2018-2019学年(第二学期)第一次月考_1（精编版）

1、2018-2019学年（第二学期）第一次月考本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150 分，考试时间 120 分钟。第卷（选择题）一、选择题（本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.椭圆的焦点坐标是（）a.【答案】 c【解析】【分析】b.c.d.从椭圆方程确定焦点所在坐标轴，然后根据求 的值.【详解】由椭圆方程得：，所以，又椭圆的焦点在 上，所以焦点坐标.【点睛】求椭圆的焦点坐标时，要先确定椭圆是轴型还是轴型，防止坐标写错 .2. 将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分，去掉 1 个最低分， 7个剩余分数的平均

2、分为91，现场做的 9 个分数茎叶图，后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以表示：则 7 个剩余分数方差为（）a. 36b.c.d.【答案】 c【解析】【分析】利用平均数求，再把 7 个数据代入方差公式 .【详解】去掉 1 个最高分 99，去掉 1 个最低分 97，剩下 7 个数为： 87，90，90，91，91，94 ，所以，解得：，所以.【点睛】本题考查平均数和方差的计算，考查从茎叶图提取信息、处理信息的能力 .3. 设原命题：若，则中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假状况是（）a. 原命题与逆命题均为真命题b. 原命题真，逆命题假c. 原命题假，逆命题真d. 原命题与逆命题均为

3、真命题【答案】 b【解析】【分析】写出原命题的逆否命题，判断其逆否命题为真，从而得到原命题也为真 .【详解】原命题逆否命题为：若中没有一个大于等于1， 则，等价于“若，则”，显然这个命题是对的，所以原命题正确；原命题的逆命题为：“若中至少有一个不小于1，则”， 取则中至少有一个不小于1，但，所以原命题 的逆命题不正确 .【点睛】至少有一个的否定为“0 个”，“不小于”等价于“大于等于”，同时注意若原命题的真假性不好判断，而等价于判断其逆否命题.4. 下列命题中的假命题是（）a.b.c.d.【答案】 b【解析】【分析】利用指数函数、对数函数、三角函数的值域进行命题真假判断.【详解】，所以不能对恒

4、成立， 故 b 不正确.【点睛】本题考查全称命题与特称命题的意义，本质是考查函数的值域问题 .5. 设某大学的女生体重y（单位： kg）与身高 x（单位： cm） 具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（ i=1 ， 2， n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71 ，则下列结论中不正确的是a. y 与 x 具有正的线性相关关系b. 回归直线过样本点的中心（， ）c. 若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgd. 若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重比为58.79kg【答案】 d【解析】根据 y 与 x 的线性回归方程为y=0.85x 8

5、5.71 ，则=0.85 0，y 与 x 具有正的线性相关关系，a 正确； 回归直线过样本点的中心（）， b 正确；该大学某女生身高增加1cm ，预测其体重约增加0.85kg ，c 正确；该大学某女生身高为170cm ，预测其体重约为0.85 × 170 85.71=58.79kg，d 错误故选： d【此处有视频，请去附件查看】6.如图，在以下四个正方体中，直线与平面垂直的是（）a. b. c. d. 【答案】 b【解析】【分析】由已知几何体为正方体，利用线面垂直的判定逐一分析四个选项得答案【详解】对于，由ab 与 ce所成角为 45°，可得直线与平面不垂直；对于，由 ab

6、 ce， ab ed，且 ce ed=e，可得ab平面；对于，由 ab 与 ce 所成角为 60°，可得直线与平面不垂直；对于，由 ed平面 abc ，可得 ed ab，同理： ec ab，可得 ab平面；故选： b【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题7.已知线交于是椭圆两点，且的两个焦点，过，则的方程为（且垂直于）轴的直a.b.c.d.【答案】 c【解析】【分析】在直角三角形利用勾股定理求，再由椭圆的定义求的值.【详解】因为，所以，又，所以在直角三角形中， 因为，所以，所以椭圆的方程为：.【点睛】本题考查焦半径、椭圆的定义、椭圆

7、的标准方程等知识，考查运算求解能力 .8. 执行如右图所示的程序框图，输出的的值是()a. 9b. 10c. 11d. 12【答案】 c【解析】【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累加并输出s 1+2+k 50 时的k+2 的最大值【详解】分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是累加并输出s 1+2+k 50 时的 k+2 的最大值，又 1+2+k50， 解得 k 9，则k+2 11， 输出的 k 的值为 11，故选： c【点睛】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法 这一模块最重要的题型，其处理方法是

8、：分析流程图（或伪 代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又 要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可 使用表格对数据进行分析管理）?建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模9. 某单位有 840 名职工，现采用系统抽样方法抽取42 人做问卷调查，将 840 人按 1，2， 840 随机编号，则抽取42 人中，编号落入区间的人数为（）a. 12b. 11c. 14d. 13【答案】 a【解析】【分析】由抽取的样本人数，确定每组样本的容量，计算出编号落入区间与各自的人数再相减 .【详解】由于抽取的样本为42 人，所以 840 人要分成 42 组，每组

9、的样本容量为20 人，所以在区间共抽 24 人，在共抽 36 人，所以编号落入区间的人数为人.【点睛】本题考查系统抽样抽取样本的基础知识，考查基本数据处理能力 .10. 过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点（在 轴上方）， 为的准线，点在 上且，则点到直线的距离为（）a.b.c.d.【答案】 a【解析】【分析】由直线的斜率得到直线的倾斜角，利用直角三角形角对边等于斜边的一半，求得焦半径，进而求出点的坐标，再利用几何法求出点到直线的距离.【详解】设直线与 轴相交于点，与直线相交于点，设，因为，所以， 所以，解得：，设，由焦半径公式得：，所以，所以，所以点到直线的距离为.【点睛】解析几何问题中，如

10、果能充分挖掘条件中的几何性质，能使运算量大大减少，节省运算时间.11. 一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为，当且仅当时称为“凹数”（如213 ，312 等），若，且互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率为（ ）a.b.c.d.【答案】 c【解析】试题分析：由于，且互不相同，故可得个三位数 .若，则“凹数”有：.共 6 个；若，则“凹数”有：.共 2 个.所以这个三位数为“凹数”的概率为有.考点：古典概型 .12. 某三棱锥三视图如图所示，此三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球的表面积为（）a.b.c.d.【答案】 a【解析】【分析】通过三视图还原几何体的直观图是有相邻两个侧面互相垂直的三

11、棱锥，找出这两个面的外心，利用勾股定理构造出关于外接球半径 的方程.【详解】根据几何体的三视图，还原几何体的直观图为三棱锥，设为三棱锥外接球的球心，为的外心，心，为中点，则四边形为矩形，因为为的外，所以，所以的外接圆半径为，因为是边长为 2 的正三角形，所以，所以，所以三棱锥的外接球的表面积.【点睛】三棱锥与球的切接问题，找到球心是解题的关键，其 步骤是，一找两相邻面的外心，二是假设球心为o，三是连结得到这两个面的垂线，再从中寻找直角三角形，构 造关于球半径的方程 .第卷（非选择题）二、填空题（本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请将答案填在答题卡对应的横线上。答错位置，书写不清，

12、模棱两可均不得分。）13. 在区间内取一个数，则的概率是 。【答案】【解析】【分析】求出一元二次不等式的解集，把求概率问题转化成求线段的比值.【详解】由得：，由几何概型得：.【点睛】本题考查利用线段的比，求几何概型的概率计算.14. 在平面直角坐标系中，已知双曲线过点，其中一条渐近线方程为，则该双曲线方程为 。【答案】【解析】【分析】利用双曲线渐近线方程和点在双曲线上，得到两个关于的方程.【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，所以，又点在双曲线上，所以，解得：， 所以双曲线方程为.【点睛】本题考查利用渐近线方程和点在曲线上，反过来求双曲线方程，考查基本的运算求解能力.15. 围棋盒子中有多粒黑

13、子和白子，已知从中取出2 粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是.则从中任意取出 2 粒恰好是同一色的概率是 【答案】【解析】【分析】利用互斥事件概率加法公式求解【详解】解 :因为取出 2 粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是,所以从中任意取出2 粒恰好是同一色的概率为：【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要注意互斥事件概率加法公式的合理运用16. 设是双曲线的左、右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为。若，则的离心率为 。【答案】【解析】【分析】由与互补，得到两角的余弦值互为相反数，两次利用余弦定理得到关于的方程.【详解】如图所示：因为焦点到渐近线的距离为，所以，则，所以，

14、因为，所以， 解得：.【点睛】求圆锥曲线的离心率主要有几何法和代数法，本题主 要通过两次利用余弦定理进行代数运算，找到关系求得离心率.三、解答题（本大题共6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤）17. 已知函数。（1） 求这个函数图像垂直于直线的切线方程；（2） 求这个函数图像过点的切线方程。【答案】（ 1）；（ 2）或.【解析】【分析】（1） 求出导函数，由切线斜率求得切点坐标，从而得切线方程；（2） 设切点坐标为，由切点坐标写出切线方程，代入点的坐标，从而求得切点。【详解】（ 1）设，则，切线与垂直，切线斜率为 1，即切点为.切线方程为；（2）设切点为，由（ 1），

15、 切线方程为，切线过点，解得或，切线方程为或，即或.【点睛】本题考查导数几何意义求切线方程有两种情形： 一种是已知切点，则切线方程为，另一种是已知切线过点，则设切点为，切线方程为，代入后求出切线，得切线方程18.2018年 8 月 18 日，举世瞩目的第18 届亚运会在印尼首都雅加达举行，为了丰富亚运会志愿者的业余生活，同时鼓励更 多的有志青年加入志愿者行列，大会主办方决定对150 名志愿者组织一次有关体育运动的知识竞赛并计划对成绩前15 名的志愿者进行奖励，现将所有志愿者的竞赛成绩制成频率分布直 方图，如图所示，若第三组与第五组的频数之和是第二组的频 数的 3 倍，试回答以下问题：（1） 求

16、图中的值；（2） 求志愿者知识竞赛的平均成绩；（3） 从受奖励的 15 人中按成绩利用分层抽样抽取5 人，再从抽取的 5 人中，随机抽取 2 人在主会场服务，求抽取的这2 人中其中一人成绩在分的概率 .【答案】（ 1）（2）96.8 （3）【解析】【分析】(1) 由频率分布直方图的性质结合条件即可求解；(2) 每个小长方形底边中点所对应的横坐标乘以该组的频率，再求和即可求出平均数；(3) 用列举法先求出从抽取的 5 人中，随机抽取 2 人所包含的基本事件总数，以及抽取的这 2 人中其中一人成绩在 分所包含的基本事件个数，结合古典概型的概率公式即可求出概率 .【详解】（ 1）由条件及频率分别直方

17、图的性质可知：解得（2） 由（ 1）可知，成绩在 分的有 9 人，在 分的有24 人，在 分的有 60 人，在 分的有 45 人，在 分的有 12 人，故志愿者知识竞赛平均成绩为（3） 由（ 2）可知，受奖励的 15 人中有三人的成绩是分，其余 12 人的成绩是 分，利用分层抽样抽取 5 人，有 1 人成绩在分中， 4 人成绩在分中.记成绩是分的 1 人为，成绩是分的 4 人为，从这 5 人中抽取 2 人去主会场服务共有以下10 种可能：，满足条件的有，共 4 种，故 所 求 概 率 .【点睛】本题主要考查根据频率分布直方图求平均数，以及列举法求古典概型的概率问题，熟记古典概型的计算公式，即可

18、求解，属于基础题型 .19.某市 2011年至 2017 年新开楼盘的平均销售价格(单位：千元/平方米)的统计数据如下表：2011201220132014201520162017123456733.43.74.54.95.36年份年份代号销售价格（1） 求关于 x 的线性回归方程；（2） 利用（ 1）中的回归方程，分析 2011 年至 2017 年该市新开楼盘平均销售价格的变化情况，并预测该市 2019 年新开楼盘的平均销售价格。附：参考公式：，其中为样本平均值。参考数据：【答案】（ 1）（2）见解析【解析】【分析】（1） 利用公式求出， ，即可得出结论；（2） 利用（ 1）的线性回归方程，代

19、入x9 即可【详解】（ 1）由题意知：，所以所以线性回归方程为：（2）由（ 1）得到，所以 2011年至 2017 年该市新开楼盘平均销售价格的变化是逐年增加的，平均每年每平方增加0.5 千元。将代入线性回归方程得到：故预测该市 2019 年新开楼盘的平均销售价格为6.9 千元/平方米.【点睛】本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；计算的值；计算回归系数； 写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.20.如图，四棱锥，的底面是直角梯形， 平面，

20、是的中点，。（1） 证明：平面；（2） 求点到平面的距离。【答案】（ 1）见解析；（ 2）.【解析】【分析】（1） 由等腰三角形得，再证平面，从而得，于是可证线面垂直；（2） 连接，可得，从而可证平面，那么只要作于，可证的长就是到平面的距离.【详解】（ 1）证明：，是中点， 又平面，又，平面，而平面，平面.（2）连接，在直角梯形，由于，易得，而由平面，得，因此平面， 作于，则，又，平面，在直角三角形中，。 到平面的距离为.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查求点到平面的距离.在求空间距离时，一般先要作出这个距离，并证明，然后才在三角形中求解，即一作二证三计算.21. 设抛物线的焦点为，过且斜率

21、为的直线 与交于， 两 点，（1） 求 的方程；（2） 求过点， 且与的准线相切的圆的方程【答案】 (1) y=x 1,(2)或【解析】【详解】分析： (1)根据抛物线定义得，再联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理代入求出斜率，即得直线的方程；（ 2）先求 ab 中垂线方程，即得圆心坐标关系，再根据圆心到准线距离等于半径得等量关系，解方程组可得圆心坐标以及半径，最后写出圆的标准方程.详解：（ 1）由题意得 f（1，0）， l 的方程为 y=k（x1）（k>0 ）设 a（x1，y1 ）， b（x2，y2 ） 由得，故所以由题设知，解得 k=1（舍去）， k=1 因此 l 的方程为 y=x

22、 1（2）由（ 1）得 ab 的中点坐标为（ 3，2），所以 ab 的垂直平分线方程为，即设所求圆的圆心坐标为（x0，y0 ），则解得或因此所求圆的方程为或点睛：确定圆的方程方法(1) 直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程(2) 待定系数法若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组，从而求出的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于d、e、f 的方程组，进而求出d、e、f 的值22. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是.以为圆心以为半径的圆与以为圆心以+1 为半径的圆相交，且交点在椭圆c 上.(1)

23、 求椭圆的标准方程；(2) 不过点的直线与该椭圆交于两点，且与互补，求面积的最大值 .【答案】（ 1）；（ 2）【解析】【分析】(1) 由已知条件可得，求出，得到椭圆方程(2) 联立直线方程与椭圆方程，由已知与互补则斜率相加得零得到的数量关系，然后再求解三角形面积问题由得=，=,由得令，则，当时，【详解】 (1)由题，方程为(2)消 y 得设【点睛】本题考查了求椭圆方程以及三角形面积问题，在求解过程中关键是将题目中的角互补转化为斜率问题，然后再求 解，注意计算不要出错，属于中档题2018-2019学年（第二学期）第一次月考本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150 分，考试时间

24、 120 分钟。第卷（选择题）一、选择题（本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 椭圆的焦点坐标是（）a.b.c.d.【答案】 c【解析】【分析】从椭圆方程确定焦点所在坐标轴，然后根据求的值.【详解】由椭圆方程得：，所以，又椭圆的焦点在上， 所以焦点坐标.【点睛】求椭圆的焦点坐标时，要先确定椭圆是轴型还是轴型，防止坐标写错 .2. 将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分，去掉1 个最低分， 7 个剩余分数的平均分为91 ，现场做的 9 个分数茎叶图，后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以表示：则 7 个剩余分数方差为（）a.

25、 36b.c.d.【答案】 c【解析】【分析】利用平均数求，再把 7 个数据代入方差公式 .【详解】去掉 1 个最高分 99，去掉 1 个最低分 97，剩下 7 个数为： 87， 90，90 ，91 ，91 ， 94，所以，解得：，所以.【点睛】本题考查平均数和方差的计算，考查从茎叶图提取信息、处理信息的能力.3. 设原命题：若，则中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假状况是（）a. 原命题与逆命题均为真命题b. 原命题真，逆命题假c. 原命题假，逆命题真d. 原命题与逆命题均为真命题【答案】 b【解析】【分析】写出原命题的逆否命题，判断其逆否命题为真，从而得到原命题也为真.【详解】原

26、命题逆否命题为：若中没有一个大于等于1，则， 等价于“若，则”，显然这个命题是对的，所以原命题正确；原命题的逆命题为：“若中至少有一个不小于1，则”，取则中至少有一个不小于 1 ，但，所以原命题的逆命题不正确.【点睛】至少有一个的否定为“0 个”，“不小于”等价于“大于等于”，同时注意若原命题的真假性不好判断，而等价于判断其逆否命题.4. 下列命题中的假命题是（）a.b.c.d.【答案】 b【解析】【分析】利用指数函数、对数函数、三角函数的值域进行命题真假判断.【详解】，所以不能对恒成立，故 b 不正确.【点睛】本题考查全称命题与特称命题的意义，本质是考查函数的值域问题.5. 设某大学的女生体

27、重y（单位： kg）与身高 x（单位： cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（ xi，yi）（ i=1 ，2， n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71 ，则下列结论中不正确的是a. y 与 x 具有正的线性相关关系b. 回归直线过样本点的中心（，）c. 若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgd. 若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重比为58.79kg【答案】 d【解析】根据 y 与 x 的线性回归方程为y=0.85x 85.71 ，则=0.85 0， y 与 x 具有正的线性相关关系，a 正确； 回归直线过样本点的中心（）， b 正确；该

28、大学某女生身高增加1cm ，预测其体重约增加0.85kg ，c 正确；该大学某女生身高为170cm ，预测其体重约为0.85 × 17085.71=58.79kg ，d 错误故选： d【此处有视频，请去附件查看】6. 如图，在以下四个正方体中，直线与平面垂直的是（）a. b. c. d. 【答案】 b【解析】【分析】由已知几何体为正方体，利用线面垂直的判定逐一分析四个选项得答案【详解】对于，由ab 与 ce 所成角为 45°，可得直线与平面不垂直； 对于，由 ab ce， ab ed，且 ce ed=e，可得ab平面；对于，由 ab 与 ce 所成角为 60°，可

29、得直线与平面不垂直；对于，由 ed平面 abc ，可得 ed ab，同理： ec ab，可得 ab平面； 故选： b【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题7.已知，则是椭圆的两个焦点，过且垂直于的方程为（）轴的直线交于两点，且a.b.c.【答案】 cd.【解析】【分析】在直角三角形利用勾股定理求，再由椭圆的定义求的值.【详解】因为，所以，又，所以在直角三角形因为中，所以，所以椭圆的方程为：.【点睛】本题考查焦半径、椭圆的定义、椭圆的标准方程等知识，考查运算求解能力.8. 执行如右图所示的程序框图，输出的的值是()a. 9b. 10c. 11d

30、. 12【答案】 c【解析】【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累加并输出 s 1+2+k 50 时的 k+2 的最大值【详解】分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是累加并输出s 1+2+k 50 时的 k+2 的最大值，又 1+2+k50， 解得 k 9，则k+2 11，输出的 k 的值为 11 ， 故选： c【点睛】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数

31、据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）?建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模9. 某单位有 840 名职工，现采用系统抽样方法抽取42 人做问卷调查，将840 人按 1，2，840 随机编号，则抽取42 人中，编号落入区间的人数为（）a. 12b. 11c. 14d. 13【答案】 a【解析】【分析】由抽取的样本人数，确定每组样本的容量，计算出编号落入区间与各自的人数再相减.【详解】由于抽取的样本为42 人，所以 840 人要分成 42 组，每组的样本容量为20 人，所以在区间共抽 24 人，在共抽 36 人，所以编号落入区间的人数为人.【点睛】本题考查系统抽样抽取样

32、本的基础知识，考查基本数据处理能力.10. 过抛物线准线，点在上且的焦点，且斜率为的，则点到直线直线交于点（在轴上方），为的的距离为（）a.b.c.d.【答案】 a【解析】【分析】由直线的斜率得到直线的倾斜角，利用直角三角形角对边等于斜边的一半，求得焦半径，进而求出点的坐标，再利用几何法求出点到直线的距离.【详解】设直线与轴相交于点，与直线相交于点，设所以，因为，解得：，设，所以，由焦半径公式得：，所以，所以，所以点到直线的距离为.【点睛】解析几何问题中，如果能充分挖掘条件中的几何性质，能使运算量大大减少，节省运算时间.11. 一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为，当且仅当时称为“凹数

33、”（如213 ，312 等），若，且互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率为（ ）a.b.c.d.【答案】 c【解析】试题分析：由于，且互不相同，故可得个三位数 .若， 则“凹数”有：.共 6 个；若，则“凹数”有：.共 2 个.所以这个三位数为“凹数”的概率为有.考点：古典概型 .12. 某三棱锥三视图如图所示，此三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球的表面积为（）a.b.c.d.【答案】 a【解析】【分析】通过三视图还原几何体的直观图是有相邻两个侧面互相垂直的三棱锥，找出这两个面的外心， 利用勾股定理构造出关于外接球半径的方程.【详解】根据几何体的三视图，还原几何体的直观图为三棱锥，设为三棱锥外

34、接球的球心，为的外心，为的外心，为中点，则四边形为矩形，因为，所以，所以的外接圆半径为，因为是边长为 2 的正三角形，所以，所以，所以三棱锥的外接球的表面积.【点睛】三棱锥与球的切接问题，找到球心是解题的关键，其步骤是，一找两相邻面的外心，二是假设球心为o，三是连结得到这两个面的垂线，再从中寻找直角三角形，构造关于球半径的方程.第卷（非选择题）二、填空题（本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请将答案填在答题卡对应的横线上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。）13. 在区间内取一个数，则的概率是 。【答案】【解析】【分析】求出一元二次不等式的解集，把求概率问题转化成求线段的比值.

35、【详解】由得：，由几何概型得：.【点睛】本题考查利用线段的比，求几何概型的概率计算.14. 在平面直角坐标系中，已知双曲线过点，其中一条渐近线方程为，则该双曲线方程为 。【答案】【解析】【分析】利用双曲线渐近线方程和点在双曲线上，得到两个关于的方程.【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，所以，又点在双曲线上，所以，解得：， 所以双曲线方程为.【点睛】本题考查利用渐近线方程和点在曲线上，反过来求双曲线方程，考查基本的运算求解能力.15. 围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2 粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是.则从中任意取出2 粒恰好是同一色的概率是 【答案】【解析】【分析】利用互斥事件

36、概率加法公式求解【详解】解 :因为取出 2 粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是,所以从中任意取出2 粒恰好是同一色的概率为：【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要注意互斥事件概率加法公式的合理运用16. 设是双曲线的左、右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为。若，则的离心率为 。【答案】【解析】【分析】由与互补，得到两角的余弦值互为相反数，两次利用余弦定理得到关于的方程.【详解】如图所示：因为焦点到渐近线的距离为，所以，则，所以，因为，所以， 解得：.【点睛】求圆锥曲线的离心率主要有几何法和代数法，本题主要通过两次利用余弦定理进行代数运算，找到关系求得离心率 .三、解答题

37、（本大题共6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤）17. 已知函数。（1） 求这个函数图像垂直于直线的切线方程；（2） 求这个函数图像过点的切线方程。【答案】（ 1）；（ 2）或.【解析】【分析】（1）求出导函数，由切线斜率求得切点坐标，从而得切线方程；（2）设切点坐标为点。，由切点坐标写出切线方程，代入点的坐标，从而求得切【详解】（ 1）设切线与，则，垂直，切线斜率为 1，即切点为.切线方程为；（2）设切点为，由（ 1），切线方程为，切线过点，解得或切线方程为，或，即或.【点睛】本题考查导数几何意义求切线方程有两种情形：一种是已知切点，则切线方程为，另一种是已知切线过

38、点，则设切点为，切线方程为，代入后求出切线，得切线方程18.2018 年 8 月 18 日，举世瞩目的第18 届亚运会在印尼首都雅加达举行，为了丰富亚运会志愿者的业余生活，同时鼓励更多的有志青年加入志愿者行列，大会主办方决定对150 名志愿者组织一次有关体育运动的知识竞赛并计划对成绩前15 名的志愿者进行奖励，现将所有志愿者的竞赛成绩制成频率分布直方图，如图所示，若第三组与第五组的频数之和是第二组的频数的 3 倍，试回答以下问题：（1） 求图中的值；（2） 求志愿者知识竞赛的平均成绩；（3） 从受奖励的 15 人中按成绩利用分层抽样抽取5 人，再从抽取的5 人中，随机抽取2 人在主会场服务，求

39、抽取的这2 人中其中一人成绩在分的概率 .【答案】（ 1）（2）96.8 （3）【解析】【分析】(1) 由频率分布直方图的性质结合条件即可求解；(2) 每个小长方形底边中点所对应的横坐标乘以该组的频率，再求和即可求出平均数；(3) 用列举法先求出从抽取的5 人中，随机抽取2 人所包含的基本事件总数，以及抽取的这2 人中其中一人成绩在分所包含的基本事件个数，结合古典概型的概率公式即可求出 概率.【详解】（ 1）由条件及频率分别直方图的性质可知：解得（2） 由（ 1）可知，成绩在分的有 9 人，在分的有 24 人， 在分的有 60 人，在分的有 45 人，在分的有 12 人，故志愿者知识竞赛平均成

40、绩为（3） 由（ 2）可知，受奖励的15 人中有三人的成绩是分，其余 12 人的成绩是分，利用分层抽样抽取5 人，有 1 人成绩在分中， 4 人成绩在分中.记成绩是分的 1 人为，成绩是分的 4 人为，从这 5 人中抽取2 人去主会场服务共有以下10 种可能：，满足条件的有，共 4 种，故所求概率.【点睛】本题主要考查根据频率分布直方图求平均数，以及列举法求古典概型的概率问题，熟记古典概型的计算公式，即可求解，属于基础题型.19. 某市 2011 年至 2017 年新开楼盘的平均销售价格(单位：千元 /平方米)的统计数据如下表：年份2011201220132014201520162017年份代号1234567销售价格33.43.74.54.95.36（1） 求关于 x 的线性回归方程；（2） 利用（ 1）中的回归方程，分析2011 年至 2017 年该市新开楼盘平均销售价格的变化情况，并预测该市 2019 年新开楼盘的平均销售价格。附：参考公式：，其中为样本平均值。参考数据：【答案】（ 1）（ 2）见解析【解析】【分析】（1） 利用公式求出，即可得出结论；（2） 利用（ 1）的线性回归方程，代入x9 即可【详解】（ 1）由题意知：，所以所以线性回归方程为：（2）由（ 1）得到，所以 2011 年至 2017 年该市新开楼盘平均销售价格的变化