初数学平行线分线段成比例定理（精编版）

1、初二数学【教学进度】几何第二册第五章§教学内容 平行线分线段成比例定理重点难点剖析一、主要知识点1. 平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。2. 三角形一边平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论）：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。3. 三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。4. 三角形一边的平行线的性质定理2（即课本例6）：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三

2、角形三边对应成比例。二、重点剖析1. 平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理论，同时， 它也是直接证明线段成比例的最重要方法之一。定理的基本图形ddaal 1l 1a (d)l 1dal 1eebbebl2l 2l 2b(e)l 2fcfcl 3l 3cfl 3cfl 3图1- （1）图1- （2）图1- （3）图1- （4） l1 l2 l 3abbcdeefabacdedfbcacefdf对应线段是指一条直线被两条平行直线截得的线段与另一条直线被这两条平行直线截得的线段对应。为了强调对应和记忆，可以使用一些简单形象化语言记忆上面所列三组比例式：abbc abac bcdeef

3、 dedf ef，可以说成“上比下等于上比下”，可以说成“上比全等于上比全”，可以说成“下比全等于下比全”等acdf2. 三角形一边平行线的性质定理1（即平行线分线段比例定理的推论） 基本图形aeda abcdebcbcde图2-(1)图2-(2)图2-(3) de bcadaedbecadaeabacdbceabac图 2（ 1），图 2（ 3）称为“ a ”型，图2（ 2）称为“ x ”型推论中“或两边的延长线”是指三角形两边在第三边同一侧的延长线3. 三角形一边平行线的判定定理是平行线分线段成比例的推论的逆命题。（ 1）这个定理可以用来判定两条直线平行。（ 2）使用时，一定要注意这个定理

4、的前提：截三角形的两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。4. 平行线分线段成比例定理的逆命题：三条直线截两条直线，截得的对应线段成比例，那么这三条直线平行。它是一个假命题，如图3，其中 ab=bc ，a dl 1b el 2abde=ef ，则bcde1 ，但 lef1、l2、l 3l 3不平行。fc5、三角形一边的平行线的性质定理2（即课本例6），这个定理也叫做相似三角形预备定理图3a de bcaddeaedeabbcac这时，成比例的线段已经不一定分布在两条直线上。bc当平行于三角形一边的直线截两边的延长线时，这个定图4理也成立。图 4 是最基本的“a ”型，课本例6 中有“ a”型

5、时常a作平行线， 把所要研究的线段中，与其它线段关系不明显的线段平移到关系明显的线段上去。ge典型例题 例 1、如图 5，在 abc 中， d 是 bc 上的点，fe 是 ac 上的点， ad 与 be 交于点 f，若 ae:ec=3:4 ，bdcbd:dc=2:3 ，求 bf:ef 的值。图5分析：求两条线段的比值，可通过平行线截得比例线段定理和已知线段的比发生联系，而图形本身并没有平行线，故需添加辅助线平行线去构造比例线段，进而求出比值。geae解：过 e 作 eg bc 交 ad 于 g，则在 adc 中，dcacae3又ec4ae3ac7eg3dc7极 eg=3x， dc=7x（ x&

6、gt;0 ），则bd2dc314 x bd3eg3x db=1492 dc327 x314 x3bf又 eg bc， febd14eg9例 2、如图 6，de ab ， ef bc ，af=5cm, fb=3cm, cd=2cm,求 bd 。分析根据条件可知bdef 为平行四边形， 由 ef bc ，应用相似三角形的预备定理，得afab质，即可求出ef 即 bd 。解：de ab ， efbcef再应用比例性abcfe 四边形 bdef 为平行四边形， bd=efafef又ef bc， bdcabbc图6afbd5bdafbfbddc53bd2解之，得bd=10 （ cm）3例 3、如图 7，

7、 a 、c、e 和 b 、f、d 分别是 o 的两边上的点，且ab ed 、bc fe。e求证3aemaaaca ae：mbb cd2adbefo abcbafb图9fedd图7cc图12图8c 图10bdmfn c图11afoa occdofoaodoedecdobobodofcfdeocoa od oecfob oeoc ofob oe11oa od1oc ofoaofocodccbcamemmbfmema , b , c ,fmaa / bb/ ccaabbcc / aaccaabacccc / bbbbacccc cbcac abaabbbaabbcac ab1111aabbcc111

8、aabbccccccbc 1aabbbfadad1ababdedbbebecbbcadbfbfabdbdebc 1bebebfadbffc1abemecenfcbfaeceemamfna1aebab acbbacac bdbdaca c bdacb d 以点 a 为端点，作射线2. 在 am 上顺次截 ad=2a ， de=3a （ a 为任意长）3. 连结 be，过点 d 作 dc/be 交 ab 于 c，则点 c 即为所求aa练习与测试 1. 如图 abc 中， d 、e、f 分别在 ab 、ac 、bc 上， 且 de/bc ， ef/ab ，ad=9 ， ef=6，cf=5 ，d ed

9、ebfc则 bf=2. 直线 de 分别交 abc 的边 ab 、ac 于点 d 、e， 且 ad=4cm ， ae=6cm 、ab=12cm ，ac=那么 de/bc( 第1题)ba edc( 第3题)ead23. 如图 de/bc，fdb3那么 ac =deecbcb( 第4题)cad dcoefbc( 第5题)gh4. 如图在abcd中， e 在 ad 上，且 4ae=5de ，ce 交 bd 于 f， 则 bffdfa5. 如图，梯形abcd 中， ad/bc ，对角线ac 、bd 相交于 o， ce/ab 交 bd 的延长线于e， 若 ob=6 ，od=3 ，则 de=6. 如图，已

10、知dc/ef/gh/ab，gal 1ab=30 ，cd=6 ，且 de：eg： ga=1 ：2： 3，feo1 o2b e( 第7题)ao3dc则 ef=gh=7. 如图，在abcd 中，o1、o2、o3 分别为对角线bd 上三点，del 2bcd( 第8题)且 bo 1=o 1o2=o 2o3=o 3d，连结 ao1 ，并延长交bc 于 e， 连结 eo3，并延长交ad 于点 f，则 ad ： fd=bca ( 第9题)ad8. 图，l1 / l 2, af2 gb ， bc=4cd ，ge5若 ae=kec ，则 k=9. 如图， cd 是 abc 的角平分线，b dcef( 第10题)m

11、n点 e 在 ac 上 ， adabae2ac5，ac=10 ，求 deadbca( 第13题（1）)d10. 如图， cd 是 abc 中， e 为 ac 的中点，d 为 bc 上的点，且bd=ab ，求证：bcagabgdenmffem（n）11. 已知， c 是线段 ab 上一点，分别以ac 、bcbcbc为边，在 ab 的同侧作两个等边三角形acd 和 bce ， ae 交 cd 于 f， bd 交 cg 于 g，求证 fg/ab12. 已知， bd 为 abc 的角平分线，de/bc ，（第13题（2）nefad（第13题（2）m交 ab 于 e，求证：111abbcde13. 已知

12、，如图（1），梯形 abcd 中， ad/bc ， e、f 分别在 ab 、cd 上， 且 ef/bc ，ef 分别交 bd 、ac 于 m 、n 。求证 me=nf当 ef 向上平移图（ 2）各个位置其他条件不变时，的结论是否成立，请证明你的判断。练习与测试参考解答或提示bc（第13题（ 2）1 15 ； 2 18cm；3 5 , 2235；4 9：4；59；610， 18；7 9： 1；8 2；96agaebcec10. 提示，过d 作 dh/ac交 bg 于 h 点，则gd得结论。，dhbd，又 ae=ec ，bd=ab ，即可dh11. 略证，由 dca= eba=60 0，有 cd/be ，则 becdegefcg ，同理a