2022年2022年抛物线及其性质知识点大全2

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载抛物线及其性质1 抛物线定义 ： 平面内到肯定点f 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线2 抛物线四种标准方程的几何性质：图形参数 p 几何意义参数 p 表示焦点到准线的距离,p 越大,开口越阔.2y2 px p0y22 px p20x2 py p20x2 py p0焦 点 位置x 正x 负y 正y 负开口方向右左上下标 准方程精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载焦 点坐标准 线方程 p 、02pp 、02p0、 p 0、p22pp精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xxyy2222x0、 yrx0、 yry0、 xry0、 xr

2、对 称 轴x 轴x 轴y 轴y 轴范 围顶 点坐标（ 0、0 ）离心率e1通 径2p精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载焦半径a x1 、 y1pafx12pafx12pafy12pafy12精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载焦点弦长ab x1x2 px1x2 p y1y2 p y1y2 p精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载焦点弦长ab以 ab 为直径的圆必与准线l 相切精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的补充ax1、 y1 如 ab 的倾斜角为,ab2 p

3、sin 22x xp如 ab 的倾斜角为,就 aby yp22 p cos2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1212b x2 、 y2 411afbfab2afbfaf. bfaf . bfp精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3抛物线y22 px p0 的几何性质：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(1) 范畴：由于p>0,由方程可知x 0,所以抛物线在y 轴的右侧,当 x 的值增大时,| y | 也增大,说明抛物线向右上方和右下方无限延长1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(2) 对称性：对称轴要看一次项,符号打算开口方向精品学习资料精

4、选学习资料 - - - 欢迎下载3 顶点（ 0, 0）,离心率：e1,焦点f p 、0 ,准线 x 2p,焦准距p2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4焦点弦：抛物线y 22 px p0 的焦点弦ab ,ax1 、y1 、b x2、 y2 、 就 |ab |x1x2p 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载弦长 |ab|=x 1+x2+p、 当 x 1=x2 时,通径最短为2p；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4焦点弦的相关性质：焦点弦 ab ,a x1、 y1 、b x2 、 y2 ,焦点f p 、0 2p2精品

5、学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(1) 如 ab 为抛物线y22pxp0的焦点弦（过焦点的弦）,且 ax1、 y1 , bx2 、 y2 ,就：x1x2,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 2y yp2 ；(2) 如 ab为抛物线y22 pxp0的焦点弦,且直线ab的倾斜角为,就ab22 psin4（ 0）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(3) 已知直线 ab为过抛物线y22 px p0 焦点 f 、11afbfab2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载afbfaf. bfaf. bfp精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(4) 焦点

6、弦中通径最短长为2p；通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径(5) 两个相切： 1 以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切. 2 过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线,以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5弦长公式：ax1 、y1 、b x2 、 y2 为抛物线上两点,就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ab xx 2 yy 21k 2 | xx|11| yy|精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载121212k 212精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6. 直线与抛物线的位置关系直线,抛物线,消 y 得：（ 1）

7、当 k=0 时,直线 l 与抛物线的对称轴平行,有一个交点；（ 2）当 k0 时, 0,直线 l 与抛物线相交,两个不同交点；=0, 直线 l 与抛物线相切,一个切点； 0,直线 l 与抛物线相离,无公共点；（ 3）如直线与抛物线只有一个公共点、 就直线与抛物线必相切吗.（不肯定）7. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载直线 l ： ykxb抛物线, p0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载联立方程法：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ykxbk 2 x22kbp xb 20精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下

8、载y 22 px2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设 交 点 坐 标 为ax1、 y1 、b x2 、 y2 , 就 有0 、 以 及 x1x2 、 x1 x2, 仍 可 进 一 步 求 出精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载y1y2kx1bkx2bk x1x2 2b ,y1 y2kx1b kx2b k 2 x xkb x1x2 b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载122在涉及弦长,中点,对称,面积等问题时,常用此法,比如22a. 相交弦 ab的弦长精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ab1kx1x21

9、k 2 x1x 24 x1 x21k 22a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载或ab112y1y2 k112 y1ky 24 y1 y21 k 2a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b. 中点m x0、 y0 、x0x1x2 ,y 2y1y22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载0点差法：设交点坐标为a x1 、 y1 , b x2 、 y2 ,代入抛物线方程,得精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2y12 px12y22 px2精品学习资料精选学习资料 -

10、- - 欢迎下载将两式相减,可得精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 y1y2 y1y2 2 p x1x2 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载y1y2x1x22 py1y2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a. 在涉及斜率问题时,k ab2 py1y2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b. 在涉及中点轨迹问题时,设线段 ab 的中点为m x0 、yy2 p12y0 ,2 pp,精品学习资料精选学习资料 - - -

11、 欢迎下载p即 kab,y0x1x2y1y22 y0y0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载同理,对于抛物线 x22 py p0 ,如直线 l 与抛物线相交于a.b 两点,点m x0、 y0 为弦精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ab 的中点,就有k abx1x2 2 p2x0x02 pp精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（留意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点,2）直线的斜率存在,且不等于零）3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【经典例题

12、】（ 1）抛物线二次曲线的和谐线椭圆与双曲线都有两种定义方法,可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的全部 点的集合 . 其离心率e=1,这使它既与椭圆.双曲线相依相伴,又鼎立在圆锥曲线之中. 由于这个美好的 1,既使它享尽和谐之美,又生出多少华丽的篇章.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【例 1】p 为抛物线y22 px上任一点, f 为焦点,就以pf 为直径的圆与y 轴（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a. 相交b.相切c.相离d.位置由 p 确定精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料

13、精选学习资料 - - - 欢迎下载【解析】如图,抛物线的焦点为fp 、02,准线为yhqp精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载l : x. 作 ph l 于 h,交 y 轴于 q,那么pfph ,nmp2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载且 qhofp. 作 mny 轴于 n就 mn为梯形 pqof的2f、0xop2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载中位线,mn1ofpq1 ph1 pf . 故以p精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载222pf 为直径的圆与y 轴相切,选b.【评注】相像的问题对于椭圆和双曲线来说,其结论就分别为相离或相交的.l :

14、x = -2y2 = 2 px精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）焦点弦常考常新的亮点弦有关抛物线的试题,很多都与它的焦点弦有关. 懂得并把握这个焦点弦的性质,对破解这些试题为大有帮忙的 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【例 2】 过抛物线y 22 px p0 的焦点 f 作直线交抛物线于a x 、 y、 bx、 y两点, 求证：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1）1abx1x2p（ 2）af12bfp1122精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【证明】（ 1）如图设抛物线的准线为l ,作aala 、 bbl于b,就 afaaxp

15、,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2111111pyaax、1y1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载bfbb1x2. 两式相加即得：1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2abx1x2pfxb 1 bx、2y精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）当 ab x 轴时,有afbfp,2112afbfpl成立；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 ab 与 x 轴不垂直时,设焦点弦ab的方程为：ykxp. 代入抛物线方程：2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4精品学习资料精选学习

16、资料 - - - 欢迎下载2k2xp222 px . 化简得： k x2p k2xp22k01精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载24精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载方程（ 1）之二根为x1, x2,k 21xx2.4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载111111x1x2p精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载afbfaabbpppp2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载11x1x2x1x2x1x2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2224x1x2px1x2p2p2pp2pp .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x1

17、x242x1x2p42精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故不论弦ab与 x 轴为否垂直,恒有1af12bfp成立 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3）切线抛物线与函数有缘有关抛物线的很多试题,又与它的切线有关. 懂得并把握抛物线的切线方程,为解题者不行或缺的基本功 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【例 3】证明：过抛物线y22 px 上一点 m（x 0, y 0）的切线方程为：y 0y=p （ x+x0）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【证明】对方程y22 px 两边取导数：2 yy2 p, yp.切线的斜率y精品学习资料精选学习资

18、料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载kyx x0p.由点斜式方程：y0yy0pxxy ypxpxy 210000y0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载y2q02 px0,代入（）1 即得：y 0y=p（ x+x0）（ 4）定点与定值抛物线埋在深处的宝藏抛物线中存在很多不不易发觉,却简洁为人疏忽的定点和定值.把握它们,在解题中常会有意想不到的收成 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例如： 1.一动圆的圆心在抛物线y28x 上,且动圆恒与直线x20 相切,就此动圆必过定点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（）精品学习资料精选学

19、习资料 - - - 欢迎下载a. 4、0b. 2、0c. 0、2d. 0、 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载明显 . 此题为例1 的翻版,该圆必过抛物线的焦点,选b.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2. 抛物线y22 px 的通径长为2p；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3. 设抛物线y22 px 过焦点的弦两端分别为ax 、 y、 bx、 y,那么：y yp2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载112212精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载以下再举一例【例 4】设抛物线y22 px 的焦点弦 ab 在其准线上的射影为a1b1,

20、证明：以a1b1 为直径的圆必过精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载肯定点【分析】假定这条焦点弦就为抛物线的通径,那么a1b1=ab=2p,而 a1b1 与 ab的距离为p,可知该圆必过抛物线的焦点. 由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点. 以下我们对ab的一般情形给于证明.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【证明】如图设焦点两端分别为a x1、 y1、 bx2 、 y2,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载那么：y yp2cacbyyp2.精品学习资料精选学习资

21、料 - - - 欢迎下载121112aya精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设抛物线的准线交x 轴于 c,那么cfp.1 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2a1fb1 中 cfca1cb1 . 故a1 fb190 .m精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载这就说明：以a1b1 为直径的圆必过该抛物线的焦点. 通 法 特法妙法（ 1）解析法为对称问题解困排难cfx b1b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析几何为用代数的方法去讨论几何,所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等） .【例 5】（ 10. 四川文科卷 .10 题）已知抛

22、物线y=-x 2+3 上存在关于直线x+y=0 对称的相异两点ya .b ,就 |ab| 等于（）ba.3b.4c.32d.42【分析】直线ab必与直线x+y=0 垂直,且线段mxab 的中点必在直线x+y=0 上,因得解法如下.o【解析】点a.b 关于直线x+y=0对称,设直线ab的方程为：a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载yxm .由yxm2xxm301l. x +y = 0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载yx23精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设方程（ 1）之两根为x1, x2,就 x1x21 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设

23、ab的中点为m（ x0, y 0）,就 x0x1x211. 代入 x+y=0： y 0=. 故有 m1 、 1.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22222精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载从而 myx1. 直线 ab的方程为：yx1 .方程（ 1）成为： x2x20 .解得：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x2、1 ,从而 y1、2 ,故得： a（ -2 ,-1 ）, b（1, 2） .ab32 ,选 c.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）几何法为解析法添彩扬威虽然解析法使几何学得到长足的进展,但伴之而来的却为难以防止的纷杂运算,这又

24、使得很多考生对解析几何习题望而生畏. 针对这种现状,人们讨论出多种使运算量ya大幅度削减的优秀方法,其中最有成效的就为几何法.k精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【例 6】（ 11.全国 1 卷.11 题） 抛物线y24x的焦点为f ,准线为 l ,经过 f 且斜率60 °精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载=m o f1、0x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载y6l:x=-12 2px精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载为3 的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点a , akl ,垂足为k ,就 akf的面积（）a 4b 33c 43d

25、 8【解析】如图直线af的斜率为3 时 afx=60 ° . afk为正三角形 . 设准线 l 交 x 轴于 m,就 fmp2、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载且 kfm=60°,kf4、 sakf342443 . 选 c.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【评注】（ 1）平面几何学问：边长为a 的正三角形的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载面积用公式s3 a2 运算 .4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）此题假如用解析法,需先列方程组求点a 的坐标,再运算正三角形的边长和面积. 虽不为很难,但决没有如上的几何法简洁

26、.（ 3）定义法追本求真的简洁一着很多解析几何习题咋看起来很难. 但假如返朴归真,用最原始的定义去做,反而特殊简洁.【例 7】（ 07. 湖北卷 .7 题）双曲线精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x2c1 :2a2y1a b20, b0 的左准线为 l ,左焦点和右焦点分别为f1 和 f2 ；抛物线c2 的线为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载l ,焦点为f2； c1 与 c2 的一个交点为m ,就f1 f2 mf1mf1 mf21等于（）1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 1b 1cd 22【分析】这道题假

27、如用解析法去做,运算会特殊纷杂,而平面几何学问又一时用不上,那么就从最原始的定义方面去查找出路吧.如图,我们先做必要的预备工作：设双曲线的半焦距 c,离心率为e,作mhl于h ,令y精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载mf1r1、mf2r2 .点 m 在抛物线上,hr 2mx、y精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载mhmf2r2、 故mf1mf1r1e,r 1r 2x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载mhmf2r2f1 -c 、 0of2 c、0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1| mf |这就为说：|

28、 mf2 |的实质为离心率e.a2l : x = -c精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载其次,| f1 f2 |与离心率 e 有什么关系？留意到：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载| mf1 |7精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f1f2 mf12ce 2a r1r1e r1r2 r1e 11 ee1 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载这样,最终的答案就自然浮出水面了：由于| f1 f2 | mf1 |e1e1 .选a.精品学习资料精选学习资料 - -

29、- 欢迎下载| mf1 | mf 2 |（ 4）三角法本身也为一种解析三角学隐藏着丰富的解题资源. 利用三角手段,可以比较简洁地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数,然后依据各种三角关系实施“九九归一”达到解题目的.因此,在解析几何解题中,恰当地引入三角资源,常可以摆脱困境,简化运算.a【例 8】（09. 重庆文科 .21 题） 如图, 倾斜角为a 的直线经过抛精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载物线 y 28x 的焦点 f,且与抛物线交于a.b 两点；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（）求抛物线的焦点f 的坐标及准线l 的方程；（）如a 为锐角,作线段ab 的

30、垂直平分线m 交mx 轴于点 p,证明 |fp|-|fp|cos2a 为定值,并求此定值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【解析】（）焦点f（ 2, 0）,准线l; x2 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（）直线ab ： ytanx21 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2xy代入（ 1）,整理得：y2 tan8 y16tan028yy8精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设方程（ 2）之二根为y1, y2,就12y1y2yy1y2tan.1644cot精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎

31、下载设 ab中点为mx 、 y、 就02tan精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载00xcoty24cot 22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ab 的垂直平分线方程为：0022y4cotcotx4cot 22 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载令 y=0 ,就 x4cot6,有p4cot6,0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故 fpopof4cot 2624 cot214cos2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载于为 |fp|-|fp|cos2a= 4csc21cos24csc22sin 28 ,故为定值 .精品学习资料精选学习

32、资料 - - - 欢迎下载（ 5）消去法合理减负的常用方法.防止解析几何中的纷杂运算,为革新.创新的永恒课题. 其中最值得举荐的优秀方法之一便为设而不求,它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【例 9】 为否存在同时满意以下两条件的直线l ：（ 1） l 与抛物线y28 x 有两个不同的交点a 和精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载8精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b；（ 2）线段 ab被直线l1 ： x+5y-5=0 垂直平分 . 如不存在,说明理由,如存在,求出直线l 的方程 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【解析】假定在抛物线y 28 x 上存在这样的两点a x ,y,bx ,y.就有：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎