 于点 e，dfac 交bc 于点 f。求证：四边形 ced

16、f 是正方形。cd22aebf4、从 1、2、3、4、2004 中任选 k 个数，使所选的 k 个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（这里要求三角形三边长互不相等） ，试问满足条件的 k 的最小值是多少？数学竞赛专项训练（数学竞赛专项训练（8）参考答案）参考答案一、选择题1、如图过 c 作 cead 于 e，过 d 作 dfpb 于 f，过 d 作dgce 于 g。 显然 dgefab5，cddg，当 p 为 ab 中点时，有21cddg5，所以 cd 长度的最小值是 5。2、如图延长 ab、dc 相交于 e，在 rtade 中，可求得ae16，de8，于是 beaeab9，在 rtbe

17、c 中，3可求得 bc3，ce6，于是 cddece2333bccd5。33、由已知 ad+ae+ef+fdef+eb+bc+cfad+ae+fdeb+bc+cf11)(21cdbcabadabdc图 8-9acfbde图 8-10abcdpefg60abcdeadcbefhg数学竞赛专项训练（9）23efbc，efad，fcdfebae设，kfcdfebae141161kkcdkkdfkkabkkae，ad+ae+fd3+解得 k413131416kkkkkk111313kk作 ahcd，ah 交 bc 于 h，交 ef 于 g，则 gfhcad3，bhbcch9-36，54abaebheg

18、52454bheg5393524gfegef4、假设 、 三个角都是锐角，即 90，90，90，也就是a+b90，b+c90，c+a90。2（a+b+c）270，abc135与 abc180矛盾。故 、 不可能都是锐角，假设、 中有两个锐角，不妨设 、 是锐角，那么有 ab90，ca90，a(abc)b，故a 是abc 的最小角，设aq，则以 b,b,a 为三边之三角形的最小角亦为 q，从而它与abc 全等，所以dcb，acdq，因有公共底角b，所以有等腰adc等腰cbd，从而得，即，令，bcbdabbcbbaabbax 即得方程，解得。选 b。012 xx215 bax7、c。由于任意凸多边

19、形的所有外角之和都是 360，故外角中钝角的个数不能超过 3个，又因为内角与外角互补，因此，内角中锐角最多不能超过 3 个，实际上，容易构造出内角中有三个锐角的凸 10 边形。qabcd数学竞赛专项训练（9）248、a。设点 a 的坐标为（） ，则，故abo 的面积为，又因为yx，1xy2121xyabo 与cbo 同底等高，因此abc 的面积2abo 的面积1。二、填空题1、如图设四边形 abcd 的一组对边 ab 和 cd 的中点分别为 m、n，mnd，另一组对边是 ad 和 bc，其长度分别为 a、b，连结 bd，设 p 是 bd 的中点，连结mp、pn，则 mp，np，显然恒有，2a2

20、b2bad当 adbc，由平行线等分线段定理知 m、n、p 三点共线，此时有，所以与的大小关系是。2badd2ba )2(2dbabad或2、12。设bac 的度数为 x，abbb bbd2x，cbd4xabaaaabab acbd4xaab)180(21x，于是可解出 x12。18044)180(21xxx3、以 3，5，7，9，11 构成的三数组不难列举出共有 10 组，它们是（3，5，7） 、（3，5，9） 、 （3，5，11） 、 （3，7，9） 、 （3，7，11） 、 （3，9，11） 、 （5，7，9） 、（5，7，11） 、 （5，9，11） 、 （7，9，11） 。由 3+5

21、9，3+511，3+711 可以判定（3，5，9） 、 （3，5，11） 、 （3，7，11）这三组不能构成三角形的边长，因此共有7 个数组构成三角形三边长。4、过 p 作 ab 的平行线分别交 da、bc 于 e、f，过 p 作 bc的平行线分别交 ab、cd 于 g、h。设agdha，bgchb，aebfc，decfd，则222222222222dpadcbbpdbcpcaap，于是，故，2222dpbpcpap184532222222bpcpapdpdp325、设冬天太阳最低时，甲楼最高处 a 点的影子落在乙楼的 c 处，那么图中 cd 的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高度，设 ceab

22、于点 e，那么在aec 中，aec90，ace30，ec20 米。abdcpmnabdcpefghaabbcd数学竞赛专项训练（9）25所以 aeec（米） 。6 .11332030tan20tanacecdebab-ae16-11.64.4（米）设点 a 的影子落到地面上某一点 c，则在abc 中，acb30，ab16 米，所以（米） 。所7 .27316cotacbabbc以要使甲楼的影子不影响乙楼，那么乙楼距离甲楼至少要 27.7 米。6、提示：由题意apbbpccpa120，设pbc，abc60则abp60，bappbc，abpbpc，bp2appcpcbpbpap3448 pcapb

23、p三、解答题1、证明：如图延长 ad 至 e，使 adde，连结 be。bddc，adde，adcedbacdebdacbe在abe 中，aeabbe，即 2adabacad（abac）212、答案提示：在abc 中，不妨设 abca+bca+b+c2c即 p2cc，2p另一方面 ca 且 cb2ca+b3c。3pcpcba因此23pcp3、证明：acb90，debc，dfac，deac，debc，从而ecfdecdfc90。cd 是角平分线dedf，即知四边形 cedf 是正方形。在 rtaed 和 rtdfb 中，debcadebrtaedrtdfb，即 dedfaebfcddedf，bf

24、dedfae22bfaedfdedfdecd2222216米20米abcd甲乙eabdce数学竞赛专项训练（9）264、解：这一问题等价于在 1，2，3，2004 中选 k1 个数，使其中任意三个数都不能成为三边互不相等的一个三角形三边的长，试问满足这一条件的 k 的最大值是多少？符合上述条件的数组，当 k4 时，最小的三个数就是 1，2，3，由此可不断扩大该数组，只要加入的数大于或等于已得数组中最大的两个数之和，所以，为使k 达到最大，可选加入之数等于已得数组中最大的两数之和，这样得：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597共 16

25、个数，对符合上述条件的任数组，a1，a2an显然总有 ai大于等于中的第i 个数，所以 n16k1，从而知 k 的最小值为 17。初中数学竞赛专项训练初中数学竞赛专项训练（9）（面积及等积变换）一、选择题：1、如图 9-1，在梯形 abcd 中，abcd，ac 与 bd 交于 o，点 p 在 ab 的延长线上，且 bpcd，则图形中面积相等的三角形有（）a. 3 对b. 4 对c. 5 对d. 6 对2、如图 9-2，点 e、f 分别是矩形 abcd 的边ab、bc 的中点，连 af、ce，设 af、ce 交于点g，则等于（）abcdagcdss矩形四边形a. b. c. d. 6554433

26、23、设abc 的面积为 1，d 是边 ab 上一点，且，若在边 ac 上取一点 e，abad31使四边形 decb 的面积为，则的值为（）43eacea. b. c. d. 213141514、如图 9-3，在abc 中，acb90，分别以 ac、ab 为边，在abc 外作正方形 acef 和正方形 aghb，作 ckab，分别交 ab 和 gh 于 d 和 k，则正方形 acef 的面积 s1与矩形agkd 的面积 s2的大小关系是（）padcbo图 9-1abcdefg图 9-2abcdhgkfe图 9-3数学竞赛专项训练（9）27a. s1s2b. s1s2c. s1s2d. 不能确定

27、，与的大小有关abac5、如图 9-4，四边形 abcd 中，a60，bd90，ad8，ab7，则 bc+cd 等于（）a. b. 5c. 4d. 3363336、如图 9-5，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设 a1，则正方形的面积为（）a. b. 253c. d. 2537 215 2)21 ( 7、如图 9-6，矩形 abcd 中，aba，bcb，m 是 bc 的中点，deam，e 为垂足，则 de（）a. b. 2242baab224baabc. d. 2242baab224baab8、o 为abc 内一点，ao、bo、co 及其延长线把abc 分成六个小三角形，它们的面积

28、如图 9-7 所示，则 sabc（）a. 292b. 315c. 322d. 357二、填空题1、如图 9-8，梯形 abcd 的中位线 ef 的长为 a，高为 h，则图中阴影部分的面积为2、如图 9-9，若等腰三角形的底边上的高等于 18cm，腰上的中线等于 15cm，则这个等腰三角形的面积等于3、如图 9-10，在abc 中，ceeb12，deac，若abc 的abcd图 9-4abaabb图 9-5ababcdem图 9-6abcdefo84xyy40y30y35y图 9-7图 9-8aedcfbamcdbg图 9-9acebd图 9-10abqrdcep图 9-11数学竞赛专项训练（9

29、）28面积为 s，则ade 的面积为4、如图 9-11，已知 d、e 分别是abc 的边 bc、ca 上的点，且bd4，dc1，ae5，ec2。连结 ad 和 be，它们相交于点 p，过点 p 分别作pqca，prcb，它们分别与边 ab 交于点 q、r，则pqr的面积与abc 的面积之比为5、如图 9-12，梯形 abcd 中，adbc，adbc25，affd11，beec23，ef、cd 延长线交于 g，用最简单的整数比来表示，sgfdsfedsdec6、如图 9-13，p 是矩形 abcd 内一点，若pa3，pb4，pc5，则 pd三、解答题1、如图 9-14，在矩形 abcd 中，e

30、是 bc 上的点，f 是 cd 上的点，sabesadfs矩形 abcd。31求：的值。cefaefss2、一条直线截abc 的边 bc、ca、ab（或它们的延长线）于点 d、e、f。求证：1fbafeacedcbdabcdgfe图 9-12abcdp图 9-13adfceb图 9-14abcdef图 9-15数学竞赛专项训练（9）293、如图 9-16，在abcd 中，p1、p2、p3pn-1是 bd 的 n 等分点，连结 ap2，并延长交 bc 于点 e，连结 apn-2并延长交 cd 于点 f。求证：efbd设abcd 的面积是 s，若 saefs，求 n 的值。834、如图 9-17，

31、abc 是等腰三角形，c90，o 是abc 内一点，点 o 到abc各边的距离等于 1，将abc 绕点 o 顺时针旋转 45得到a1b1c1，两三角形的公共部分为多边形 klmnpq。证明：akl，bmn，cpq 都是等腰直角三角形。求证：abc 与a1b1c1公共部分的面积。dbacefp1p2pn-2pn-1图 9-16图 9-17abcc1a1b1lmknqpo数学竞赛专项训练（7）30数学竞赛专项训练（数学竞赛专项训练（9）参考答案）参考答案一、选择题：1、c。acdbcpbcdbcpbcdacdbocaodabdabcssssssssss，2、d。连结 ac，有，则3:1:abcag

32、css。abcdabcdabcdacdagcagcd32212131s矩形矩形矩形四边形sssss3、b。如图联结 be，ades41431设，则xaccexabe1s414131sxxade，31eace4、a。解：，因为，agadsacs221，acbrtadcrt所以，即，又因为 abag，abacacadabadac2所以，所以应选 a。221sagadacs5、b。解：如图延长 ad，bc 相交于 e，在 rtabe 中，可求得 ae14，于是 deae，ad=6，又be，在 rtcde 中，可求得3cd2，ce4，于是33bcbece，bc+cd5。336、a。解：由右图与左图的面

33、积相等，得，已知，所以有2)()(bababb1a，即，解得，从而正方形2) 1() 12(bbb012bb251baedbcabcde60数学竞赛专项训练（7）31的面积为。2537)253() 1(22b7、a。解：由adeabm，得 de222242)21(baabbaabamabad8、b。，即cdoacobdoabossdoaoss30354084xy又，即ceobcobdeabossoeboss357084xy，解之得84211234yxyx5670yxsabc84+40+30+35+70+56315。二、填空题1、。解：延长 af 交 dc 的延长线于 m，则abfmcf，ahs

34、21阴影affm，sabfscmf。s阴影sdfm，affmsadfsmdf，。abcds21梯形阴影sahsabcd梯形ahs21阴影2、144。解：作 mnbc 于 n，ammc，mnad，dnnc。，在 rtbmn 中，bm15，mn9。bn12，而921admnbddc2dn，3dn12，dn4，bc16，sabc=adbc1816144。21213、sades。解：ceeb12，设 cek，则 eb2k，deac，92而 bebc2k3k23，sbdes2)32(ssbde94deac，则 sade sbdes21becebdad21bdadssbdeade2192数学竞赛专项训练（

35、7）324、。解：过点 e 作 efad，且交 bc 于点 f，则，所以108940052eacefdcf。因为 pqca，所以75255cdfd33287544bfbdbebpeapq于是。因为 pqca，prcb，所以qpracb，33140pq因为pqrcab 故。1089400)3320()(22capqsscabpqr5、126。解：设 ad2，则 bc5，fd1，ec3gfgefdec13，gffe12，sgfdsfedgffe12显然有 sefdscedfdec13，sgfdsfedsced126。6、3。解：过点 p 作 ab 的平行线分别交 da、bc 于 e、f，过 p 作

36、 bc 的平行线分2别交 ab、cd 于 g、h。设agdha，bgchb，aebfc，decfd，则，222222222222cpaddpcbbpdbcaap，于是，故，2222dpbpcpap184532222222bpcpapdpdp3。2三、解答题1、设 bca，cdb，由，得。bea，则abcd31矩形ssabeab31beb2132eca。同理 fcb，。3131abba181313121scef，abcdadecsaecd32)(21梯形ababaabssaef1853118132ssadfcefaecd梯形。15181185ababsscefaef2、答案提示：连结 be、ad

37、，并把线段之比转化为两三角形面积之比；再约分。数学竞赛专项训练（7）333、解：因 adbc，abdc，所以dapbepabpfdpnn2222，从而有22ap2222222222nbpdpepndpbpfpapnnnn，即所以 efbdfpapfpapnn2222由可知，所以，同理可证22nabdfsnsafd21snsabe21显然，所以，22ndcdf241nndcdfdcdfdcdcfc从而知，已知所以有snnsecf2)24(21,83ssaef，即snnsnss2)24(212128383)2(2)4(22122nnn解方程得 n6。4、证明：连结 oc、oc1，分别交 pq、np

38、 于点 d、e，根据题意得coc145。点 o 到 ac 和 bc 的距离都等于 1，oc 是acb 的平分线。acb90oceocq45同理oc1doc1n45oecodc190cqpcpqc1pnc1np45cpq 和c1np 都是等腰直角三角形。bnmc1np45a1qkcqp45b45a145bmn 和a1kq 都是等腰直角三角形。b1mlbmn90，akla1kq90b145a45b1ml 和akl 也都是等腰直角三角形。在 rtodc1和 rtoec 中，odoe1，coc145ococ1cdc1e-122pqnp2（-1）2-2，cqcpc1pc1n（-1）222222数学竞赛专

39、项训练（7）34223)22(212cpqs延长 co 交 ab 于 hco 平分acb，且 acbcchab，chcooh+12acbca1c1b1c1（1）2222223)22(212abcsa1qbn（2+）（2-2）（2）2222kqmn2221)2(212bmnsak（2+）（2）22221)2(212akls22411)223)223(s-s-s-saklbmncpqabcklmnpq（多边形s初中数学竞赛专项训练（初中数学竞赛专项训练（10）（三角形的四心及性质、平移、旋转、覆盖）一、填空题：1、g 是abc 的重心，连结 ag 并延长交边 bc 于 d，若abc 的面积为 6c

40、m2，则bgd 的面积为（）a. 2cm2b. 3 cm2acbe图 10-1数学竞赛专项训练（7）35c. 1 cm2d. cm2232、如图 10-1，在 rtabc 中，c90，a30，c 的平分线与b 的外角的平分线交于 e 点，则aeb 是（）a. 50b. 45c. 40d. 353、在abc 中，acb90，a20，如图 10-2，将abc 绕点 c 按逆时针方向旋转角 到acb的位置，其中 a、b分别是 a、b 的对应点，b 在 ab上，ca交ab 于 d，则bdc 的度数为（）a. 40b. 45c. 50d. 604、设 g 是abc 的垂心，且 ag6，bg8，cg10，

41、则三角形的面积为（）a. 58b. 66c. 72d. 845、如图 10-3，有一块矩形纸片 abcd，ab8，ad6，将纸片折叠，使 ad 边落在ab 边上，折痕为 ae，再将aed 沿 de 向右翻折，ae 与 bc 的交点为 f，cef的面积为（）a. 2b. 4c. 6d. 86、在abc 中，a45，bca，高 be、cf 交于点 h，则 ah（）a. b. c. ad. a21a22a27、已知点 i 是锐角三角形 abc 的内心，a1、b1、c1分别是点 i 关于 bc、ca、ab 的对称点，若点 b 在a1b1c1的外接圆上，则abc 等于（）a. 30b. 45c. 60d

42、. 908、已知 ad、be、cf 是锐角abc 三条高线，垂心为 h，则其图中直角三角形的个数是（）a. 6b. 8c. 10d. 12二、填空题1、如图 10-4，i 是abc 的内心，a40，则cib2、在凸四边形 abcd 中，已知abbccdda2231，且abc90，则abcdab图 10-2abcddaebcadebcf图 10-3acibd图 10-4abcded图 10-5数学竞赛专项训练（7）36dab 的度数是3、如图 10-5，在矩形 abcd 中，ab5，bc12，将矩形 abcd 沿对角线对折，然后放在桌面上，折叠后所成的图形覆盖桌面的面积是4、在一个圆形时钟的表面

43、，oa 表示秒针，ob 表示分针（o 为两针的旋转中心）若现在时间恰好是 12 点整，则经过秒钟后，oab 的面积第一次达到最大。5、已知等腰三角形顶角为 36，则底与腰的比值等于6、已知 am 是abc 中 bc 边上的中线，p 是abc 的重心，过 p 作 ef（efbc） ，分别交 ab、ac 于 e、f，则afcfaebe三、解答题1、如图 10-6，在正方形 abcd 的对角线 ob 上任取一点 e，过 d 作 ae 的垂线与 oa交于 f。求证：oeof数学竞赛专项训练（7）372、在abc 中，d 为 ab 的中点，分别延长 ca、cb 到点 e、f，使 dedf，过e、f 分别

44、作 ca、cb 的垂线相交于 p，设线段 pa、pb 的中点分别为 m、n。求证：demdfnpaepbf3、如图 10-8，在abc 中，abac，底角 b 的三等分线交高线 ad 于 m、n，边 cn并延长交 ab 于 e。求证：embnaecbfdpmn图 10-7abcnmed图 10-8数学竞赛专项训练（7）384、如图 10-9，半径不等的两圆相交于 a、b 两点，线段 cd 经过点 a，且分别交两于c、d 两点，连结 bc、cd，设 p、q、k 分别是 bc、bd、cd 中点 m、n 分别是弧bc 和弧 bd 的中点。求证：qbnqpmbpkpmnqkabcdmnkpq图 10-

45、9数学竞赛专项训练参考答案（10）39数学竞赛专项训练（数学竞赛专项训练（10）参考答案）参考答案一、选择题1、解：。选 c。)( 12131312cmsssabcabdbgd2、解：在 rtabc 中，c90，a30，则abc60，因为 eb 是b 的外角的平分线，所以abe60，因为 e 是c 的平分线与b 的平分线的交点，所以 e 点到 cb 的距离等于 e 到 ab 的距离，也等于 e 点到 ca 的距离，从而 ae是a 的外角的平分线。所以，aeb180607545。应选 b。752150bae3、解：依题意在等腰三角形 bcb 中，有bcb，b902070。所以 18027040，即dca40，从而bdcdcaa402060。应选 d。4、解：设 ad 为中线，则 dgag3，延长 gd 到 g，dgdg3，21。应选 c。723246821gbcabccgggbcssss5、解：由折叠过程知，dead6，daecef45，所以cef 是等腰直角三角形，且 ec862，所以 scef2。故选 a。6、解：取abc 的外心