单对称梁挠曲强度之分析-朝阳科技大学

1、.第十屆中華民國結構工程研討會，2010年12月13日單對稱樑撓曲強度之分析Strength Analysis of Monosymmetric Girders徐暐亭1 呂東苗2 張倩倩31 朝陽科技大學營建工程系助理教授(E-mail: .tw)2 中興大學土木工程系教授3 張倩倩建築師事務所 建築師摘要單對稱鋼樑斷面的各種性質之計算以及分析較為煩雜，此類斷面特性為增加受壓面積以便提供較佳之抗彎矩以及穩定性，常見斷面如WC組合斷面(W型鋼與槽型鋼組合)與SC組合斷面(S型鋼與槽型鋼組合)為經濟之單對稱斷面。單對稱斷面之缺點為受到扭轉時，難以分析扭轉造成之翹曲剪應力以

2、及翹曲正向應力，評估斷面之理論強度根據翹曲常數Cw、單對稱係數x以及扭力常數J等牽涉到複雜積分運算。現有設計規範沒有提供適當公式作為計算彎矩強度，僅以雙對稱I-型樑以及單對稱I-型樑相關之簡化公式評估單對稱斷面之彈性彎矩強度。本研究檢討現有AISC設計規範1,2,3之相關公式來源，整理單對稱樑之理論彈性與非彈性公式，將翹曲常數Cw、單對稱係數x以及扭力常數J之複雜積分式簡化並提出數值化公式，以利評估單對稱斷面之彈性理論強度。本研究評估現有規範與理論值之差異，顯示根據規範所建議之方式會有明顯低估部分組合斷面之彈性理論彎矩強度，針對上述原因提供設計組合斷面彈性彎矩計算之相關數值，並根據誤差提出簡化

3、後之規範可放大之係數，作為業界設計組合斷面之參考，提高其設計的經濟性以及合理性。關鍵字：單對稱樑、側向扭轉挫屈、翹曲常數、單對稱係數、彎矩強度AbstractIt is a common practice in crane runway girders to place a channel, open-side down, over the top flange of a W- or S-section. The built-up WC (W-section with Channel) or SC (S-section with Channel) section has been proven

4、 to be efficient and economical. However, the theoretical moment calculation for WC/SC section is not a tough task and the difficulty comes from the evaluation of torsional properties including warping constant (Cw), monosymmetric parameter (x), and torsional constant (J).The AISC specification1,2 p

5、rovides the approximate formulas which are derived from singly symmetric I-shaped sections. Results from this study show that these formulas underestimate the elastic moment strength of WC/SC girders.This paper furnishes the formulas for the torsional properties (Cw, x, J) of WC/SC sections. The mom

6、ent design parameters and torsional properties of WC/SC girders evaluated based on the theory and AISC are provided in tabular forms. The provided tables are to assist practicing engineers to approach the built-up girder design in a simplified but rational way. Keywords: buckling, warping constant,

7、monosymmetric parameter, built-up girder.一、前言工程界使用之鋼樑斷面種類眾多形狀繁雜，常見之斷面包括雙對稱I-型樑與單對稱I-型樑，如圖1-(a)與1-(b)所示。雙對稱I-型樑設計與分析較為簡單卻不經濟，採用單對稱I-型樑，其特點是斷面受壓面積增加，抗彎矩能力及穩定性也同時增加。常見組合鋼樑斷面目前僅在澳洲地區使用之組合單對稱斷面，圖1-(c)，與常見單對稱I-型樑形狀多數以標準型鋼組合而成，W-型鋼以及S-型鋼搭配槽型鋼形成較經濟之單對稱組合斷面，簡稱WC(W-shape & Channel)與SC斷面（S-shape & Chan

8、nel）為有效且經濟之組合斷面，如圖1-(d)與圖1-(e)所示，已在工業廠房中被廣泛使用。(a)雙對稱I-型樑(b)單對稱I-型樑(c)澳洲組合斷面(d)美國WC組合斷面(e)美國SC 組合斷面圖1 單對稱與雙對稱斷面示意圖單對稱斷面的各種性質之計算以及分析較為複雜，鋼結構開口薄壁斷面進行扭轉時，斷面必須同時考慮純扭曲剪應力與翹曲應力作用，而翹曲應力包括翹曲剪應力與翹曲正向應力，其中翹曲應力之分析因計算過於繁雜，尤其是翹曲常數之取得並不容易。組合斷面之理論強度分析其主要障礙來自翹曲常數(Cw)，單對稱係數(x)及扭轉常數(J)等斷面參數皆牽涉複雜積分與數值計算。目前雖然有許多關於雙對稱I-型

9、樑及單對稱I-型樑斷面的挫屈強度研究，卻少有關於單對稱組合樑的研究，因此目前的美國AISC規範1,2,3並沒有提供各種單對稱組合樑(例如WC/SC斷面)之正確設計公式，其設計強度將出現低估。本研究整理、比較、討論與美國AISC設計手冊1,2,3上的公式來源，比較其與理論彈性彎矩強度的差異性，提供所有AISC設計手冊中WC/SC組合梁之理論Cw、x、J、B1與B2值，讓業界有機會較深入評估WC/SC組合梁之合理強度。本研究同時以現有LRFD單對稱梁公式評估WC/SC組合梁，提供設計所需斷面參數讓業界有機會以AISC規範快速評估WC/SC組合梁之設計強度，能較準確評估開口薄壁斷面的扭轉行為。二、鋼

10、梁之理論彈性彎矩與相關斷面參數根據Clark and Hill4與Galambos5，以能量法推導梁在彈性範圍內之理論強度Mn可以下式表示 (1)上式可改寫為(2)其中 (2.a)式(2.a)中，r為斷面上任一點到剪力中心之距離，上述公式可適用於任何單對稱和雙對稱斷面，參數x係由於受壓面積和受拉面積不等所造成，如果是雙對稱斷面則有x = 0，因為B1為x之函數，因此對雙對稱斷面而言B1 = 0，式(2)可簡化為 (3)根據前述得知鋼梁之理論彈性彎矩公式中，有3個重要常數即單對稱常數()、翹曲常數(Cw)、扭轉常數( J )，本節針對這些斷面常數說明如下：1.單對稱常數之理論與數值公式根據Gal

11、ambos5單對稱常數理論公式如下： (4)(4)式係以斷面形心為參考座標，Ix為對x軸之慣性矩、A為斷面積、Yo為斷面剪力中心與形心之垂直距離。若將斷面考慮成由n個板元素所組成，(x1, y1)、(x2, y2)為板元素端點之x與y座標，則(4)式之積分式可改成數值公式如下： (5)2. 翹曲常數之理論與數值公式由於組合WC/SC斷面係開放型薄壁斷面，根據Galambos5與Heins 6 開放型薄壁斷面之翹曲常數其理論公式可表示如下： (6)上式中 (6.a)ws為相對於剪力中心之單位翹曲(unit warping)、Wn為normalized unit warping、為斷面板元素至剪力

12、中心之垂直距離、E為沿斷面厚度中心線之總長度、t為板元素厚度、s為沿斷面厚度中心線之長度。由於計算翹曲常數是相對於剪力中心做計算，因此必須先找出斷面之剪力中心，根據Heins 6 斷面剪力中心(Xs，Ys)之理論公式可表示如下： (7)上式中 (7.a)(7.a)式中為板元素至形心之垂直距離、w為相對於形心之單位翹曲(unit warping)、t為板元素厚度、s為沿斷面厚度中心線之長度、Iwx 與Iwy 為warping product of inertia with respect to x-axis and y-axis, respectively。由於WC斷面為開放型薄壁斷面且係由薄璧

13、板元素所組成，配合板元素內單位翹屈(unit warping)具線性分佈之基本特性，可將理論積分式轉成數值計算公式，剪力中心的兩個重要參數Iwx、Iwy根據Galambos5 與Heins 6可改為數值公式如下：(8) (8.a)上式中 (8.b)(8.b)式之為板元素至形心之垂直距離，具有方向性，定義為以形心為基準點，板元素起點(i)到終點(j)方向，對基準點反時針方向為正，順時針方向為負。由(6)式 (8)式得知，翹曲常數Cw與剪力中心公式皆涉及複雜積分，需要靠電腦程式執行運算，因此必須將(6)、(7)、(8)式轉成適合程式運算之數值公式。本研究將斷面切割成由n個板元素所組成，根據Gala

14、mbos5 and Heins 6式翹曲常數之其數值公式可表示如下：(9)上式中 (9.a) (9.b)(9.c)(9.a)式與(9.b)式之係以剪力中心為參考點之單位翹曲，(9.c)式中為板元素至剪力中心之垂直距離。具有方向性，定義為以剪力中心為基準點，以板元素起點( i )到終點( j )方向，對基準點反時針方向為正，順時針方向為負。3. 扭轉常數之理論與數值公式由於組合WC斷面係開放型薄壁斷面，根據基本材料力學扭轉常數(J )其理論公式可表示如下： (10)r為斷面上任一點相對於扭力中心(torsional center) 之垂直距離，扭轉常數(J )根據基本材料力學其數值公式可表示如下

15、： (11)上式中n值代表斷面板元素之數目。三、AISC/LRFD單對稱梁之彈性彎矩與斷面參數 本研究根據AISC規範1,2,3所提供之單對稱樑設計之彈性彎矩公式，由於AISC/ASD規範3僅提供單對稱斷面供使用卻只有雙對稱梁公式並無提供單對稱樑之公式，因此本研究針對最新AISC規範1與AISC/LRFD2之單對稱樑之相關說明如下：1.AISC設計規範1AISC設計規範對於側向扭轉挫屈的計算，根據除無側撐長度判斷塑性與彈性之彎矩強度，AISC規範提供單對稱樑之彈性彎矩公式，根據上述理論公式(2)與(2.a)，使用上因與規範符號衝突，取消了B1與B2之表示方式，進而以一完整的公式表示如下： ,

16、(12)其中Fcr為彈性側向扭轉挫屈強度；ho為上下兩翼板之距離；E為彈性模數；J為扭轉常數；Sxc, 為受壓側翼板之彈性模數。側向扭轉挫屈之有效迴轉半徑rt定義：受壓側存在槽型鋼與其他鋼板覆蓋之I-型斷面，rt 針對主軸發生彎矩之斷面，其撓曲受壓側翼板迴轉半徑加上三分之一的撓曲受壓側腹板面積。2.AISC/LRFD設計規範2公式(2)可以使用於任何雙對稱及單對稱斷面，1980年澳洲學者Kitipornchai and Trahair 7 針對澳洲使用之天車梁，圖1-(c)，提出有關x常數之數學模式如下： (13)根據Salmon and Johnson8 單對稱I-型之斷面性質Cw、Iy、I

17、yc可整理如下： (14) (15)式中b1、b2、t1、t2、h 分別為上下翼板寬度、厚度。將(13)、(14)、(15)式 代入(2.a)式之、，並令E = 29,000 ksi、G =11,200 ksi及KL = Lb，則 (2)、(2.a)式可以改寫如下： (16)其中 (16.a)(16)、(16.a)式即LRFD規範單對稱鋼梁之彈性彎矩公式，由此可知LRFD之設計公式係由單對稱I-型斷面推演出來，把LRFD設計公式用於組合WC/SC斷面(也是單對稱斷面)基本上是不正確的、且明顯低估其應有之設計強度。四、WC/SC組合梁之理論彎矩曲線與LRFD設計彎矩曲線本節整理WC/SC組合梁之

18、理論彎矩曲線與LRFD之設計彎矩曲線，彎矩曲線係以無側稱長度(Lb)為參數，Lp為斷面能夠產生塑性彎矩之最大無側稱長度，Lr為斷面能夠最大彈性彎矩之無側稱長度。Lp 值根據LRFD公式 F1-4，如下所示 (17)Lr之取得，係根據Mcr = Mr (Cb = 1.0)時之Lb值，其中Mcr為理論彈性彎矩(公式2)或LRFD彈性彎矩(公式16)，Mr為LRFD之極限挫屈彎矩(Limiting Buckling Moment)，如下所示Mr = FL Sxc £ Fyw Sxt (18)FL = (Fyf Fr) 或 Fyw 取小值 (19)Lr 值 / 根據理論公式讓 Mcr (公式

19、2) = Mr (公式18)且Cb = 1.0 可得Lr = Lr1值(理論)Lr值 / 根據LRFD公式 讓 Mcr (公式16) = Mr (公式18)且Cb = 1.0 可得Lr = Lr2值(LRFD)因為理論Mcr大於LRFD Mcr，因此會有不同之Lr值出現。理論標稱彎矩(Mn)曲線說明如下：當 Lb £ Lp 時Mn = Mp = FyZ £ 1.5My = 1.5Fy S (20)當 Lp £ Lb £ Lr1 時 (21)當Lb ³ Lr1 時，理論彎矩曲線使用公式(2)、(2.a)。LRFD標稱彎矩(Mn)曲線說明如下：當

20、Lb £ Lp 時Mn = Mp = FyZ 1.5My = 1.5Fy S (22)當 Lp £ Lb £ Lr2 時 圖 2 斷面之理論與各規範之設計強度示意圖 (23)當Lb ³ Lr2 時，彎矩曲線使用公式(16)、(16.a)。典型WC/SC組合梁之理論、ASD與LRFD彎矩曲線如圖2所示。 根據圖2顯示，顯示各規範誤差的趨勢，ASD規範與LRFD規範之彈性彎矩強度隨著無側撐長度越大，則誤差相對越大，AISC設計規範雖為較簡單之方式，但是其誤差較LRFD規範大，且發生於彈性階段初期，無側撐長度越長，其結果與LRFD規範結果越相似。五、WC/SC

21、組合梁之理論LRFD設計參數 WC/SC組合梁之分析與設計，根據前述，必須先求出Lp、Lr以界定組合斷面塑性與彈性之範圍，然而Lr值之取得必須讓 Mcr (公式2與16) = Mr (公式18) 且Cb = 1.0 經反覆計算求出，較為複雜。Lb ³ Lr 時理論彎矩曲線使用公式(2)、(2.a)、(2.b)，LRFD彎矩曲線則使用公式(16)、(16a)，由於公式牽涉多種係數與常數包括Cw、x、J、Iyc、B1與B2等，其中B1Lb與B2Lb值(KL=Lb)對WC/SC斷面而言為常數(如公式24、25、26、27所示)，本研究整理所有理論與LRFD設計所需參數，以符合業界工程師之實

22、際需求。 (24) (25) (26) (27)式(24)至(27)中Lb之單位為in.，針對AISC1,2,3設計手冊中所有WC/SC梁之彎矩相關參數包括Mp、Mr、Lp、Lr、Iyc、ryc、B1Lb、B2Lb2，等，分別計算將其結果列於表1至2所示(因篇幅有限僅提供部分斷面)，其中Cw值之計算請參閱Lue and Ellifritt 9。 表1 規範常見WC組合斷面之J、x、Cw、Iy值與理論彎矩參數W型斷面槽型斷面Cw (in.6)x (in.)J (in.4)Iy(in.4)B1Lb(ft)B2 Lb2(ft2)W12×26C10×15.31305.549.930

23、.87784.7020.56264.19W14×30C10×15.31826.4410.850.97987.0021.54331.20W14×43C12×20.73999.5010.192.390174.2018.33296.94W14×61C15×33.99933.7110.165.682422.0018.45310.27W16×36C12×20.73162.3713.371.513153.5028.36370.91W16×67C15×33.914635.2711.666.076434.002

24、0.75427.43W16×67MC18×42.716388.4113.076.682673.0027.62435.26W18×50C12×20.76065.8013.672.636169.1023.06408.31W18×50C15×33.96931.3215.693.685355.1032.44333.84W18×76C15×33.922136.7212.046.859467.0020.92572.79W18×76MC18×42.724701.6113.927.523706.0028.405

25、82.73W21×62C12×20.711064.2114.323.482186.5022.07563.93W21×62C15×33.912646.8217.404.674372.5032.71480.14W21×68C12×20.712301.6413.834.365193.7019.41500.17W21×68C15×33.914140.4117.165.700379.7029.51440.60W21×101MC18×42.749820.3514.3311.618802.0025.08761

26、.05W24×62C12×20.79051.9618.363.101163.5028.08517.97W24×62C15×33.910077.5620.774.142349.5040.18431.80W24×68C12×20.716733.3015.023.522199.4023.81843.10W24×68C15×33.919163.5918.934.723385.4036.01720.02W24×84C12×20.721633.8113.536.130223.4017.21626.26W24

27、×84C15×33.925162.3118.077.737409.4027.68577.13W24×104MC18×42.765510.0615.9110.761813.0029.131080.40W27×84C15×33.934221.3719.416.249421.0033.56971.90W27×114C15×33.949421.8417.4913.099474.0022.16669.56W27×146MC18×42.7129010.7714.5920.861997.0021.241097

28、.50W30×99C15×33.949335.8420.327.554443.0032.781159.11W30×99MC18×42.753557.9023.258.529682.0043.801114.44W30×116C15×33.961752.1918.9611.677479.0025.58938.48W30×116MC18×42.767602.0822.3612.526718.0035.65957.81W30×132C15×33.972260.8417.8916.412511.0021.

29、02781.36W30×173MC18×42.7201928.0313.9227.411152.0018.981307.39W33×118C15×33.983079.9819.739.961502.0029.511480.19W33×118MC18×42.791023.9623.6410.726741.0041.391506.01W33×141C15×33.9105605.2717.8216.511560.0021.861135.09W33×141MC18×42.7116761.2222.151

30、7.603799.0031.441177.13W33×152MC18×42.7128022.5121.5321.540827.0028.091054.76W36×150C15×33.9132114.9518.3316.921585.0022.701385.66W36×150MC18×42.7146167.2023.0918.018824.0032.891439.67W36×170MC18×42.7170231.0621.8925.207874.0027.141198.49W36×194MC18×

31、42.7195615.9920.6734.823929.0022.49996.90單位轉換: 1 in. = 2.54 cm ; 1 ft = 0.3048 m表2 規範常見WC組合斷面之J、x、Cw、Iy值與LRFD規範彎矩參數W型斷面槽型斷面Cw (in.6)x (in.)J (in.4)Iy(in.4)B1Lb(ft)B2 Lb2(ft2)W12×26C10×15.31305.549.930.87784.7020.56264.19W14×30C10×15.31826.4410.850.97987.0021.54331.20W14×43C1

32、2×20.73999.5010.192.390174.2018.33296.94W14×61C15×33.99933.7110.165.682422.0018.45310.27W16×36C12×20.73162.3713.371.513153.5028.36370.91W16×67C15×33.914635.2711.666.076434.0020.75427.43W16×67MC18×42.716388.4113.076.682673.0027.62435.26W18×50C12×

33、20.76065.8013.672.636169.1023.06408.31W18×50C15×33.96931.3215.693.685355.1032.44333.84W18×76C15×33.922136.7212.046.859467.0020.92572.79W18×76MC18×42.724701.6113.927.523706.0028.40582.73W21×62C12×20.711064.2114.323.482186.5022.07563.93W21×62C15×33.912

34、646.8217.404.674372.5032.71480.14W21×68C12×20.712301.6413.834.365193.7019.41500.17W21×68C15×33.914140.4117.165.700379.7029.51440.60W21×101MC18×42.749820.3514.3311.618802.0025.08761.05W24×62C12×20.79051.9618.363.101163.5028.08517.97W24×62C15×33.910077

35、.5620.774.142349.5040.18431.80W24×68C12×20.716733.3015.023.522199.4023.81843.10W24×68C15×33.919163.5918.934.723385.4036.01720.02W24×84C12×20.721633.8113.536.130223.4017.21626.26W24×84C15×33.925162.3118.077.737409.4027.68577.13W24×104MC18×42.765510.06

36、15.9110.761813.0029.131080.40W27×84C15×33.934221.3719.416.249421.0033.56971.90W27×114C15×33.949421.8417.4913.099474.0022.16669.56W27×146MC18×42.7129010.7714.5920.861997.0021.241097.50W30×99C15×33.949335.8420.327.554443.0032.781159.11W30×99MC18×42.753

37、557.9023.258.529682.0043.801114.44W30×116C15×33.961752.1918.9611.677479.0025.58938.48W30×116MC18×42.767602.0822.3612.526718.0035.65957.81W30×132C15×33.972260.8417.8916.412511.0021.02781.36W30×173MC18×42.7201928.0313.9227.411152.0018.981307.39W33×118C15

38、15;33.983079.9819.739.961502.0029.511480.19W33×118MC18×42.791023.9623.6410.726741.0041.391506.01W33×141C15×33.9105605.2717.8216.511560.0021.861135.09W33×141MC18×42.7116761.2222.1517.603799.0031.441177.13W33×152MC18×42.7128022.5121.5321.540827.0028.091054.76W36

39、×150C15×33.9132114.9518.3316.921585.0022.701385.66W36×150MC18×42.7146167.2023.0918.018824.0032.891439.67W36×170MC18×42.7170231.0621.8925.207874.0027.141198.49W36×194MC18×42.7195615.9920.6734.823929.0022.49996.90單位轉換: 1 in. = 2.54 cm ; 1 ft = 0.3048 m七、結論單對稱鋼樑理

40、論強度分析複雜及斷面參數難以取得之問題，現有之相關規範只能以近似的方法評估其彈性彎矩強度，本研究從樑之基本理論、基本假設開始。探討單對稱樑設計所面臨之困難，提出解決問題方法，完成WC/SC樑斷面設計表格，消除工程師分析與設計時所面臨之障礙，提昇設計品質與效率。研究成果如下：1. 推導與探討雙對稱、單對稱鋼樑側向扭轉挫屈之基本彈性以及非彈性理論來源。2. 評估單對稱樑斷面理論彈性側向扭轉挫屈強度所需之扭矩參數，包含翹曲常數（Cw）、單對稱係數( x）以及扭轉常數（J）之理論積分公式，將扭矩參數理論積分式根據薄壁開口之基本假設，整理與推導適用於任一開口薄壁樑之扭矩參數之數值公式，。3. 提供AIS

41、C設計手冊內所有WC/SC 斷面之扭矩參數計算Cw、x、J值，並將冗長與複雜的計算過程電腦化供參考，滿足業界之實際需求。 4. ASD規範不適用於單對稱鋼樑之強度分析與設計；LRFD規範低估WC/SC組合斷面之彈性彎矩強度最高可達19 %；AISC規範低估WC/SC組合斷面之彈性彎矩強度最高可達25 %。5. 提供LRFD/AISC (2005)規範應用於WC/SC組合樑彎矩設計曲線所需要之相關斷面參數與彎矩強度，並將無側撐長度關係提出之B1 Lb與B2 Lb2查表值，讓使用者能快速根據LRFD/AISC規範評估斷面之設計強度，提高設計品質。參考文獻1 AISC, Design Specification for Structural Steel