第5章_插值法

1、第五章第五章 插值法插值法 实践中有些实践中有些函数解析式未知函数解析式未知，或虽有明确，或虽有明确解析式，但解析式，但计算复杂计算复杂，这时需要用比较简，这时需要用比较简单且易于计算的函数单且易于计算的函数p(x)去近似代替它，使去近似代替它，使得得 p(xi)= yi (i=0,1,2,n) 这类问题称为这类问题称为插值问题插值问题。函数。函数p(xi)称为称为插插值函数值函数。 x0,x1, xn称为称为插值节点插值节点或简称节或简称节点。插值节点所在的区间称为点。插值节点所在的区间称为插值区间插值区间。p(xi)= yi 称为称为插值条件插值条件。预备知识预备知识多项式的插值问题多项式

2、的插值问题构造构造n次多项式次多项式Pn(x)= a0 + a1x + a2x2+ anxn使满足使满足Pn(xi)= yi (i=0,1,2,n)，及利用及利用多项式多项式Pn(x)进行插值计算的问题进行插值计算的问题。预备知识预备知识1.1 差差 商商 差商的定义差商的定义 f(x)在在xi点的点的零阶差商零阶差商为为 fxi= f(xi) (i=0,1,2,n) f(x)在在xi,xj上的上的一阶差商一阶差商为为ijijijijjixxxfxfxxxfxfxxf )()(, f(x)在在xi,xj,xk区间上区间上一阶差商一阶差商之差商为之差商为二阶差商二阶差商ikjikjkjixxxx

3、fxxfxxxf ,120101220 ,f x xf x xf x x xxx例例如如：1.1 差商差商区间区间xi,xi+1,xi+n上的上的n阶差商为：阶差商为：121111iiiii nii nii nii nniffxfxxxxxxxxxxx ,.,., ,.,231212331, , ,f x xf x xf x x xxx例例如如：1.1 差商差商差商表差商表xifxifxi,xi+1fxi,xi+1,xi+2fxi,xi+1,xi+2x0f(x0)fx0,x1x1f(x1)fx0,x1,x2fx1,x2fx0,x1,x2 ,x3x2f(x2)fx1,x2,x3fx2,x3x3f

4、(x3)1.1 差差 商商例例5.15.1 试列出试列出f(xi)=x3在节点在节点x=0,2,3,5,6上的各阶上的各阶差商值。差商值。xifxifxi,xi+1fxi,xi+1,xi+2fxi,xi+1,xi+200(8-0)/(2-0)=428(19-4)/(3-0)=5(27-8)/(3-2)=19(10-5)/(5-0)=13 27(49-19)/(5-2)=10(125-27)/(5-3)=49(14-10)/(6-2)=15 125(91-49)/(6-3)=14(216-125)/(6-5)=916 2161.1 差差 商商 如以如以x代表时间代表时间t,f(x)代表路程代表路

5、程s,则一阶差商为则一阶差商为 si/ ti=Vi，它相当于在，它相当于在ti, ti+1范围内的一范围内的一种平均速度，二阶差商则为上述平均速度种平均速度，二阶差商则为上述平均速度的平均变化率，即平均加速度的平均变化率，即平均加速度,所以差商所以差商表的数值可以直接反映出函数值的变化情表的数值可以直接反映出函数值的变化情况。况。 差商的重要特性差商的重要特性对称性对称性，即差商的值，即差商的值与同组节点排列的次序无关。与同组节点排列的次序无关。1.1 差差 商商100101100101100110 ()( ),()( ) ,f xf xf xf xf x xxxxxf xf xf x xxx

6、xx102112012110012202002202110201120212010102202121120( )()()( ) ,()( )( )()()()()()()( )()()()()()()(f xf xxxxxxxxxxxxxf xxxf xf xf xf xf x xf x xxxxxf x x xxxxxf xf xxxxxxxxxxxxxfxx211011010010202010220221()()()()()()()()( )()()()()xxxf xxxxxf xxxxxf xf xxxxxxxxx1.1 差差 商商020210102202111012()()( )(,

7、()()()(f xf xff xx x xxxxxxxxxxxxx结论：结论：差商值与变量的排列次序无关。差商值与变量的排列次序无关。当当f(x)=Pn(x)为为n次多项式时，可以证明它的次多项式时，可以证明它的n阶差商是一个常量阶差商是一个常量1.2 牛顿基本差商公式牛顿基本差商公式 设设x为插值区间内的一个节点，按照差商为插值区间内的一个节点，按照差商定义，有如下关系式定义，有如下关系式000101012102100210, , , ., ,.ff xf x xxxf x xf x x xxxf x x xf x x x xxf x xf x x xxx1.2 牛顿基本差商公式牛顿基本差

8、商公式由上式逐次解出由上式逐次解出f(x), fx0 ,x, fx1 ,x0 , x, fx2 , x1 ,x0 , x,并代入并代入f(x)得：得：0000010110001000100121001221210001f xf xxxf xxf xxxf x xxxf x xxf xxxff xxxf x xxxxxf xx xxxxxx xxxxxf xx xxxf xx xx( )()() , ()() ,() , ()() ,()() ()() ,()() ,() .(), (.).0110110nnnnnnnnxxxxxxf xxxf xxxP xxxxRx()().() ,.,(.(

9、) ,.), ( )1.2 牛顿基本差商公式牛顿基本差商公式其中其中Pn(x)称为称为牛顿基本差商公式牛顿基本差商公式， Rn(x)称称为为牛顿基本差商公式的余式牛顿基本差商公式的余式。若用若用Pn(x)近似近似f(x),则则误差误差为为Rn(x)。当当x=xi(i=0,1, 2,n)时，时， Rn(xi )=0, Pn(xi)= yi 当当x xi(i=0,1, 2,n)时，时， Rn(xi ) 0, Pn(x) f(x)1.2 牛顿基本差商公式牛顿基本差商公式xifxifxi,xi+1fxi,xi+1,xi+2110.3333342-0.016670.293例例5.2 已知已知x=1,4,

10、9的平方根值，求的平方根值，求71/2解：（解：（ 1 ）建立差商表）建立差商表1.2 牛顿基本差商公式牛顿基本差商公式xifxifxi,xi+1fxi,xi+1,xi+2110.3333342-0.016670.293P2(x)=f(x0)+(x-x0)fx1, x0+ (x-x0) (x-x1) fx2, x1 , x0P2(7)=1+(7-1)0.33333+ (7-1)(7-4)(-0.01667)= 2.69992（2）根据差商表建立）根据差商表建立牛顿基本差商插值公式牛顿基本差商插值公式1.3 牛顿基本差商公式的余式估计牛顿基本差商公式的余式估计f(x)=Pn(x)+ Rn(x)R

11、n(x) =f(x)- Pn(x)Rn(n)(x) =f (n)(x)- Pn(n)(x)=f (n)(x)- f(x0)+(x-x0) fx0, x1+(x-x0)(x-x1) fx0, x1 , x2+(x-x0)(x-x1)(x-xn-1)fx0,x1,xn(n)对余式求其对余式求其n阶导数阶导数:差商与导数的关系Rn(n)(x) =f (n)(x)- Pn(n)(x)=f (n)(x)- n! fx0,x1,xnRn(xi)=0 (i=0,1,.,n)Rn( i)=0 (i=0,1,.,n-1)Rn(n)( )=0 (x0,x1,xn)Rn(n)( )=0=f (n)( )- n! f

12、x0,x1,xn01( )( ),.,!nnff x xxn1.3 牛顿基本差商公式的余式估计牛顿基本差商公式的余式估计差商和导数差商和导数的关系的关系n+1个零点个零点n个零点个零点1个零点个零点01( )( ),.,!nnff x xxn增加新节点增加新节点x，并且，并且f(x)为为(n+1)阶可导时，有阶可导时，有(x0,x1,xn)1011()( ),., ()!nnff x xxxn(x0,x1,xn,x)0101()().() ,., ),(nnnxxxxxRxf x xx xx 101()( )()()!nniifx xn如果如果|f (n+1)( ) | Mn+1101|( )

13、|()|()!nnniiMR xxxn1.3 牛顿基本差商公式的余式估计牛顿基本差商公式的余式估计余式的估计| ).()( |)!1()(| | )(|10) 1(nnnxxxxxxnfxR11|( )|(1)!nnMxnt 7t 61.3 牛顿基本差商公式的余式估计牛顿基本差商公式的余式估计振幅两头大中间小振幅两头大中间小当外插时，其幅值较大，应当尽量避免当外插时，其幅值较大，应当尽量避免结论结论: :Pn (x): 插值节点为插值节点为x0, x1, xnPn (1)(x): 插值节点为插值节点为x1, xn , xn+1Rn (x)=f(x)-Pn(x) 11101()( )()!()(

14、).()nnx x x xfx xnRn(1)(x)=f(x)- Pn(1)(x) 121121()()().( )()!nnx x x xxnxff(x)-Pn(x)f(x)- Pn(1)(x)10 nxxxx1.3 牛顿基本差商公式的余式估计牛顿基本差商公式的余式估计事后估计误差法 在插值区在插值区间上变化不大时间上变化不大时1()( )nfxf(x)-Pn(x)f(x)- Pn(1)(x)10 nxxxxRn (x)=f(x)-Pn(x)101nnnP xx xPxx x( )( )( )1.3 牛顿基本差商公式的余式估计牛顿基本差商公式的余式估计事后估计误差法例例5.9 用插值法求用插

15、值法求 的值。的值。7n解：解：作函数作函数f(x)=x取取x0=4, x1=9, x2=6.25 , x3=4. 84建立差商表建立差商表1.3 牛顿基本差商公式的余式估计牛顿基本差商公式的余式估计xf(x) f xi,xi+1,fxi,xi+1,xi+242936.25 2.54.84 2.20.20.181820.21277-0.00808-0.00744P2(7)= 2+(7-4)0.2+(7-4)(7-9)(-0.00808)=2.64848在区间在区间4,9上，上，355331310011719884( )()().fxMx1.3 牛顿基本差商公式的余式估计牛顿基本差商公式的余式估

16、计1012 12013177772 1747976 250 008793()()( )( )!( )( )!.!nnnnfRxxxxxxxnfRxxxM采用采用事后估计误差事后估计误差方法：方法：xf(x) f xi,xi+1, fxi,xi+1,xi+242936.25 2.54.84 2.20.20.181820.21277-0.00808-0.00744P2(1)(7)=3+(7-9)0.18182 + (7-9)(7-6.25)(-0.00744 )= 2.647521.3 牛顿基本差商公式的余式估计牛顿基本差商公式的余式估计事后估计误差事后估计误差公式：公式：7 4264848 26

17、47524 484000343 .余式近似余式近似0.5*10-2, P2(7)可舍入为可舍入为2.65。1.3 牛顿基本差商公式的余式估计牛顿基本差商公式的余式估计1001( )( ) ( )( )nnnnx xR xP xPxxx2.1 差分差分函数在等距节点上的值为函数在等距节点上的值为y0 y1 yn ，称，称 yi-1= yi - yi-1为函数为函数f(x) 在在xi-1, xi上的上的一阶差分一阶差分。称称 2yi-1= yi - yi-1为函数为函数f(x) 在在xi-1, xi+1上的上的二阶差分二阶差分。称称 kyi-1= k-1yi - k-1yi-1为函数为函数f(x)

18、 在在xi-1, xi+k-1上的上的k阶差分阶差分。差分的概念2.1 差分差分xyy2y3y4yx0y0 x1y1x2y2x3y3x4y4 y0 y1 y2 y3 2y0 2y1 2y2 3y0 3y1 4y02.1 差分差分 y0= y1 y0 y1= y2 y1 y2= y3 y2= y2 2y1 +y0 2y0= y1 - y0 3y0= 2y1 - 2y0= y3 2y2 +y1 (y2 2y1 +y0)= y3 3y2 +3y1 y0 2y1= y2 - y1= y3 2y2 +y1(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3(a-b)2=a2-2ab+b22.1 差分差分 4y0

19、= 3y1 - 3y0= y4 3y3 +3y2 y1 -(y3 3y2 +3y1 y0 )= y4 4y2 +6y2 4 y1 +y0 同理同理: :结论:各阶差分中函数值的系数正好等于各阶差分中函数值的系数正好等于(a-b)(a-b)r r展开展开式中的系数式中的系数(a-b)4=a4-4a3b+6a2b2-4ab3+b32.1 差分差分等距节点等距节点情况下情况下xi= x0+ih ，用用差分差分表示表示差商差商：010110,xxxfxfxxf =y1 y0h= y01!hfx1 , x2=y2 y1h= y11!hfx0,x1,x2=fx1,x2- fx0,x1x2 x0= y11!

20、h y01!h2h= y1- y02h2= 2y02!h2fx1,x2,x3=fx3,x2- fx2,x1x3 x2= y21!h y11!h2h= y2- y12!h2= 2y12!h22.1 差分差分fx0,x1,x2 ,x3= 2y12!h2 2y02!h23h= 2y1 - 2y02*3h3= 3y03!h31niiii nnyf x xxn h,!建立等距节点的建立等距节点的牛顿基本差商牛顿基本差商公式公式:000101210011110010( )()() ,()() ,.()().() ,.()().() ,.,nnnnnnf xf xxxf xxxxxxf xx xxxxxxx

21、f xxxxxxxxxxf xxxfx0 , x1= y01!hfx0,x1,x2= 2y02!h2fx0,x1,x2 ,x3= 3y03!h3根据差分与差商的关系，用根据差分与差商的关系，用差分差分代替差商代替差商:2.2 牛顿前向插值公式牛顿前向插值公式0001012100111101000110( )()() ,()() ,.()().() ,.,()().() ,.,.,!,.!.,nnnniiii nnnnnnnnnxxxxxxf xxxf xf xxxf xxxxxxf xx xxxxxxxyf x xxn hyf xxxnxhf xxxPn(x)=y0+(x-x0) y01!h+

22、(x-x0)(x-x1) 2y02!h2+(x-x0)(x-x1) (x-xn-1) ny0n!hn牛顿前向插值公式牛顿前向插值公式2.2 牛顿前向插值公式牛顿前向插值公式0 xxth令令x-xi=(x-x0)- (xi-x0)=(t-i)hPn(x)=y0+ th y01!h+ th(t-1)h 2y02!h2+ ny0n!hnth(t-1)h (t-n-1)h y01!hPn(x)=y0+(x-x0)+(x-x0)(x-x1)+(x-x0)(x-x1) (x-xn-1) ny0n!hn 2y02!h2牛顿前向插值公式变为牛顿前向插值公式变为:2.2 牛顿前向插值公式牛顿前向插值公式2.2

23、牛顿前向插值公式牛顿前向插值公式Pn(x)=y0+ th y01!h+ th(t-1)h 2y02!h2+ ny0n!hnth(t-1)h (t-n-1)h ny0n!Pn(x)=y0+ t y01!+ t (t-1) 2y02!+t (t-1) (t-n-1)0022010.ycycycynnttt 121itt tttici ()().()!iti 2.2 牛顿前向插值公式牛顿前向插值公式11101111nnnnnfhfRxxxxxxxt tnntn()( )()()()!( )( )()()()()!牛顿前向插值余项公式牛顿前向插值余项公式:2.3 牛顿后向插值公式牛顿后向插值公式xyy

24、2y3y4yx0y0 x1y1x2y2x3y3x4y4 y0 y1 y2 y3 2y0 2y1 2y2 3y0 3y1 4y02.3 牛顿后向插值公式牛顿后向插值公式在等距节点情况下，以在等距节点情况下，以xn xn-1 x0顺序建立顺序建立牛顿基本差商公式牛顿基本差商公式111211110nnnnnnnnnnnnnnxxx xxxx xxP xfxfxxxx xxxfxfxxxx ( )() () ()() . ()(,.).,()fxn , xn-1= fxn-1 , xn= yn-11!hfxn,xn-1,xn-2=fxn-2,xn-1,xn= 2yn-22!h21niiii nnyf

25、x xxn h,.,!2.3 牛顿后向插值公式牛顿后向插值公式111211110nnnnnnnnnnnnnnP xf xxx f x xxxxxf x xxxxxxxx f x xx x ( )() () ,()() ,. ()().() ,., , 3yn-3fxn,xn-1,xn-2 ,xn-3= fxn-3, xn-2,xn-1,xn=3!h322211! 2)(! 1)()(hyxxxxhyxxyxPnnnnnnn 牛顿后插公式nnnnhnyxxxxxx!).()(.011 nx xth令令x-xn-i=(x-xn)- (xn-xn-i)=(t+i)h yn-11!hPn(x)=yn+

26、(x-xn)+(x-xn)(x-xn-1)+(x-xn)(x-xn-1) (x-x1) ny0n!hn 2yn-22!h22.3 牛顿后向插值公式牛顿后向插值公式Pn(x)=yn+ th yn-11!h+ th(t+1)h 2yn-22!h2+ ny0n!hnth(t+1)h (t+n-1)h2.3 牛顿后向插值公式牛顿后向插值公式Pn(x)=yn+ th yn-11!h+ th(t+1)h 2yn-22!h2+ ny0n!hnth(t+1)h (t+n-1)h211221110202112121nnnnntntnt nnnnyyP xytt tyt tttnycycnycy ( )()!()

27、(!.(.)121itt tttici()().()!2.3 牛顿后向插值公式牛顿后向插值公式11101111nnnnnfhfRxxxxxxxt tnntn()( )()()()!( )( )()()()()!牛顿后向插值余项公式牛顿后向插值余项公式:xyy2y3y-1-10113211例例5-3 用牛顿等距用牛顿等距插值插值公式求公式求y(1.5)根据已知条件可知根据已知条件可知x=1.5, h=12286602.3 牛顿后向插值公式牛顿后向插值公式2120121121nnnnnyyP xtt tt tttnyny()()()()( )!23332101121 5123()()()( . )

28、!tt tt ttPyyyy1 520 5.nxxth 2.3 牛顿后向插值公式牛顿后向插值公式386611112123( )()()()!P xtt tt tt22866015 2051nx xth.3861 5110 50 50 511260 50 510 523P ( . )(. )(. )(.)!(. )(.)(.)!2.4 斯梯林插值公式（斯梯林插值公式（1）hxxt0 111xxtth x-1x0y0 x1y1 y-1 y0 2y-1P2(1)(x)=y-1+ t-1 y-11!+ t-1(t-1-1) 2y-12!=y-1+ (t+1) y-11!+(t+1)(t+1) -1)

29、2y-12!=y-1+ y-1+ t y-11!+(t+1)t 2y-12!1221110 ycycytty-111!()!()()!)!)(mnnmnnCm nmnnmmnm2.4 斯梯林插值公式（斯梯林插值公式（2）hxxt0 111xxtth x-1x0y0 x1 y-1 y0 2y-1y-111!()!()()!)!)(mnnmnnCm nmnnmmnmy1P2(2)(x)=y1+ t1 y01!+ t1(t1+1) 2y-12!=y1+(t-1) y01!+(t-1)(t-1)+1) 2y-12!=y1- y0+ t y01!+(t-1)t 2y-12!122010 ycycytt2

30、.4 斯梯林插值公式（斯梯林插值公式（3）令P2(x)=P2(1)(x)+ P2(2)(x)22222110221210101101101222tttttttyyycycycycccycyyy P2(2)(x)122010 ycycyttP2(1)(x)1221110 ycycytt2.4 斯梯林插值公式（斯梯林插值公式（3）令P2(x)12212011022 yccyycyttt22121010122( )ttntyyccP xycy 24424113233122 yccyycttt.22.222111212121 kkkktkktkkkkkktyccyyc斯梯林插值公式斯梯林插值公式2.4

31、 斯梯林插值公式斯梯林插值公式x-1y-1y-13y-25y-3x0y02y-14y-26y-3y03y-15y-2x1y112212011022)( yccyycyxptttn24424113233122 yccyyctttkkkktkktkkkkkktyccyyc 22211121212122+.+.52tC 63tC41tC42tC31tC2tC21tC1tC62tC2.4 斯梯林插值公式斯梯林插值公式22111122221112 221212122121 21 ()!()!()!()!()!()!()!()!()!()!()!()!()()()()!()kkt kt ktktkCCkk

32、tktktktktkktktktktktkkkkktktktktkkkkkt 2222111121 ()()()!()(tkkt tttktkkk 2.4 2.4 斯梯林插值公式斯梯林插值公式 21221kktkktcc22112 21()()()!kktkktk 212111211()()()(kkttkttkkkk 211() )()(ktttkkk tktk2)1(12 21221kktkktcctktkk2 .)1()!2(12112 tktkk12)1()!2(1 )1).(2)(1()!2(1222222 kttttk2.4 斯梯林插值公式斯梯林插值公式21122211212112

33、121211112111121 ()!()!()!()!()!()!()!()!()!()()()!()()()!()kt ktktkCkktkktktttkkktkktkttkkkkktkkkkttt 21) ) 2.4 斯梯林插值公式斯梯林插值公式3622222535222242213232122010)2)(1(! 612)2)(1(! 51) 1(! 412) 1(! 31! 22! 1)( ytttyytttyttyyttytyytyxpn+.2423131224121323241233122401230124101312310411312411111ttttttttttttttyy

34、yyyyyyyyyyyyyCCCCCCCCCCCCCCyy2.3 费雷瑟图表及使用方法费雷瑟图表及使用方法正斜率：该正斜率：该差分差分与与位于其下面的二项式位于其下面的二项式系数之积作为项；系数之积作为项；负斜率：该负斜率：该差分差分与与位于其上面的二项式位于其上面的二项式系数之积作为项；系数之积作为项；水平：水平：二项式系数二项式系数与位于其上下的差分与位于其上下的差分的算术平均值之积作的算术平均值之积作为项；为项； 水平：水平：差分差分与位与位于其上下的于其上下的二项式二项式系数的系数的算术平均值算术平均值之积作为项；之积作为项； 2.4 斯梯林插值公式斯梯林插值公式例例5.75.7已知下

35、述数值表已知下述数值表, ,求当求当x x=6.1=6.1时对应的函数值。时对应的函数值。xyy2y3y6.00 1.87276.04 1.87896.08 1.88496.12 1.89106.16 1.89700.006123050.006085870.006049120.00601282-0.00003718-0.00003675-0.000036300.000000430.00000045x=6.1y 1.8849+0.51!*0.00608587+ 0.006049122+0.522!*(-0.00003675)+0.5*(0.52-1)3!*0.00000043 + 0.00000

36、0452=1.88802239h=0.04x0= 6.0861 60800405.t x-1y-1(1)x0y0 x1y1(2)x2y2 y-1 y0 2y-1 y1 2y0101222000tttpxC yC yCy( )( ) 1221011)2(211)( ycycyxptt01222 1101tttC ycycy 2)()()()2(2)1(22xpxpxp 22212022011110 yycyccyyttt11tC 2tC1tC2.5 贝塞尔插值公式贝塞尔插值公式01tC 02tC 21tC 21tC 0tC2.5 贝塞尔插值公式贝塞尔插值公式.222)(12022011110 y

37、ycyccyyxptttn.2221221112122121 kkkkkktkkkktkktyycyccx-1y-11y-13y-25y-3x0y02y-14y-26y-31y03y-15y-2x1y12y04y-16y-352tC 41tC31tC2tC1tC62tC贝塞尔贝塞尔斯梯林斯梯林11tC3tC51tC 2.5 贝塞尔插值公式贝塞尔插值公式21211212kkt kt kcc 22111121212()( )!kktkkkt 2222222221()()kktktkktktk 2212222()()ktkktktk )12()2(22 tktk 21221kktkktcc22)2)

38、(21()!12(1 kkttk22112()!()!kkt ktkCk 2.5 贝塞尔插值公式贝塞尔插值公式 21221kktkktcc22)2)(21()!12(1 kkttk22112()!()!kkt ktkCk 2222301122001211221212112212111121222322 ()!()!()()( )()()!()!nkkkkkkkkyytyytP xtyttyytyktkykk 注意观察通式变化的规律2.5 贝塞尔插值公式贝塞尔插值公式当当t=1/2时，贝塞尔公式变为：时，贝塞尔公式变为：2266420110322122212135( )2821282102421

39、35 (21)( 1)2 (2 )!2nnnnnnnyyyyyyyyP xyynn 称为称为中点贝塞尔插值公式中点贝塞尔插值公式。可利用该公。可利用该公式来加密表格值。式来加密表格值。 斯梯林插值公式斯梯林插值公式和和贝塞尔插值公式贝塞尔插值公式都称为都称为中中心差分公式心差分公式，它们都可用于，它们都可用于x位于插值区间中位于插值区间中部插值计算用部插值计算用.2.5 贝塞尔插值公式贝塞尔插值公式例例5.8 已知数值表，求已知数值表，求sin0.57的近似值的近似值xsinxy2y3y0.40.389420.50.479430.60.564640.70.644220.090010.08521

40、0.07958-0.00480-0.00563-0.000830057 0501.x xth =0.7x0= 0.522223011030111110 572122232 ( .)()()!yyyytPtytty 0.47940.5646t=0.7y0=0.085t(t-1)t=0.72y-1=-0.004802y0=-0.005633y-1=-0.0008330 570 57sin .( .)P 2.5 贝塞尔插值公式贝塞尔插值公式斯梯林斯梯林插值公式和插值公式和贝塞尔贝塞尔插值公式的插值公式的区别区别：u插值节点相对于插值节点相对于x的对称分布的对称分布-斯梯林插值斯梯林插值014xxth

41、x靠近某插值节点靠近某插值节点的对称分布的对称分布u插值节点相对于插值节点相对于x的对称分布的对称分布-贝塞尔插值贝塞尔插值0111224xxthx靠近相邻两节点的中点时靠近相邻两节点的中点时3 不等距节点下的拉格朗日插值不等距节点下的拉格朗日插值3.1 公式的建立思路思路: :根据差商公式，求得的根据差商公式，求得的f(x)即可。即可。010112020000011111110nnnnnnnnnnff xxxxxxxfxxxxxxxxxxxxxxxxfxxxfxxxxxxxxxxxx()( ), ()()()()()()()()()()()()()()()() 3 不等距节点下的拉格朗日插值

42、不等距节点下的拉格朗日插值f(x) =(x0 x1)(x0 x2)(x0 xn)(xx1)(xx2) (xxn)f(x0)+(xix0)(xixi-1)(xixi+1)(xixn)(xx0)(xxi-1)(xxi+1)(xxn)f(xi)+(xnx0)(xnx1) (xnxn-1)(xx0)(xx1) (xxn-1)f(xn)+ Rn(x)= Ln(x) + Rn(x)拉格朗日拉格朗日插值公式插值公式ai(x)0101( )()()() , nnnR xxxxxxxf x xxx3.2 拉格朗日插值公式的系数表达式ai(x)=(xix0)(xixi-1)(xixi+1)(xixn)(xx0)(

43、xxi-1)(xxi+1)(xxn)()(0jijijjnixxxxxa )()()(00jiijjnjijjnixxxxxa 3 不等距节点下的拉格朗日插值不等距节点下的拉格朗日插值011011( )iiniiiiiiinxxxxxxxxa xxxxxxxxx011011()()()()( )()()()()iiniiiiiiinxxxxxxxxa xxxxxxxxxai(x)=(xix0)(xixi-1)(xixi+1)(xixn)(xx0)(xxi-1)(xxi+1)(xxn) )()()(11iinnixxxxxa )(1xn(xx0)(xx1)(xxn)ai(x)=(xix0)(xi

44、xi-1)(xixi+1)(xixn)(xx0)(xxi-1)(xxi+1)(xxn)xxixxi= )(1xn(xix0)(xixi-1)(xixi+1)(xixn)(xxi)3 不等距节点下的拉格朗日插值不等距节点下的拉格朗日插值 )(1xn(xx0)(xx1)(xxn) )(1xn(xx0)(xxi-1)(xxi+1) (xxn).(xxi)=(xxi)(xx0)(xxi-1)(xxi+1) (xxn)+(xxi)(xx0)(xxi-1)(xxi+1) (xxn)=(xx0)(xxi-1)(xxi+1) (xxn)+(xxi)(xx0)(xxi-1)(xxi+1) (xxn) )(1in

45、x(xix0)(xixi-1)(xixi+1) (xixn) )()()(11iinnixxxxxa3 不等距节点下的拉格朗日插值不等距节点下的拉格朗日插值ai(x)=(xix0)(xixi-1)(xixi+1)(xixn)(xx0)(xxi-1)(xxi+1)(xxn)ai(x)=x=xj xi0 x=xi10( ) 1niia x3 不等距节点下的拉格朗日插值不等距节点下的拉格朗日插值设设 为为n n+1+1个互异节点，个互异节点，为这组节点上的为这组节点上的LagrangeLagrange插值基函数，试证明：插值基函数，试证明：01,nx xx( )(0,1, )ia x in0( )(

46、 )nniiiL xa x y3 不等距节点下的拉格朗日插值不等距节点下的拉格朗日插值证明：如果证明：如果f(x)=1,则则n+1个节点处的值均为个节点处的值均为1，则，则它的它的n次插值多项式为：次插值多项式为：对任意对任意x，插值余项为：，插值余项为：0( )( )nniiL xa xn+11( )( )( )( )( )0(1)!nnnfR xf xL xxn则则0( )( )( )1nniiL xa xf x例例5.4 已知已知x=1,4,9的平方根值，用拉格朗日插值公式的平方根值，用拉格朗日插值公式求求71/2(x0 x1)(x0 x2)(xx1)(xx2)f(x0)+(x1x0)(

47、x1x2)(xx0)(xx2)f(x1)+(x2x0)(x2x1)(xx0)(xx1)f(x2)L2(7) =x0=1, x1=4, x2=9f(x0)=1, f(x1)=2, f(x2)=3 (14)(19)(74)(79)* 1+(41)(49)(71)(79)* 2+(91)(94)(71)(74)* 3= 2.7L2(x) =解：解：3 不等距节点下的拉格朗日插值不等距节点下的拉格朗日插值当当 时时3.3 拉格朗日插值计算中的舍入误差拉格朗日插值计算中的舍入误差0*( )( )nniiiL xa x y )()()(0iiniiinyyaxaxL niniiiyxa00)( yi ai

48、(x)+ ai yi + ai yi 00 ( )(|( )|)nniiiiiiiiiia xya yy a xa y 0(| ( )| |)niiia xy带星号的表达带星号的表达式为精确值式为精确值高阶量可以略去|iiya 当当 为精确值时，为精确值时，( )ia x0ia0(| ( )|)niia xy当拉格朗日插值公式中有负系数出现时，会放当拉格朗日插值公式中有负系数出现时，会放大大 的舍入误差。的舍入误差。3.3 拉格朗日插值计算中的舍入误差拉格朗日插值计算中的舍入误差iy00( )1,( )0|( )|1, ( )00nniiiiiia xa xa xa x全部大于全部大于部分大于

49、 ，部分小于部分大于 ，部分小于例例5.10 估计用线性插值法计算估计用线性插值法计算lg47时的误差限。时的误差限。解：应用解：应用n=1的拉格朗日插值公式的拉格朗日插值公式10100101yxxxxyxxxxy 取取x0=45, x1=48,0147 4847 454745 4848 45lgyyy 106666667. 03333333. 0yy =1.671898401| ).()(|)!1()(| )(|10)1(1nnxxxxxxnfxR )(lg2110 xxxx (45,48)xgex1)(lg 2243. 0lg)1()(lgxxexgex 3.3 拉格朗日插值计算中的舍入误

50、差拉格朗日插值计算中的舍入误差321102 . 0| )4847)(4547(4543. 021|)( xR |)| )(|0iniiyxa =(0.3333333+1.6532126) 0.5 10-7+(0.6666667+1.6812413) 0.5 10-7 0.2 10-6总误差为：总误差为：=0.2=0.2 1010-3-3+ + 0.20.2 1010-6-6= 0.2= 0.2 1010-3-3对于对于y=1.671898401y=1.671898401可取可取y=1.672y=1.6723.3 拉格朗日插值计算中的舍入误差拉格朗日插值计算中的舍入误差截断误差截断误差舍入误差舍

51、入误差 例例5.11 有有8位位sinx的函数表，采用拉格朗的函数表，采用拉格朗日插值公式求日插值公式求1.75时的函数近似值，问公时的函数近似值，问公式应取几项式应取几项? 解：采用尝试法确定公式项数解：采用尝试法确定公式项数n（1）取）取x0=1.74, x1=1.76,10174. 176. 174. 175. 176. 174. 176. 175. 1)(yyxL )(2110yy -41sin( )|(1.75 1.74)(1.75 1.76)|2!0.5|(1.75-1.74)(1.75-1.76|(1.7)|=0.55)10|R8880.5 (0.5 100.5 10 ) 0.5

52、 103.3 拉格朗日插值计算中的舍入误差拉格朗日插值计算中的舍入误差（2）取）取x0=1.74, x1=1.76, x2=1.78,2012175 176 175 178174 176 174 178175 174 175 178175 174 175 176176 174 176 178178 174 178 176( . )( . )( )( . )( . )( . )( . )( . )( . )( . )( . )( . )( . )L xyyy 210125. 075. 0375. 0yyy 26sin ( )|(1.75 1.74)(1.75 1.76)(1.75|(1.75)|

53、1.78)|3!0.5 10R88(0.375 0.75 0.125) 0.5 100.625 103.3 拉格朗日插值计算中的舍入误差拉格朗日插值计算中的舍入误差（3）取）取x0=1.72, x1=1.74 x2=1.76, x3=1.78,301230062575056250562500625( ).L xyyyy 21175 172 175 174 175 176 171755 1783R|( .)( .)( .)( .|( . )|!|. =0.375*10-88(0.0625 0.5625 0.5625 0.0625) 0.5 10=0.625 10-8取四项比较恰当取四项比较恰当.

54、此时符合误差分配原则。此时符合误差分配原则。3.3 拉格朗日插值计算中的舍入误差拉格朗日插值计算中的舍入误差4 等距节点下的拉格朗日插值公式等距节点下的拉格朗日插值公式等距节点下的拉格朗日插值公式xi=x0+iht =x-x0hxi-ih =x0t =x- (xi-ih) ht =x-xi+ihhx-x0 + x0 - xi=th-ihx-xi=h(t-i)().()().()().()().()()(011101110ininiiiiiiiniinxfxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxL ni 0th(t-1)h(t- i-1)h(t- i+1)h(t-n)hih(i-1)h2h 1

55、h(-1)h(-(n-i)hf(xi) ni 0t (t-1) (t- i-1) (t- i+1)(t-n)i (i-1)2 1 (-1)(-(n-i)f(xi) ni 0t (t-1) (t- i-1) (t- i+1)(t-n)i!(-1)n-i(n-i)!f(xi)(t-i)(t-i) ni 0(-1)n-itn+1i! (n-i)! (t-i)f(xi)4 等距节点下的拉格朗日插值公式等距节点下的拉格朗日插值公式4 等距节点下的分段线性插值等距节点下的分段线性插值1.等距零次多项式插值等距零次多项式插值nabh ihxxi 0y=y0 (x0 xx1) y1 (x1 xx2) . yn

56、 (xn-1 xxn) 0hxxi 4 分段插值分段插值2.分段线性插值分段线性插值011010101100100(1)( )()xxxxthhtL xyyyyxxxxhhyyy txxth 当当n=1时，时，nabh x0 x1 xi+1xix-x04 分段插值分段插值2.分段线性插值分段线性插值1111111(1)( )()iiiiiiiiiiiiiixxxxthhtL xyyyyxxxxhhyyy txxth 当当 时，时，nabh x0 x1 xi+1xix-x0,1 iixxx22221112( )( )()()(1)2!28iitMMfR xxxxxh t th4 分段插值分段插值

57、2.分段线性插值分段线性插值nabh ihxxi 0,1 iixxxixxthtyyyxyiii)()(1 0hxxi 0hxxt x0 x1 xi+1xix-x0hxxxxhxxii00 = t + i取整运算取整运算取小数运算取小数运算4 分段插值分段插值3.等距三点插值等距三点插值ihxxi 0设设xk-1xkxk+122hxxhxkk )2(0hxhxk L2(x) =(xk-1xk)(xk-1xk+1)(xxk)(xxk+1)yk-1 +(xkxk-1)(xkxk+1)(xxk-1)(xxk+1)yk+(xk+1xk-1)(xk+1xk)(xxk-1)(xxk)yk+1 =-h(-2

58、h)th (t-1)hyk-1 +h(-h)(t+1)h (t-1)hyk +2h h(t+1)h thyk+1hxxtk =2t(t-1)yk-1 +-1(t2-1)yk +2(t+1) tyk+14 分段插值分段插值)2(0hxhxk hxxtk hkhxx)(0 hkhxx )(0khxx )(0 x0 x1x2xn-1xnxn-201/2,1kxxhkxx11/2,nknxxhknxx或者利用或者利用x0, x1, x2的三点插值公式计算出的三点插值公式计算出y-1，然后使用，然后使用x-1 , x0, x1来计算来计算x；5 插值公式的唯一性及其应用插值公式的唯一性及其应用w牛顿基本

59、差商公式在精度不够的情况下，需再增加一牛顿基本差商公式在精度不够的情况下，需再增加一个节点时，只需在原来的结果上增加一项。个节点时，只需在原来的结果上增加一项。5.1 插值公式的唯一性插值公式的唯一性条件：条件： 插值节点相同插值节点相同反证法：反证法：假设有两个不同的插值多项式假设有两个不同的插值多项式Pn(x),Q n(x)，则，则Gn(x)=Pn(x)-Q n(x)为次数不超过为次数不超过n的多项式，根据插的多项式，根据插值条件可知，值条件可知，Gn(x)有有n+1个零点。与其为不超过个零点。与其为不超过n次次的多项式相矛盾。所以插值公式唯一。的多项式相矛盾。所以插值公式唯一。5.2 插

60、值公式的应用插值公式的应用不等距节点的情况：不等距节点的情况：5 插值公式的唯一性及其应用插值公式的唯一性及其应用w牛顿基本差商公式在精度不够的情况下，需再增加一牛顿基本差商公式在精度不够的情况下，需再增加一个节点时，只需在原来的结果上增加一项。个节点时，只需在原来的结果上增加一项。w采用拉格朗日插值公式时，则都要重新计算。采用拉格朗日插值公式时，则都要重新计算。w在估算结果的舍入误差时，使用拉格朗日插值公式比在估算结果的舍入误差时，使用拉格朗日插值公式比较容易。较容易。5.2 插值公式的应用插值公式的应用不等距节点的情况：不等距节点的情况：等距节点的情况：等距节点的情况：w靠近表头：牛顿前向