平面向量题型二：平面向量的共线问题（精编版）

1、题型二：平面向量的共线问题uuuruuur1、若 a(2,3)，b( x, 4),c(3, y), 且 ab =2 ac , 则 x=， y=uuuruuuruuur2、已知向量a、 b，且 ab =a+2b , bc = -5 a+6 b , cd =7a-2b,则一定共线的三点是（）a a 、b 、db a 、b 、cc b、c 、dd a 、c、d3、如果 e1、 e2 是平面 内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有（） e1 e2(, r) 可以表示平面内的所有向量；对于平面中的任一向量a,使 a=e1 e2 的 , 有无数多对；若向量 1e1+1e2 与 2e1+2e2 共线

2、 ,则有且只有一个实数k,使 2e1+2e2 =k(1e1+1e2)；若实数 , 使 e1 e2=0，则 =0.a b cd仅4、若向量a=(1,1), b=（ 1,-1) , c=(-2,4) , 则 c=()a -a+3bb 3a-bc a-3bd -3a+b5、已知a(2,-2),b(4,3),向量p 的坐标为 (2k-1,7)且 p ab , 则 k的值为()9a.10r9b.1019c.10r19d.10r6、已知 a 是以点a(3,1) 为起点， 且与向量 b(3, 4) 平行的单位向量， 则向量 a的终点坐标是rrrr7、 给出下列命题：若 | a | | b | ，则a =b

3、；若 a ， b ， c ， d 是不共线的uuuruuurrrrr四点，则 abdc是四边形 abcd 为平行四边形的充要条件；若a =b ， b =c ，rr则a=cr；arr=b的充要条件是|ar|=|b|且r rr rrrrrrrrrrrrrrrra b a b b c a ca b a b a br ba121 a2 b0 aba acb a b2 11 2oa2ab, ob3ab,oc3 33 3ap ad db cd 1 cacb3uuuruuuruuur13、如图点 g是三角形 abo的重心 ,pq 是过 g 的分别交 oa、ob于 p、q的一条线段，且 op11moa， oq

4、3nob , （ m 、 nr ） 。求证 mnr6、解： 方法一：设向量 a 的终点坐标是( x, y)r，则 a( x3, y1) ，则题意可知4( x3)3( y1)0x12 ,5y1x18 ,5912 ,118 ,9（ x3）2（ y1）21，解得：ry5 或5 ，故填155或55r34方法二：与向量 b(3, 4)平行的单位向量是(3, 4)a5，故可得,55，r从而向量 a 的终点坐标是(x, y)ra(3,1) ，便可得结果归纳小结： 向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念；rr arer与a

5、平行的单位向量| a | 7、解析： 不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同uuuruuuruuuruuuruuuruuur正确 abdc， | ab | | dc|且 ab / dc，又 a ， b ， c ，d是不共线的四点，四边形 abcd 为平行四边形； 反之，若四边形 abcd 为平行四边形， 则，uuuruuur ab / dcuuuruuur且| ab | | dcuuuruuur|，因此， abdc rrrrrrrr正确 a =b ， a ，b 的长度相等且方向相同；又b c ， b ， c 的长度相rrrr等且方向相同， a ， c 的长度相等且方向相同，故a c

6、不正确当r rr rrrrrrrr rrrrrrrrrrrrrrra b a b a b a11b a ba b b 01a, b11,2 ,1 a2b0 a00 baab01amaba 33mcacamban1 a apacb44( 11)ampb uuurmc(r)uuruapammpamc3uuruuuur333uuruab而bc =(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2ab , ab与bc共线, 且有公共端点 b,a、b、c三点共线 .(2) 8a+kb 与 ka+2b 共线,存在实数 使得 8a+kb=(ka+2b)(8- k)a+(k-2)b=0,a与 b 是不共线的两个非零向量,8k0， 2 k20，?82 ?± 2，k 2 ± 4.13、分析：本题是一道典型的平面几何证明，如果用平几方法则过程很复杂，如果我们将题目中的已知条件作向量处理便能使证明过程简单得多。因为注意到p、g、q 三点在一条直线上，所以我们可以考虑pq 与 pg 共线，于是可以用共线定理得方程组求解。证明：设 oaa ， obb ，则 opma ， oqnbod1 (oa2ob)1 (a2b)og，2 od31 (ab)3pgogop1 (a3b)ma( 1m) a 31 b3，即 pqoqopnbm