新人教版八年级数学下册二次根式的知识点汇总(二)

1、二次根式的知识点汇总知识点一：二次根式的概念形如瓜（«> 0）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以厘之0是4为二次根式的前提条件，如J5, J/+1 ,等是二次根式，而 "-7等都不是二次根式。例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：J2、33、）、JX（x>。）、J0、4份、-J2、xx yJx y （x>0, y?>0）.分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“L"；第二，被开方数是正数或 0.知识点二：取值范围1、 二次根式

2、有意义的条件：由二次根式的意义可知，当 a叁0时，声 有意义，是二次根式，所以要使二次根式 有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2、 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a<0时，没有意义。例2.当x是多少时，J3x 1在实数范围内有意义？1例3.当x是多少时，J2x 3 + -在实数范围内有意义？x 1知识点三：二次根式 瓜（厘兰°）的非负性品 （口30 ）表示a的算术平方根，也就是说，”嬴（意3° ）是一个非负数，即土 0（"3°）。注：因为二次根式 而（信之0）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0

3、,所以非负数（以三。）的算术平方根是非负数，即 之0 （口3°）,这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、 偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若 石+遥=0 ,则a=0,b=0；若石+囿=。，则a=0,b=0；若 A+/=。，则 a=0,b=0。例 4（1）已知 y=j2 x+Jx 2+5,求学 的值.（2）若 Ja 1+Jb 1=0,求 a2004+b2004 的值 y知识点四：二次根式（）的性质（向口（2）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式二次（胃之口 ）是逆用平方根的定义得出的结论。 上面的公式也可以反过来应用

4、： 中之0 ,则"二（4如:例1计算1 . ( 2)22. (3>/5) 23.(6)24. (2)例2在实数范围内分解下列因式：(1) x2-3(2) x4-4(3) 2x2-3知识点五：二次根式的性质a(aO)4文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注：1、化简 必时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或 0,则等于a本身,二的圳;若a是负数,则等于a的相反数-a,即屈二同叱。）；2、必 中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，必一定有意义;3、化简"时，先将它化成,再根据绝对值的意义来进行化简。例1化简（1）而 G

5、）2（3）/（4） ”）2例2填空：当a> 0时，702=；当a<0时，702=, ?并根据这一性质回答下列问题.（1）若Va2 =a,则a可以是什么数？ （ 2）若J/ =-a,则a是什么数？ （3） Va2>a,则a是什么数?例 3 当 x>2,化简 J(x 2)2 - J(1 2x)2 .知识点六： (向"E 的异同点1、不同点：(出与" 表示的意义是不同的，(6了表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在 (W厂中鼻口0，而中a可以是正实数，0,负实数。但(W尸与"都是非负数， jnj _卜卜：厘艮 口

6、 (N ) 一，- 0 。因而它的运算的结果是有差别的，(的&伯之0)，而“ 1一-仪/0)2、相同点：当被开方数都是非负数，即 痉之0时， = =/时，无意义,而E二-嶷,知识点七：二次根式的乘除1、乘法 4a 而=Yab (a>0,b 0)Vab = Va - Vb (a>0, bn。)a J2、除法而=b (a> 0， b>0)反过来:a反过来,a> 0, b>0)b(思考：b的取值与 例1.计算a相同吗？为什么？不相同，因为b在分母，所以不能为 0)(3)79x727(4)例2化简(1) J9 16(2) J6 81(3) ,9x2 y2(4

7、) 54例3.判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正:(1)式 4) ( 9) C.飞(2)4 x，25 =4 x1225X . 25 =412 x25,25=4.12=8、.3例4.计算：(1)12/331(2)281(3)4. 64(4)8例5.化简:(1)634(2)64b29a2(3)9x64y2(4)5x169y2例6.已知x9 x9 x求 1 1+x)二9，且x为偶数,6. x 63、最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数 不含分母或分母中不含二次根式；（2）被开方数中 不含开得尽方的因数或因式（熟记20以内数的平方；因数或因式间是乘积的关系,当被开方数是整式时要先判断是否能够

8、分解因式，然后再观 察各个因式的指数是否是 2 （或2的倍数），若是则说明含有能开方的因式，则不满足条件，就不是最简二次根式）例1 .把下列二次根式化为最简二次根式 31152； (2) Jx2y4x4y2 ; (3) J8x2y34、化简最简二次根式的方法：（1）把被开方数（或根号下的代数式）化成积的形式,即分解因式；（2）化去根号内的分母（或分母中的根号）,即分母有理化；（3）将根号内能开得尽方的因数 （或因式）开出来.（此步需要特别注意的是：开到根号外的时候要带绝对值，注意符 号问题）5.有理化因式：一般常见的互为有理化因式有如下几类：海石十磬曲与落石一右曲.说明：利用有理化因式的特点可

9、以将分母有理化.13、同类二次根式：被开方数相同的（最简）二次根式叫同类二次根式。判断是否是同类二次根式时 爰必将各个根式都化为最简二次根式。如 灰与屈 知识点八：二次根式的加减1、二次根式的加减法：先把各个二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行 合并。（合并方法为：将系数相加减,二次根式部分不变）,不能合并的直接抄下来。例 1.计算（1）而+石8（2） xA6x+ x/64x分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并.解：（1）而+加=2亚+3五=（2+3） V2 =55/2（2） J16x + &4x =4 G +8 4 = （4+8） 人=12 4例2 .计算（1） 3 而-94+3亚（2）（疝+ 与）+ （A2-V5）例 3.已知 4x2+y2-4x-6y+10=0 ,求（x/9x