2022年2022年概率论复习题

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载一.设 a、b、c 为三大事 、 且 pa=pb=pc=1/4、pab=pbc=0、pac=1/8 、求 a、b、c 至少有一个发生的概率；解： pab c=pa+pb+pc-pab-pbc-pca+pabcpab=pbc=opabc=0至少有一个发生的概率pab c=pa+pb+pc-pab-pbc-pca+pabc=1/4+1/4+/4-0-0-1/8+0=5/8二.某油漆公司发出17 桶油漆,其中白漆10 桶,黑漆 4 桶,红漆 3 桶,在搬运中全部标签脱落,交货人随便将这些油漆发给顾客,问一个订货4 桶白漆. 3 桶黑漆和 2 桶红漆的顾客,能按所给定

2、颜色如数得到订货的概率为多少.解：设 a=“订货 4 桶白漆. 3 桶黑漆和 2 桶红漆”；就 a 的基本领件数为,基本领件总数为=24310；就所求概率为 小结 对古典概型问题,关键为找出其基本领件总数,以及所求大事包含的基本领件数；同时要留意,两者要在同一个样本空间中运算所求大事的概率；三.将 3 个球随机地放入4 个杯子中去,求杯子中球的最大个数分别为1, 2,3 的概率i将 3 个球随机地放入4 个杯子中去,易知共有43 种放置法,以a 表示大事“杯子中球的最大个数为i ”,i=1 ,2, 3；解： a3 只有当 3 个球放在同一杯子中时才能发生,有4 个杯子可以任意挑选,于为3a1

3、只有当每个杯子最多放一个球时才能发生；na1 =4 ·3·2=a4又 a1 a2 a3=,且,i jpa1 +pa 2 +pa 3=1四.据以往资料说明,某一3 口之家,患某种传染病的概率有以下规律：p 孩子得病 =0.6 ,p 母亲得病 | 孩子得病 =0.5 ,p 父亲得病 | 母亲及孩子得病 =0.4 , 求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率解：以 a 记大事“孩子得病” ,以 b 记大事“母亲得病” ,以 c 记大事“父亲得病” ,按题意需要求；已知 pa=0.6 ,pb|a=0.5 ,pc|ba=0.4 ,由乘法定理得1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载

4、五.将两信息分别编码为 a 和 b 传送出去,接收站收到时, a 被误收作 b 的概率为 0.02 ,而 b 被误收作 a 的概率为 0.01 信息 a 与信息 b 传送的频繁程度为 2：1如接收站收到的信息为 a,问原发信息为 a 的概率为多少 .解：以 d表示大事“将信息 a 传递出去”,就表示大事“将信息 b 传递出去”,以 r 表示“接收到信息 a”,就表示大事“接收到信息 b”,按题意需求概率 pd|r 已知, 且 有, 由 于, 得 知,；由贝叶斯公式得到六.设有两箱同类零件,第一箱内装有50 件,其中 10 件为一等品；其次箱内装有30 件,其中 18 件为一等品,现从两箱中任意

5、挑出一箱,然后从该箱中依次随机地取出两个零件 取出的零件不放回 试求(1) 第一次取出的零件为一等品的概率；(2) 在第一次取出的零件为一等品的条件下,其次次取出的零件仍为一等品的概率；解：记 ai = 从第 i 箱中 不放回抽样 取得的为一等品 ,i=1 , 2b= 从第一箱中取零件 ,就(1) 由题知由全概率公式有(2) 由题知所求概率为pa2 |a 1 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由全概率公式有pa1 a2|b 表示在第一箱中取两次,每次取一只产品,作不放回抽样,且两次都取得一等品的概率,故同理,因此有七.三人独立地去破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为问三人中至

6、少有一人能将此密码译出的概率为多少.解：以 ai 表示大事“第 i 人能译出密码” ,i=1 ,2,3已知 pa1 =,就至少有一人能译出密码的概率为p=pa1 a2 a3 =pa1 +pa 2 +pa 3-pa 1a2-pa 1 a3 -pa 2a3 +pa 1a2a3 由独立性即得八.一大楼装有5 个同类型的供水设备,调查说明在任一时刻t 每个设备被使用的概率为0.1 ,问在同一时刻 1 恰有 2 个设备被使用的概率为多少.2 至少有 3 个设备被使用的概率为多少.3 至多有 3 个设备被使用的概率为多少.4 至少有 1 个设备被使用的概率为多少.解：设 x 表示同一时刻被使用的设备个数,

7、就xb5 ,0.1 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载51px=2=c2 0.1 2 1-0.13 =0.0729.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2px3=px=3+px=4+px=5=c30.131-0.12 +c 40.1 4 1-0.1+c5 0.1 5 =0.00856 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5553px 3=1-px=4-px=5=0.99954.54px1=1-px=0-1-1-0.1=0.40951.九.一袋中装有5 只球,编号为1,2,3,4,5在袋中同时取3 只球, x 表示取出的3 只球中的最大号码,求 x 的概率分布3精

8、品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：随机变量x 的全部可能值为3,4,5,且精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以, x 的概率分布为十.设随机变量x 的分布函数为x345p0.10.30.6精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载0 x1f xln x1xe1 xe1 求 px<2、p0x 3、p2<x<5/2;2 求 x 的概率密度 fxx 解 ： 1px2=px 2-px=2=f2=ln2;p0x3=px 3-px 0=f3-f0=1-0=1;精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 f x 1 1xxe精品学习资料精选学习资料 -

9、 - - 欢迎下载0 其他 十一.某种型号器件的寿命x（以小时计） 、 具有概率密度如图、 从这批晶体管中任选5 只、 就至少有 2 只寿命大于 1500h 的概率解：任取一只,其寿命大于1500 小时的概率为任取 5 只这种产品,其寿命大于1500 小时的只数用x 表示,就 x b5 , 故所求的概率为4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载十二.设 x n3、2 2 、1求 p2x5、p|x| 2、px 3;2确定 c,使得 pxc=px c ；3 设 d 满意 px d0.9 , 问 d 至 多 为 多 少 ？ 1 因 xn3, 22 ,故有2 由 px c=px c , 得1-

10、px c=px c ,即,于为3px d0.9 ,即,故又因分布函数x 为一个不减函数,故有：,因此d 3+2×-1.282=0.436即 d 至 多 为 0.436十三.一工厂生产的某种元件的寿命x 以小时计 听从参数为u=160, 0 的正态分布, 如要求 p120x200 0.80 ,答应最大为多少？ 解： x n160, 2 ,今要求即要求,应有5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即答应最大为31.20十四.设随机变量x 在0 , 1 内听从匀称分布1 求 y=ex 的概率密度； 2 求 y=-2lnx 的概率密度解： x 的概率密度为(1) 当 x 在0 ,1

11、上取值时, y 在1 , e 上取值,所以当 y1 时, fyy=py y=0;当 ye 时, fyy=py y=1;x当 1<y<e 时 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载fyy=py y=pex y=px lny=flny=lny.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(2) 当 x 在0 ,1 上取值时, y 在0 , + 上取值,所以当 y0 时, fyy=py y=0;当 y0 时 ,十五.设随机变量x, y的概率密度为：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f x、 yk6xy、0x2、2y4、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载

12、0、其他1 确定常数 k 2 求 px1、y33 求 px1.5 4 求 px+y 4(1) 由、 得所 以 k=1/8 236精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4十六.设二维随机变量x, y的概率密度为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f x、 ycx 2 y、 x2y10、 其他精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(1) 确定常数 c ；(2) 求边缘概率密度12注在求边缘概率密度时,需画出x , y的概率密度fx , y 0 的区域,这对于正确写出所需求的积分的上下限为很有帮忙的第一应依据概率密度的性质求出参数c ,然后再求边缘概率密度十七.设 x 和

13、y 为两个相互独立的随机变量,其概率密度分别为求随机变量z=x+y的概率密度 解法 i利用公式7精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载十八.设 x、y 为相互独立的随机变量,x 1 , y 2 证明 z=x+y 1+2 由于 x 1 、y 2 ,故又 x、y 相互独立,因此,即 z=x+y 1 +2.十九.设 x, y的分布律为1 求 ex ,ey ；2 设 z=y/x,求 ez ；3 设 z=x-y 2,求 ez 12(3)8精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载注可先求出边缘分布律,然后求出ex ,ey 如在 3 中可先算出z=x-y 2 的分布律：z0149pk0.10.

14、20.3 0.4然后求得二十.设随机变量x1, x2 的概率密度分别为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2e-2x 、 x0f 14e-4x 、 x0f 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载0、 x00、 x012121求 ex +x ,e2x -3x 2 2又设 x1 ,x2 相互独立,求ex1x2 解：,今 u=x/ 、 得到故,于为(1) 由数学期望的性质,有9精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(2) 因 x1 ,x2 相互独立,由数学期望的性质,有二十一.设随机变量x ,y 的分布律为验证 x 和 y 为不相关的,但x 和 y 不为相互独立的解：先求

15、出边缘分布律如下：x-101pk3/82/83/8y-101pk3/82/83/8易见 px=0,y=0=0 px=0py=0 ,故 x,y 不为相互独立的；x,y 具有相同的分布律又 exy即有 exy=exey ,故 x, y 为不相关的二十二.设 a 和 b 为试验 e 的两个大事,且pa 0,pb 0,并定义随机变量x,y 如下：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1、 如a发生x0、 如a不发生1、如b发生f 20、 如b不发生精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载证明如 xy=0,就 x 和 y 必定相互独立10精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：

16、x, y 的分布律分别为xpk01-pa1paypk01-pb1pb由 x, y 定义, xy只能取 0,1 两个值,且pxy=1=px=1 , y=1=pab ,得 xy的分布律为xy01pk1-pabpab即得ex=pa ,ey=pb ,exy=pab 由假设 xy=0,得 exy=exey ,即 pab=papb ,故知 a 与 b 相互独立从而知a 与.与 b.与也相互独立,于为故 x,y 相互独立二十三.设随机变量x ,y 具有概率密度精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f x、 y1 x8y、0x2、0y2、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载0、 其他求 ex

17、 , ey ,covx ,y , xy,dx+y精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：留意到 fx ,y 只在区域 g：x ,y|0x2、0y2 上不等于零,故有精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载11精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由 x , y 在 fx ,y 的表达式中的对称性 即在表达式fx ,y 中将 x 和 y 互换,表达式不变二十四.求总体n20 ,3 的容量分别为10,15 的两独立样本均值差的肯定值大于0.3 的 概率容量为 10、15 的两个独立随机样本均值用x10、x15表示x10n20、3/10、x15n20、1/5因两个随机样本独立

18、、 所以ex10-x15=ex10-ex15=20-20=0dx10-x15=dx10+dx15=3/10+1/5=1/2即 x10-x15n0、1/2p|x10-x15|<0.3=p|x10-x15|*2<0.3* 2=2 0.3* 2-1=0.6744二十五.设总体x b1 ,p ,x1 ,x2 , xn 为来自 x 的样本(1) 求x 1,x2 , xn 的分布律；(2) 求的分布律：3 求,es2 k1-k1px=k=p1-p, k=0, 1,故 x1,x2 , xn 的分布律为：12精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2(3) 由 xi b1、p,故exi =p , dxi =p1-pi=1、2、n、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1210二十六.设 x ,x , x为 n0, 0.3 2 的一个样本,求精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：二十七.设 x 1 ,x2 , xn 为总体 x 的一个样本, x 1,x 2, xn 为一个样本值求下述各总体的概率密度或分布律中的未知参数的矩估量量和估量值精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1f x、 yc x 1 、 xc其中 c 0、c 为已知常数；1,为未知参数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载0、其他x xm-x精