不定积分习例题讲解(一)

1、高等数学(1)学习辅导(8)不定积分习例题讲解(一)(一)填空题1. 设 /(x)dx=l(/+C，贝U f(x)=。解：由不定积分性质，(lDy = 101njO 2x2故应填 10x 2x ln102.曲线在任意一点处的切线斜率为2x，且曲线过点(2,5)，则曲线方程为。解：2xdx=x2，即曲线方程为y=x2 c。将点(2,5)代入得c = 1，所求曲线方程为y = x2 1故应填y = x213.设，则故应填1f(x：34. 已知函数f (x)的一个原函数是arctanx2，贝U f (x)二解:(x) = (arctanx2)二2x1 x42x2(1 x4) 8x4(1 x4)22

2、6x4(1 x4)2故应填2 -6x4(1 x4)25. 设 J i : - - J ',则解：J u I： -： ri 一故应填-丄(1 -x2)2 c26. 已知F (x)是f (x)的一个原函数，那么 f (ax b)dx =解：用凑微分法11f(ax b)dx f(ax b)d(ax) f(ax b)d(ax b)a a 11dF (ax b) F (ax b) caa、 1故应填F (ax b) ca7. I； t 工，贝U J " ' i解:- J /O)必=祇© -尸0) + c故应填 xf (x) - F(x) c、单项选择题必 z、1.当X

3、V 0时，=( )。XA ln|x|B C ln( x)C C+ ln( x)D lnx+ C解: A缺少积分常数，D不满足前提条件，经验证，只有C中函数的导数为被积函数, 即C正确故应填C2.设 f (x)dx =xln x c ,贝U f (x)=()。A. ln x 1;B. ln x;C. x ；D. xln x解：因为 f (x) = (xln x) = In x = ln x 1 x故应填A3.下列式子中，只有（）是正确的。A'（其中a是任意常数） 0 + 1B".'(a>0,1)cosa X解：A缺少a 1的条件，B、C与导数公式混淆了，D正确故应

4、填D4. 设F（x）是f （x）的一个原函数，则等式（）成立。C. F (x)dx =F(x);解：正确的等式关系是pl(f(x)dx)二 f(x)dxplA&CfgdxKx);B. F (x)dx = f(x) c ; plD.( f(x)dx)=f(x) dxF (x)dx 二 F(x) cD正确.故应填D5. 下列函数中，(1 2A.22C 2cosx)是xsinx2的原函数。B2D 2cosx2解：(-cosx2)(-si nx2)2x二xsi n x2,经验证 A,C,D 不正确2 2故应填B6. 设 F(x)是 f (x)的一个原函数，贝 U .xf(1-x2)dx二()A

5、. F(l -x2) c;B. - F(x2) c ；1 2C. -一F(1 - x ) c ;D. F (x) c2解：由复合函数求导法则得1 2 t122 t-；F(1 -x )f(1 -x )(1 -x )2 2I f(1 -x )(1 -x )： =xf(1 X ) 2C正确.故应填C7.若J _ |则( )成立。(其中C是任意常数)A 二 axBC dF(x)+ C= f(x)dxd解：由原函数的定义，只有D正确故应填D& 下列等式成立的是（）。JA I.UAC 解：B与D右边缺少积分常数故应填A1 dx9. ex 2=（）x1A1B J."： ''

6、'-； ：D f J| UC右边应为微分式。只有1B厂+1D厂A正确C -/-：解：由凑微分法或直接积分验证，可知 C正确故应填C10.下列等式成立的是（）。C sin xdx = d(cosx)BD解：经验证丄d2xIn 212x In 2dx =2xdx , C 正确 In 2故应填D11.若二 /'：I ,则.'I i -()。A<-'B ' -：-2232 2C xF(x2) + CD F(x2) + C解：,A正确2 2故应填A1 112.若 I.，贝V f(x)=()。1111A B -C -DXXXX解:积分式两边求导，得. I： 一：，从而A正确故应填A13.若f(x)=()，则有J/于(討)必二"+C。1