专升本(国家)-专升本高等数学(二)分类模拟微分方程求解方法、无穷级数解题方法、向量.

1、专升本高等数学（二）分类模拟微分方程求解方法、无穷级数解题方法、向量与空间解析几何一、选择题1函数是微分方程y，+ay=ex的解，贝呃的值为a0 b一1 c1 d22、若二阶常系数线性齐次微分方程的通解为y=c1e-2x+c2ex,则该微分方程为a y”+yjo b. y"+2y' =0c y"+y'-2y=0 d y"-y'-2y=03、求解微分方程y"+3y* +2y=sinxb'j',应设一个特解为y*=a asinx b. acosxc. asinx+bcosx d. x （asinx+bcosx）a. x

2、=y (y2+c c x=y (2y2+c.b y=x(x'+cd x=y3+cooco:妬s加5、正项级数“ 1 收敛，那么"=丨的收敛性为a.发散 b收敛 c.可能收敛，也可能发散d.无法判断6、已知慕级数d=l在处收敛，那么级数在x=l处的敛散性为a.发散 b收敛 c.条件收敛，但不绝对收敛d.无法判断7、空间坐标系屮，方程y=2x-5代表a.直线 b.平行于x轴的平面c.平等行于y轴的平面d.平行于z轴的平面8、点（1, 0,丄）在上.a. y轴上bxoz平面上 cxoy平面上 dyoz平面上j j' = 09、直线1。代表az轴bx轴cy轴 dxoy平面上的

3、直线二、填空题10微分方程y" -4y' -5y=xe x的特解应设为1213、i+7i+（q 右+"）£+（何哙+1*+*+#14、y丄z-j n-2已知级数"=i收敛，贝b的取值范围是15、p x?'乙庐16>17>18>77极限犷+ 4圧点（-2, 3 y -4）是第用定积分可表示成卦限的点.平行于向量a=(6, 7, -6)的单位向量是点(a, b, c)关于xoy'|z：面对称的点的坐标是 于坐标原点对称的点的坐标是19、,关于y轴对称的点的坐标是20、点p(-3, 4, 5)到x轴的距离是；到y轴的距

4、离是;到z轴的距离是级数打=1 的收敛区间是21、过点m(2, 9, -6)且与连接坐标原点及点m的线段om垂直的平面方程为三、解答题d：y 一 122、求解方程山(丁+w(!*v = p(j*)y + q(x)半十23、如何应用公式求d”的通解？如何应用公式求dy p(y)x=q(y)的通解？24、求微分方程y"-2ayi+y=0的通解.25、求微分方程(1+x) ydx+ (1-y) xdy=0的通解.26、工求微分方程的通解.27、求微分方程28、设y1=f1 (x) -y2=f2 (x)分别为方程护 + p(jc)y = q (工)与 岁 += q> (工d文的解，证明

5、:y=f 1 (x) +f2 (x)是方程i p(rr) y = q (/+ qi (丁)ttr的解，并用此结论解方程v + v = 2siirr 5sin2.rda-丿29、若函数 f(x) = j° (x-t) f (t)dt+ex,求 f(x)xrx30> 设 f (x) =x+l-x j f (t) dt+ j a tf (t) dt,其中 f(x)为连续函数，求 f (x).31、设f(x)为一个连续函数，它由方程j ° tf (t)d*xjf (x)确定，求f(x)护 + 工=a (i n') y£32、求微分方程乩e卫 的通解.(工&#

6、174;* + l)<lr+_y(l 卡)dy=o33、求微分方程1的特解.d y _ .cos,r 匚 j 一 vsmjr 一 sin.r34、求微分方程j *的通解.jt35、若f(x)满足方程f (x) +2 ：i f (t) dt=x2,求f (x)判别级数的敛散性.co38、39、40、判定级数的收敛性.的敛散性.41、求极限(1)(2)42、求级数"7的和函数.现将常数项级数审敛法归纳于下表中.名称止项级数任意项级数一般任意项级数交错级数个别判别法充要条件（部分 和数列s.冇界） 比较法 比值法绝对收敛f收敛莱布尼兹判别 法通用判别法若sn-*s,则级数收敛；当n-

7、>-,入十0,则级数发散； 级数的基本性质判定级数的收敛性.43、cos”兀j + 11工肝sin話44、t4=,求下列级数收敛半径和收敛域.oap ln(?z + 1)卄厶pl45、r,- 1rxiv生严z-j p46、4 7、n 5 +求幕级数rj 11)(2丁 + iy的收敛域及其和函数./&)=48、将有理分式函数3 + 3r- 23 10文8.r"展开成x的帚级数.2)=j.2_249、将有理分式函数j°展开成x+4的幕级数.50、已知两点( 4 *和b(3, 0, 2),试计算向量ab方向余弦，方向角，及在x轴上的投影.51、求向量a=(4, -3

8、, 4)在向量b=(2, 2, 1)上的投影.52、设a=(3, 5, -2) , b= (2, 1, 4),问入与p满足怎样的关系，才能使入a+pb与z轴垂直?'a53、已知a(：l, -1, 2) , b(3, 3, 1) , c(3, 1, 3),求与abbc同时垂直的单位向量.54、求过三点(1, 1, -1) , (-2,2, 2) , (1, -1, 2)的平面方程.55、求过两点a(3, -2, 1) , b(-l, 0, 2)的直线方程.56、求过点(2, 0, -3)且与直线卜 2二+1=0垂直的平面方程.57、求过点(3, 1, -2) a通过直线 521的平而方程

9、.58、求点(1, 2, 0)在平而x+2y-z + l = 0上的投影.:2x斗$ +乞=059、求直线13- y-2c9 = ()在平而4x_y+z=1上的投彩直线的方程.j-z+l=060、设一平面垂直于平面z = 0并通过从点到直线l"=°和垂线，求此平面方程.61、已知点a(1, 0, 0) , b(0, 2, 1),试在z轴上求一点c,使aabc的面积最小.答案:一、选择题丄、b2> c7、d 方程屮缺少z,故平面平行于z8、b坐标中y=0,故点在xoz平面上.9、a该线是平面yoz与xoz的交线，故代表z轴.二、填空题 10> y*=x (ax+b

10、) e x l+*+3、c11>124、a5、b6、b1-3!i _1+#+(72)2 y+cx/t)31丄11亠1】 t 3331533!+ 1 113+ + ( j2 )" a + n!« -卜 * * 门 27372解析由公式in(l + jc)=才+ 十寻ln( 1 一 n)= 一>t1(一 1 <心 1)两式相减得in j= ln(l+z ln(l 文)=2(文+ 手 +令 +1 x35l3得ln2 = 2 (丄 + 丄 丄 + 丄 丄 + 丄- 血 订3十3 33 ' 5 35十7 3从而幺_ +丄丄+ -l丄+丄jl = 丄山2 3

11、十 331 t 5 3s 73?卞 1rl ,u 1 十 4x2 丁14、 (1, +8)15> -1, 116、17.第6卦限18、士宀士 (鲁备一舒因a=(6, 7, -6)的枳量冇两个，即士宀土la=金+ 7+一6“皿*1】,平行单位向1 / £ 7 a = ± 讦(6,7 6) = 士1t1t n19、0),故点p到x轴的距离为两点plpz间的距 虫了同理，点p到y轴的距离为d3 = j( 一3严 +號=5 21、(a, b -c)； (-a, b, -c) ； (-a, -b -c) 20、两点pp之间 d =丿(一妙+升734= y( 3)2j-4 = 5

12、0,解析点p(-3, 4, 5)在z轴上的投影为点pj-3, 离，而么=i f】p丨=e卜5d2=v(3)-f52 = a/34，点p到z轴的距离为 2 (x-2)+9 (y-9)-6(z + 6) =0,艮卩2x+9y-6z-121 = 0 三、解答题du ydw n 11 1 =二 代入原方程得皿ic分离变量得* u2 du22、解 设x+y=u,则山u2 du _ 】i i ° dx1十/厂.两边积分得y-arctan (x+y) =c.23、首先利用变量分离法可求得其对应的线性齐次方程的通解为y=ce/p<x)dx,然后将常数c变易为x的待定函数c(x),令y=c(x)

13、e/p(x>dx,求微分后，得到1 +用，解岀u-arctanu=x+c,述原u=x+y得将上述两式代入方程屮, dc(jr) kp加 clx clr十c（工）p（工）巳汕皿得到,=ccr) p(x)e吐 sc!"皿 + c(.r)f(.r)ejpu)drpfxldac（工）=|q（工）et心也山+ f积分后得到j,进而得到方程的通解j = cpft>d-rq()e" pcr),ir特征方程为r2-2ar+l = 0, rr 2=(1)当 |a|>l,即 a> 1 或 av-1 时, a t t 1 »2a 士 v 4a2 4cz 土 y/

14、a 12特征方程冇两个不相等的实根24、解原方程对应的f i故原方程的通解为y g e（"亠 /'- ）j： -|- c e（"- 亿匸0工当|a|=l, wa=l或壬时，特征方程有两个相等的实根r1=r2=a,故原方程的通解为 y= （ct+c2x） e：| a 5"（3）当|a|<l,即-l<a<l时，特征方程冇两个共轨复根r12= 1 v】,故原方程的通解为ywg cos /l-r + gsin /厂疋"1十工 y 125、分离原式得：xy,两边积分得解x+lnx=y-lny+c, h|jx-y+lnxy=c.另外，x=0

15、, y=0也是原微分方程的解.<ly _ ><br1丁djr26、令 n ="，则-p “ ,rtlr'-du sgn r clr,代入并分离变量得7 1 ir-积刁彳导arcsinu=sgnx in | x | +c,艮卩; -j i<l.r 工 工7a res in - = sgmr lnr | 十 cjc式方程得d.r _ y 十 jt27、方程变形d$ »,化为标准dr 1这是一个以y为自变量，以x为未知函数的一阶线性非齐次方程，其解法与方程y，+p(x)y=q(x) 一致.由通解公式(2.8.3)可得+ c=e .即原方程的通解为x

16、二-y?+y+c28、证明y. = f. (x) +f2 (x)是方程的解,只须将其代入方程看其是否满足方程即可.因为y严f, (x)与y产爲(x)分别为方程°兀+p (x) y=qx (x)与/i rj +p (x) y=q2 (x)的解，从而有j 1 (x) +p (x)匚(x) =qx (x), h (x) +p (x) f2 (x) =q2 (x) 将=:£i (x) +f2 (x)代入等式左边得fn (x) +f2 (x) ' +p (x) f1 (x) +f2 (x)=j 1 (x)+/2 (x)+p(x)fl(x)+p(x)f2(x)(x) +p (x

17、) fx (x) + 丿 2 (x) +p (x) f2(x)=j0 (x) +q2 (x) 所以y=f (x) +f2 (x)是原方程的解.一 y 2si rur + 5sin2.rd v(2)下面利用以上结论解方程(l厂-f + $ = 2 sinj-与牛 + y = 5 si n2:r分别解°攵dx 的通解，再将它们相加.利用公式y=e-/p(x>dx( ；q(x)e/p(x)dxdx+c),得 f l (x) =e 'dx j 2sinxe 1 dxdx+cj =sinx-cosx+c,e x f, (x) =e''dx f 5sin2xe ax

18、dx+c2 =sin2x-cos2x+c2e x 从而原方程的解为xxy=f i (x) +f2 (x) =sinx-cosx+c.e x+sin2x-cos2x+c2e x = sinx-cosx+sin2x-cos2x+ce x (0=002 9、f (x)=x : f (t)dt- j : tf (t)dt+ex 上式两边关于x求导数，冇f ' (x)=丿 ° f (t)dt+xf (x) -xf (x) +ex, f * (x) = j q f (t)dt+ex f"(x)=f(x)+ex记y=f (x),则上式是二阶常系数非齐次微分方程，即 y'&

19、#187;-y=ex (1)yn-y=o的通解是y'=c®+c2，5 c?为任意常数.由于入"是y"-y=o的特征方程r2-l = 0的单根，所以设“xh是方程(1)的一个特解，于是右1 石d =万=aez+axez 与 =2ae x+axex.将它们代入方程(1)得一于是方程(1)的通解为丄oy=c 已 +c e "+ xgx(2 )/(0)=1 十 g这里&为任意常数.从已知条件可求得，f(0)=1, f1(0)=1并代入方程(2),得1= g - g -冷=1益xi解/lqkt所求函数心30、f (x) =x3+l-x j 0 f

20、(t)dt+ j tf (t)dt.求导，化去变上限积分.两边求导得f ' (x) =3x2-丿 ° f (t)dt+xf (x) +xf (x) =3x2-丿 ° f (t) dt两边再对x求导得f” (x) =6x-f (x),即化为一个二阶常系数非齐次方程y"+y=6x. 要求解这个方程，先确定初始条件.由原条件f (x) =x5+l-x j ； f (t) dt+ - ' tf (t) dt,得f (0) =1.由f 1 (x) =3x2- j *' f (x) dt,得f ' (0) =0.因jfljf (x)为方程yh+

21、y=6x满足初始条件f (0)=1, f ' (0)=0的特解.对于方程y"+y=6x先求对应齐次方程的通解y c。其对应齐次方程为y"+y=0,特征根为r=±i,所以ycosx+cinx再求y”+y=6x的一个特解y” 因为入=0不是特征根，故可设y*=ax+b,则y*1 =a, y*11 = 0.比较系数0+ax=6x,即a=6, b=0, 所以y*=6x.所以y”+y=6x 的通解 y=ccosx+c2sinx+6x.所以 y=cosx- 6sinx+6x.131、/（工）= -2c三厂卜2.32、以y'$石除方程两端，得cljdcjt1)丄

22、 1 i _dr x令z=y1,则上述方程成为dz 1|z /hrdj这是一个线性方程，它的通解为以y）代z,得所求方程的通解为化为由 x=0,(：导(lrur) 1rz-j l + b33变形，两边积分得1 了？1+ *ln1+b1+h代入上式得c=2于是所求方程特解为2x2+y2=l34、将原方程两边同除以cosx,得d v3'taihr= taitrclz-这是一个线性方程，由公式(2.8.3)解得/ tanxdx r r ,- / tanxdx n iy=e j tanxe dx+cj化简得cost得y * +2y=2x丄求得y =c0 +x- 21 2 =2i-文，即35&g

23、t; 设f (x) =y,则f 1 (x) =y1方程两边求导,f (x)='9由条件，取x=0时，易得y=f (0)=0,代入上式得-所以所求函数丄严+一 1v v曲线与直线- 1相切.斗 +1 y7 l得其切线斜率丄所以斜率相等.而由秽=乂得y' = f xdx= x'+c.ix'+i36、由'i -y / =l ,于是v =万(疋=) 把也代入上式得曲于曲线过点m(0, 1),代入上式得c2=所以所求曲线为=” + 疋 + 16 237、因为9-由于所求刀=1= 铝屈后是4>isp=匕 的p级数，一定收敛，从而级数<丄 y -,由于耳”

24、'1讥” + 1) 3收敛.38、解 散.sri= i711 i r 1140、解这种方法失效.(1+丄因为' nv1收敛，所以铝"5 + 1)g4>js3=攀-1詆y心】，由于斤i 发散，所以«=利用比值法，可知也收敛.39、"+ 1也发e?,j<0=limrfoa j>11+丄n /limy,即u“>uj从而ho,原级数发散.41、因为级数收敛，所以由收敛的必要条件可知一般项的极限 l u同理，级数比=°收敛，所以由收敛的必耍条件可知一般项的极限42、gera(1)oc t(益)g=工n= 1n-1oz必_ v

25、'力-11 - ji：自己求）对两边积分得1flj忖=1 1u 1 ckr inr工1 |其中，对结果中丽一半再求导:而（1）式第2部分（收敛半径两边积分得（收敛半径自己求）一 1 r 1 （1 jr.） +收敛半径取以上两个收敛cosn= i=-xln(1-x)-2x-21n(1-x)亠 (_ 1严门（1 工）+ 二厂）d* =一 "n（ 1 工）十 243、cosn= (-1) n=l, 2,.原级数转化为sh=+ 十1 <这是个交错级数.因/rfl+1 ,且1lim , 亠=0“i j n + + 1 !> ijn + 1 + 11则它是收敛的.而(一 l)

26、r，coh= 1/ ? + f + 1是发散的.所以原级数是条件收敛的.44、见=2” sin需j ,则limri » |wn+llim=2 lim2rjsin 3”所以原级数绝对收敛.注意：此题级数円145、由于oo工2”血寻与级数工;j«=1sin3"tt smsin 3"收敛性判定的区别!limu f xk±llimln(” + 2)n + 1al |l b. b. a x-* 8n十2ln(zz + 1)所以收敛半径r=lcxj=lim " lim 并-nz川f e当时，原级数为?rln（" + 】）（）m,它是一个

27、交错级数，且通项单调递减，趋于零，故它是收敛的;cj当时，原级数为畀=1它是一个正项级数，由于通项n（n + 1.1ft 一 1'" 1,由比较判别法和调和级数敛散性知，它是发散的.所以，原级数的收敛域为-1, 1）.46、这是一个缺偶次项的幕函数，由lim“一ac 1wi （兀）1 1 v%（77 + l）x2?il35nm?r （工）iini幵一* g5加'_工（士 1）2?711x hj了时，原级数变为"=】所以原级数的收敛半径是尺=岳，收敛域是（扬，站8v 5 n,通项不趋于零，故它是发散的.47、方法一令y=2x+l,则原慕级数化为"=o

28、o丫讥 ” +1）（± 1）”当y=±：l时，幕级数化为"=1,因其通项不趋于零，故该级数发散所,由收敛半径公式得新幕级数的收敛半径r=l以vxvo.? + i）y的收敛域为-l<y<l,从而原幕级数的收敛域是-l<2x+kl,即7dc：记和函数5（ j'） =“5 + 1两边积分得co«= icoy（y _scy）dy = | 7?（?z + l）ydy =工0j n 幵=i”=nyrl"1 dy =°心1对上式求导得g川=1故jn=l-s( y) = n(n + 1 )yn土-1(<1)(1 川(/

29、s(1 一 y)因此，原幕级数的和函数为qo工 n(n + 1)(2丁 1)"“=】rxi2>(” + l)w方法二 为了求幕级数n=,的和函数，对几何级数c、1> =宀1"=】两边求导，得(i y i<1)1ft= l对该等式两边乘以y2后求导，得(1 ww = 1即得(w ri = i(t=r1)八(1二亍< 1)48、将有理分式部分分式化为c 、：' + 3工一4工7<")= 3-104.r1一4工+专厂1 =工丹（1 工 1）i j? z_由基本展开式w=02占+专= s<r + fsh = nj «=

30、o ' 0w=|jcxi4"- ht r 13"g4 + s（-n 2ft 0幵=1且 f （0）=1.49、因/3=尹一2工一33 ihwjl-igtw扪*工 + 4 |<所以所求的幕级数为3丿3（| "4 |<3）=_ *£ （缶 + 需）（工 + 4）“寸n050、由 a（4,q,1）和 b（3, o）2）得（-1，一屈1）,且易得iai31 =典=2cos«f=c0s5 0方向余弦：2'方向角:在x轴上的投影prj ab=-1,就是向量在x轴上的分向量.2, 1)得prj皿=1 a i： cos(a)= i

31、ab |52、入a+pb与z轴垂直的充要条件为(入4+pb) (0, 0, 1)=0.而 入a+|ib=(3入，5入，-2入)+ (2p, p, 4p) = (3入+2p, 5入+i, 4p-2x) 所以 (3x+2p, 5x+p, 4卩-2入)(0, 0, 1) =0 即 -2入+4|i=0, x=2p故当且仅当入=2p时，2+pb与z轴垂直.2)由叉积的定义有53、ab =(2, 4,就=(。,a ab x b c 24 1 6i 一 4 j 4 a:51、由# (4, -3, 4) , b= (2,=土所求单位向量为(6,-4?-4) j 6 + ( 4)? + (4)?54、设三点分别

32、是a, b, c,则八"x八就是这一平面的法向量，ab =(_3, 一3, 3),a(0, -2, 3),因而所求平面的法向量为n -abx 疋»j-3 -30 -2从而平面方程为-3(x-1)+9(y-1)+6(z+1)=0a即x-3y-2z = 055> a"=( -4, 2, 1)是所求直线的方向向量，故所求的直线方程为a- 3 y + 2 z 1-42156、由已知直线的方向向量即为所求平面的法向量ij *n = x nz =1 21 = 16/ 4- 14j + 1 h35 2 |由点法式得所求平面方程为-16(x-2)+14(y-0)+11(z+3)=0即16x-14y