大学物理知识总结习题答案(第四章)静电场

1、第四章 静电场第四章 静电场本章提要1电荷的基本性质两种电荷，量子性，电荷首恒，相对论不变性。2库仑定律两个静止的点电荷之间的作用力其中3电场强度 为静止电荷。由得4场强的计算（1）场强叠加原理电场中某一点的电场强度等于各个点电荷单独存在时在该点产生的电场强度的矢量和。（2）高斯定理电通量：在电场强度为e的某点附近取一个面元，规定，为与之间的夹角，通过的电场强度通量定义为取积分可得电场中有限大的曲面的电通量高斯定理：在真空中，通过任一封闭曲面的电通量等于该封闭曲面内的所有电荷电量的代数和除以，与封闭曲面外的电荷无关。即5典型静电场（1）均匀带电球面（球面内） （球面外）（2）均匀带电球体 （球

2、体内） （球体外）（3）均匀带电无限长直线场强方向垂直于带电直线，大小为（4）均匀带电无限大平面场强方向垂直于带电平面，大小为6电偶极矩电偶极子在电场中受到的力矩思考题4-1 两式有什么区别与联系。答：公式是关于电场强度的定义式，适合求任何情况下的电场。而公式是由库仑定理代入定义式推导而来，只适于求点电荷的电场强度。4-2一均匀带电球形橡皮气球，在气球被吹大的过程中，下列各场点的场强将如何变化？（1） 气球内部（2） 气球外部（3） 气球表面答：取球面高斯面，由可知（1）内部无电荷，而面积不为零，所以e内= 0。（2）e外=与气球吹大无关。（3）e表=随气球吹大而变小。4-3 下列几种说法是否

3、正确，为什么？（1） 高斯面上电场强度处处为零时，高斯面内必定没有电荷。（2） 高斯面内净电荷数为零时，高斯面上各点的电场强度必为零。（3） 穿过高斯面的电通量为零时，高斯面上各点的电场强度必为零。（4） 高斯面上各点的电场强度为零时，穿过高斯面的电通量一定为零。答：（1）错因为依高斯定理，e = 0 只说明高斯面内净电荷数（所有电荷的代数和）为零。（2）错高斯面内净电荷数为零，只说明整个高斯面的的累积为零。并不一定电场强度处处为零。（3）错穿过高斯面的电通量为零时，只说明整个高斯面的的累积为零。并不一定电场强度处处为零。（4）对e = 0，则整个高斯面的的累积为零。所以电通量=0。4-4 试

4、利用电场强度与电势的关系式分析下列问题：（1） 在电势不变的空间内，电场强度是否为零？（2） 在电势为零处，电场强度是否一定为零？（3） 在电场强度为零处，电势是否一定为零？答：（1）是由可知，当电势处处相等时，el=0实际例子：静电平衡的导体内。（2）否电势为零处电势梯度不一定为零，所以el也不一定为零。实际例子：电偶极子连线中点处。（3）否如果el等于零，则电势梯度为零，但电势不一定为零。实际例子：两个相同电荷连线中点处。4-5 如图4-1所示，将两个完全相同的电容器串联起来，在与电源保持连接时，将一电介质板摩擦插入电容器c2的两板间，试定性地描述c1、c2上的电量、电容、电压、及电场强度

5、的变化。c1c2图4-1答：插入电介质板后，c2的增大，致使整个电路电容1/c=1/c1+1/c2增大，而总电压u又没变，所以每个电容器所储存的电量q1 = q2增加。由于无摩擦，这种增加的电量全部由电源提供。c1=0s/d不变，而储存的电量增加时，u1= q1/c增大，故u2减小。由u = ed可知e2减小。u1增大而两极板距离d不变，故e1增大。4-6 一空气电容器充电后切断电源，然后灌入煤油，问电容器的能量有何变化？如果在灌煤油时电容器一直与电源相连，能量又如何变化？答：电容器灌入煤油后，电容量增大，但极板上的电量没有改变，由可知电容器的能量we会减少。减少的那部分能量，由煤油分子在静电

6、场极化过程中转化成煤油的内能。如果灌煤油时，电容器一直与电源相连，由能量公式可知，c增大而u不变时，电容器的能量we增大。这时电源向电容器充电，将电源的化学能转化为电容器的内能。练习题4-1 由相距较近的等量异号电荷组成的体系称电偶极子，生物细胞膜及土壤颗粒表面的双电层可视为许多电偶极子的集合。因此，电偶极子是一个十分重要的物理模型。图4-2所示的电荷体系称电四极子，它由两个电偶极子组合而成，其中的和均为已知，对图4-2中的点(平行于正方形的一边)，证明当时llll+ q+ qp- q- qox图 4-2 其中，p=ql 称电偶极矩。解：将左边和右边的电偶极子在p点产生的场强分别称为e左和e右

7、，则：点处的合场强为原题证毕。4-2 一个均匀带电的细棒长为，带电总量为，证明，在棒的垂直平分线上离棒为处的电场强度为解：棒的线电荷密度为。如图4-3，对称地取距中点为x处的电荷 。其和的水平方向的分量相互抵消，p点的场强为和沿竖直向上分量之和：xpdxdxdede合de0la图 4-3棒在p处的场强为将代入上式，并考虑x由0积分到时，由0变化到，后对e积分可得： 4-3 一个半径为r的带电圆盘，电荷面密度为，求：（1）圆盘轴线上距盘心为x处的任一点的电场强度；（2）当r时，p点的电场强度为多少?（3）当时，p点的电场强度又为多少?解：（1）取半径为rr+dr的圆环，如图4-4所示，因其上电荷

8、对p点的产生的场强垂直分量相互抵消，所以其对p点场强为图4-4pxrs整个圆盘的电荷在p点的产生的场强为（2）当时，可将带电圆盘看作无限大带电平面，因此p点电场强度为（3）当时，可将带电圆盘看作点电荷，因此p点电场强度为：4-4 大多数生物细胞的细胞膜可以用两个分别带有电荷的同心球壳系统来模拟。在本题图4-5中，设半径为和的球壳上分别带有电荷和，求：r1r2q1q2iiiiii图4-5（1）i、ii 、iii三个区域中的场强；（2）若 =各区域的电场强度又为多少？画出此时的电场强度分布曲线 (即 关系曲线)。从这个结果，你可以对细胞膜的电场强度分布有个概略的了解。解：（1）i：以r1r1为半径

9、作球面高斯面，因面内无电荷，依可得：e1= 0ii：以为半径作球面高斯面，面内的电荷为q1，依可得：iii：以为半径作球面高斯面，面内的电荷为q1+q2，同理可得：0 rr2r1e图4-6 e r关系曲线e3 =（2）根据上部分结果可得i： e1= 0 ii： iii：e3= 0根据已知条件画出关系曲线如图4-6所示4-5 实验表明，在靠近地面处有相当强的大气电场，电场强度方向垂直地面向下，大小约为；在离地面1.5 km高的地方，电场强度方向也是垂直地面向下的，大小约为。（1）计算从地面到此高度的大气中电荷的平均体密度；（2）若地球上的电荷全部分布在地球表面，求地球表面的电荷面密度；（3）已知

10、地球的半径为，地球表面的总电量为多少?解：（1）由已知可得，离地面高度为1.5km的大气电场，地面的大气电场为。h = 1.5kme2图4-7从1.5高处至地面作圆柱体高斯面，依题意得：得故（2）靠近地球表面作球面高斯面（3）4-6 随着温度的升高，一般物质依次表现为固态、液态和气态。当温度继续升高时，气体中的大量分子将由于激烈碰撞而离解为电子和正离子。这种主要由带电离子组成的状态为物质的第四态，处于该态的物质称等离子体。如果气体放电时形成的等离子体圆柱内的体电荷分布有如下关系其中，为电荷体密度，为圆柱轴线上的值，a为常量，求电场强度分布。解：以半径r长度l作圆柱高斯面，如图4-8所示，则：r

11、l图4-84-7 测定土壤颗粒所带电量的方法之一是沉降法。在该法中，使土壤颗粒在已知黏滞系数h 的液体中沉降，测出其收尾速度(即最后的稳定速度) 。然后，再通过极间电压施加一个如图所示的静电场(假定土壤颗粒带正电荷)，调节使颗粒达到新的收尾速度，这时有下列关系成立：其中，r为土粒的半径，q为土粒所带电量。请证明这个关系。解：对进入电场前后的带电土壤颗粒（后简称q）进行受力分析可得：q进入电场前： q进入电场达v2后： 联立得：原题证毕4-8 为了将混合在一起的带负电荷的石英颗粒和带正电荷的磷酸盐颗粒分开，可以使之沿重力方向垂直通过一个电场区域来达到。如果电场强度，颗粒带电率为，假设颗粒进入电场

12、区域的初速度为零，欲将石英颗粒和磷酸盐颗粒分离100 mm以上，问颗粒通过电场区域的距离至少应为多少?该题说明了在农业上很有实用价值的静电分选技术的原理。解：正、负带电颗粒受水平方向的电场力和竖直方向的重力，在电场中运动轨迹如图4-9所示。分别对带正、负电荷的颗粒进行受力分析：正电荷：mgqeqemg-+lh图4-9负电荷：水平位移为：竖直位移为：联立两式得带电颗粒通过电场距离为4-9 水分子的电偶极矩为，如果这个电偶极矩是由一对点电荷±e引起的(e为电子电量)，那么，它们的距离是多少?如果电偶极矩的取向与强度为电场方向一致，要使这个电偶极矩倒转成与电场相反的方向需要多少能量(用ev

13、表示)? 解：（1）依题意得：p = ql则（2）若使电偶极矩倒转需要能量为a，则4-10 一个细胞的膜电势差为50mv，膜厚度为。若假定膜中场强为匀强电场，问电场强度为多大?当一个钾离子()通过该膜时需作多少功?解：依题意得： 若令一个钾离子()通过该膜时需做功a，则4-11 动物的一些神经纤维可视为半径、长0.1的圆柱体，其内部的电势要比周围流体的电势低0.09v，有一层薄膜将神经纤维和这些流体隔开。存在于薄膜上的泵(一种运输的特种蛋白)可以将输送出纤维。若已知每平方厘米薄膜每秒钟可送出的，问 (1) 每小时有多少库仑的电荷被送出纤维? (2) 每小时必须反抗电场力作多少功?解：（1）由已

14、知得：圆柱体半径，圆柱体长度，阿伏伽德罗常数，基本电荷。因此，每小时被送出纤维的电荷量为：（2）每小时反抗电场力做功aa = qu = 6.54×10-3×0.09 = 5.89×10-4( j )4-12 计算练习4-4中、区域中的电势。解：（1）由题4-4可得i、ii、iii区域中的电场分布，则区域i电势：解得同理可得区域ii电势分布：区域iii电势分布（2）若，则区域i电势：区域ii电势：区域iii电势：图4-10qpxr4-13 一个半径为的均匀带电细圆环，所带总电量为，求圆环轴线上距圆心为处的电势。解：环上线电荷密度为 ，在环上取电荷元，如图4-10所示

15、，其电场在p点的电势为对整个环进行积分得：导线（）金属圆筒（）玻璃图4-114-14 核技术应用中常用的盖革米勒(gm)计数管，其外形结构如图4-11所示，它实质上是一个用玻璃圆筒密封的共轴圆柱形电容器。设导线(正极)的半径为，金属圆筒(负极)的半径为，正、负极之间为真空。当两极加上电压时，求导线附近的电场强度和金属圆筒内表面附近的电场强度。解：设正极的线电荷密度为，作半径为长度为的圆柱高斯面，据高斯定理得距轴心为处的场强为：两极间的电压为联立式得故正极附近的场强为圆筒表面的场强为 r1r2图4-124-15 同轴电缆是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属圆柱体构成，如图4-12所示。设内圆柱体的电

16、势为，半径为，外圆柱体的电势为，外圆柱体的内半径为，两圆柱体之间为空气。求两圆柱体的空隙中离轴为处()的电势。解：（1）设内圆柱体的体电荷密度为。作以为半径()，长度为l的圆柱高斯面，依高斯定理得距轴心为处场强为两圆柱间电压为联立式得：则令内筒电势为零，则距轴心为处的电势为4-16动物体是利用叫做轴突(axon)的神经纤维中的电脉冲传递信息的。在结构上轴突由圆筒形细胞膜组成。设圆筒形细胞膜的内半径为，外半径为，细胞膜的相对介电常量为，求轴突单位长度的电容。 解：由习题4-15公式，可得圆筒形细胞膜内外的电压为：u = l轴突单位长度的电容为：4-17一个球形电容器，内外壳半径分别为和，两极板间电介质的相