立体几何参考答案与试题解析(1)

1、参考答案与试题解析(1)一解答题（共30小题）1某几何体的直观图与三视图如下，其中主视图、俯视图都是直角三角形，左视图是等边三角形（）证明：ABCD； （）求该几何体的体积考点：-直线与平面垂直的性质；由三视图求面积、体积2155681专题：-空间位置关系与距离分析：-（I）由三视图知三棱锥ABCD中，面ABC面BCD，BCD=90°，AC=CD=BC，利用面面垂直的性质，即可证得结论；（II）利用三棱锥的体积公式，即可得到结论解答：-解：（I）由三视图知三棱锥ABCD中，面ABC面BCD，BCD=90°，AC=CD=BC，（4分）面ABC面BCD，面ABC面BCD=BC，

2、CDBC，CD面ABC， AB面ABC， CDAB（8分）（II）三棱锥ABCD的体积为 （12分）点评：-本题考查面面垂直的性质，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题2如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，AB=BC，BDAC，E为PC的中点（）求证：ACPB； （）求证：PA平面BDE 考点：-直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定2155681专题：-证明题分析：-（）由PD平面ABCD，可得PDAC，又BDAC，可证得AC平面PBD，从而可得ACPB（）E为PC的中点，设ACBD=F，连接EF，可得PAEF，由线面平行的判定定理可得结论解答：-证明：

3、（）PD平面ABCD，AC平面ABCD， PDAC，又BDAC，PDBD=D， AC平面PBD，又PB平面PBD， ACPB（）设ACBD=F，连接EF，在ABC中，AB=BC，BDAC， F为AC的中点，E为PC的中点，EFPA，而EF平面BDE，PA平面BDE，PA平面BDE点评：-本题考查直线与平面垂直的性质与直线与平面平行的判定，关键在于掌握直线与平面垂直的性质定理与直线与平面平行的判定定理及其应用，属于中档题3如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱CC1的中点（）证明：AC1平面BDE；（）证明：AC1BD 考点：-直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定2155681专

4、题：-空间位置关系与距离分析：-（）根据线面平行的判定定理证明：AC1平面BDE；（）根据线面垂直的性质，先证明BD平面ACC1，然后证明AC1BD解答：-解：（ I）证明：连接AC交BD于O，连接OE，ABCD是正方形，O为AC的中点，E是棱CC1的中点，AC1OE又AC1平面BDE，OE平面BDE，AC1平面BDE（ II）证明：ABCD是正方形，ACBDCC1平面ABCD，且BD平面ABCD， CC1BD又CC1AC=C， BD平面ACC1又AC1平面ACC1， AC1BD点评：-本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的判定定理和性质定理的应用，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理4如图，

5、四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，BD=，PD底面ABCD（1）证明：ADBD；（2）若二面角PBCD为，求AP与平面PBC所成角的正弦值考点：-直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角2155681专题：-空间位置关系与距离；空间角分析：-（1）利用线面垂直的性质定理证明ADBD（2）确定PBD即为二面角PBCD的平面角，分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，用坐标表示向量及平面PBC的法向量，利用向量的数量积公式，即可求得AP与平面PBC所成角的正弦值解答：-解：（1）证明：因为AB=2AD=2，BD=，所以AD=BC=1，CD=AB=2

6、，CD2=BC2+BD2，BCBD，底面ABCD为平行四边形， ADBD而BC平面PBC，平面PBC平面PBD（5分）（2）PD底面ABCD，PDBC，又PDBD=D，BC平面PBD所以PBD即为二面角PBCD的平面角，即PBD=，而BD=，所以PD=1（7分）分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，0），C（），P（0，0，1）所以，设平面PBC的法向量，则，即，可得平面的一个法向量为AP与平面PBC所成角的正弦值为（12分）点评：-本题主要考查线面垂直的性质以及直线与平面所成角的大小的求法，要求熟练掌握空间角的求法5（2013辽宁一模）如图，

7、直棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，BAD=ADC=90°AB=2AD=2CD=2（1）求证：AC平面BB1C1C；（2）在A1B1上是否存一点P，使得DP与平面BCB1与平面ACB1都平行？证明你的结论考点：-直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的性质2155681专题：-证明题；综合题；存在型；转化思想分析：-（1）为证AC平面BB1C1C，须证AC垂直面内两条相交直线：BB1和BC即可前者易证，后者利用计算方法证明即可（2）设P为A1B1的中点，证明DCB1P为平行四边形，即可证明存在点P，满足题意解答：-证明：（1）直棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB

8、1平面ABCD，BB1AC（2分）又BAD=ADC=90°，AB=2AD=2CD=2，CAB=45°，BCAC（4分）又BB1BC=B，BB1，BC平面BB1C1C，AC平面BB1C1C（7分）（2）存在点P，P为A1B1的中点（8分）证明：由P为A1B1的中点，有PB1AB，且PB1=AB（10分）又DCAB，DC=AB，DCPB1，且DC=PB1，DCB1P为平行四边形，从而CB1DP又CB1面ACB1，DP面ACB1，DP面ACB1（12分）同理，DP面BCB1（14分）点评：-本题考查直线与平面平行的性质，直线与平面垂直的性质，考查空间想象能力，逻辑思维能力6（20

9、12威海一模）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，M是棱BB1的中点，N是CC1的中点，AC1与A1N相交于点E（I）求三棱锥AMNA1的体积；（II）求证：AC1A1M 考点：-直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积2155681专题：-空间位置关系与距离分析：-（）利用直三棱锥的性质和已知条件证明MN是三棱锥MAA1N的高，进而利用三棱锥的体积公式即可计算出；（）利用线面垂直的判定和性质定理即可证明解答：-解：（）如图所示，由直三棱柱ABCA1B1C1，可得C1C底面ABC，C1CBC，C1CACACB=90°， ACBC又BCCC1=C， AC侧面BCC1B1， 侧面B

10、CC1B1侧面ABB1A1由侧面BCC1B1是矩形，M是棱BB1的中点，N是CC1的中点，四边形BCNM是矩形，MN=BC=1，MNCC1MN侧面ABB1A1在RtABC中，AC=（）先证明AC1A1N在RtACC1中，sinAC1C=在RtA1C1N中，cosA1NC1=，sinAC1C=cosA1NC1，AC1A1N由（）可知：MN侧面AA1C1C，MNAC1又A1NMN=N，AC1平面A1MN，AC1A1M点评：-熟练掌握线面、面面垂直的判定和性质定理及三棱锥的等积变形是解题的关键7（2011郑州三模）如图，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABC=BCD=90°，AB=B

11、C=2CD=2，PB=PC，侧面PBC底面ABCD，O是BC的中点（1）求证：DC平面PAB；（2）求证：PO平面ABCD；（3）求证：PABD 考点：-直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定2155681专题：-证明题分析：-（I）由已知中四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABC=BCD=90°，易得ABCD，进而由线面平行的判定定理得到答案（II）根据等腰三角形的性质及面面垂直的性质，可以得到PO平面ABCD；（III）根据（II）的结论，我们可判断出RtABORtBCD，结合全等三角形性质，得到BDAO，BDPO，根据线面垂直的判定定理，得到BD平面P

12、AO，再由线面垂直的性质即可得到PABD解答：-证明：（）由题意，ABCD，CD平面PAB，AB平面PAB，所以DC平面PAB（4分）（）因为PB=PC，O是BC的中点，所以POBC，又侧面PBC底面ABCD，PO平面PBC，面PBC底面ABCD=BC，所以PO平面ABCD；（8分）（）因为BD平面ABCD，由（2）知POBD，在RtABO和RtBCD中，AB=BC=2，BO=CD=1，ABO=BCD=90°，所以RtABORtBCD，故BA0=CBD，即BA0+DBA=CBD+DBA=90°，所以BDAO，又AOPO=O，所以BD平面PAO，故PABD（12分）点评：-本

13、题考查的知识点是线面平面的判定，线面垂直的判定，线线垂直的判定，其中（1）的关键是得到ABCD，（2），（3）的关键是熟练掌握线线、线面、面面垂直之间的相互转化8（2011许昌一模）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点，（1）求证：ACBC1；（2）求证：AC1平面CDB1；（3）求三棱锥C1CDB1的体积 考点：-直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定2155681专题：-计算题；证明题分析：-（1）先根据AC=3，BC=4，AB=5得到ACBC；再结合其为直棱柱得到ACCC1，即可证明AC平面BCC1B

14、1，进而得到ACBC1；（2）先设CB1与C1B的交点为E，连接DE；跟怒边长相等得到E为正方形对角线的交点，E为中点；再结合点D是AB的中点可得DEAC1，进而得到AC1平面CDB1；（3）直接根据等体积转化，把问题转化为求三棱锥DC1CB1的体积再代入体积计算公式即可解答：-解：（1）直三棱柱ABCA1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，AB2=AC2+BC2，ACBCCC1平面ABC，AC平面ABC，ACCC1，又BCCC1=C AC平面BCC1B1，BC1平面B1C1CB，ACBC1（5分）（2）设CB1与C1B的交点为E，连接DE，因为；BC=AA1=4，所以BCC1B

15、1为正方形，故E是C1B的中点，D是AB的中点，E是C1B的中点，DEAC1，DE平面CDB1，AC1平面CDB1，AC1平面CD B1 （10分）（3）因为AC平面BCC1B1，D为中点，所以D到平面BCC1B1的距离等于AC，=AC=×（×4×4）××3=4（14分）点评：-本题是对立体几何知识的综合考查一般在求三棱锥的体积直接不好找时，常用等体积转化求解（转化为高好找的三棱锥）9如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PAD平面PBC=l（1）求证：lBC（2）MN与平面PAD是否平行？试证明

16、你的结论 考点：-直线与平面平行的性质；直线与平面平行的判定2155681专题：-证明题分析：-（1）根据BCAD，我们可以知道BC平面PAD，由于平面PBC平面PAD=l，可以证得BCl；（2）要证明MN平面PAD关键是在平面PAD中找出直线与MN平行，由于M、N分别是AB、PC的中点，故可利用取中点的方法求解解答：-解：（1）证明：因为BCAD，BC平面PADAD平面PAD，所以BC平面PAD又因为平面PBC平面PAD=l，所以BCl（6分）（2）：平行如图，取PD的中点E，连接AE、NE，N是PC的中点，E是PD的中点 NECD，且NE=CDAB，M是AB的中点 NEAM且NE=AM所以

17、四边形ABCD为平行四边形所以MNAE又MN平面PAD，AE平面PAD，所以MN平面PAD（12分）点评：-本题以四棱锥为载体，考查线线平行，线面平行，证题的关键是合理运用线面平行的判定及性质定理10如图，已知四棱锥PABCD的底面积是菱形，AC交BD于O，PO平面ABC，E为AD中点，F在PA上，AP=AF，PC平面BEF（1）求的值；（2）若AB=2，ADB=BPC=60°，求三棱锥AEFB的体积考点：-直线与平面平行的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积2155681专题：-空间位置关系与距离分析：-（1）由线面平行得线线平行，利用比例关系得的值；（2）利用等积法把三棱锥AEFB的体积

18、转化为求三棱锥FABE的体积解答：-解：（1）设AO交BE于G，连接FG因为O，E分别是BD、AD的中点，所以因为PC平面BEF，所以GFPC所以即=3（2）因为BPD=60°，PO平面ABC，所以故点F到平面ABC的距离为所以,故三棱锥AEFB的体积为点评：-本题主要考查了线面平行的性质，几何体体积的求法11空间四边形ABCD的对棱AD，BC成60°的角，且AD=BC=a，平行于AD与BC的截面分别交AB，AC，CD，BD于E、F、G、H（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；（2）E在AB的何处时截面EFGH的面积最大？最大面积是多少？考点：-直线与平面平行的性质；基本

19、不等式；空间中直线与直线之间的位置关系2155681专题：-计算题分析：-（1）证明BCEF，EFHG然后证明四边形EFGH为平行四边形（2）设=x，求出EH=（1x）a推出S四边形EFGH=EFEHsin60°=推出E为AB的中点时，截面EFGH的面积最大为解答：-证明：（1）BC平面EFGH，BC平面ABC，平面ABC平面EFGH=EF，BCEF，同理BCHC， EFHG同理可证EHFG， 四边形EFGH为平行四边形解：（2）AD与BC成角为60°，HEF=60°（或120°），设=x，=x，BC=a， EF=ax，由=，得EH=（1x）aS四边形E

20、FGH=EFEHsin60°=axa（1x）=x（1x）=当且仅当x=1x，即x=时等号成立，即E为AB的中点时，截面EFGH的面积最大为点评：-本题考查几何图形的证明与判定，几何体体积的求法，考查计算能力12如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD底面ABCD，SD=AD，DFSB垂足为F，E是SD的中点（）证明：SA平面BDE；（）证明：平面SBD平面DEF 考点：-直线与平面平行的性质；平面与平面垂直的判定2155681专题：-证明题；空间位置关系与距离分析：-（）利用线面平行的判定证明SA平面BDE，连接AC，ACBD=O，利用三角形的中位线，证明EOSA即

21、可；（）先证明DE面SBC，可得DESB，利用DFSB，DEDF=D，可证SB平面DEF，利用面面垂直的判定可得结论解答：-证明：（）连接AC，ACBD=O，连接OE，则O为AC的中点E是SD的中点，EOSASA平面BDE，EO平面BDE SA平面BDE；（）E是SD的中点，底面ABCD为正方形，侧棱SD底面ABCD，SD=AD，DESC，BCDESCBC=C DE面SBCSB面SBCDESBDFSB，DEDF=DSB平面DEFSB平面SBD 平面SBD平面DEF点评：-本题考查线面平行，考查面面垂直，解题的关键是掌握线面平行、面面垂直的判定方法，属于中档题13（2013海淀区二模）如图1，在

22、直角梯形ABCD中，ADBC，ADC=90°，BA=BC 把BAC沿AC折起到PAC的位置，使得点P在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上，如图2所示，点E，F分别为线段PC，CD的中点（I） 求证：平面OEF平面APD；（II）求直线CD与平面POF（III）在棱PC上是否存在一点M，使得M到点P，O，C，F四点的距离相等？请说明理由考点：-平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算2155681专题：-空间位置关系与距离分析：-（）利用面面垂直的性质定理可得PO平面ABC，再利用等腰三角形的性质可得O是AC的 中点，利用三角形的中位线定理即可得出OEP

23、A，OFAD，再利用面面平行的判定定理即可证明；（）线线平行的性质可得OFCD，利用线面垂直的性质定理可得POCD，再利用线面垂直的判定定理即可证明；（）利用线面垂直的性质定理可得CDPF，再利用直角三角形的斜边上中线的性质即可证明解答：-解：（I）点P在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上，PO平面ABC， POACAB=BC， O是AC的 中点， OEPA同理OFAD 又OEOF=O，PAAD=A，平面OEF平面PDA（II）OFAD，ADCD，OFCD，又PO平面ADC，CD平面ADC， POCD，又OFPO=O， CD平面POF（III）存在，事实上记点E为M即可，CD平面POF，

24、PF平面POF，CDPF，又M为PC中点，EF=，同理，在直角三角形POC中，EP=EC=OE=，点E到四个点P，O，C，F的距离相等点评：-熟练掌握面面垂直的性质定理、等腰三角形的性质、三角形的中位线定理、面面平行的判定定理、线线平行的性质、线面垂直的判定与性质定理、直角三角形的斜边上中线的性质是解题的关键.14（2011济南一模）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别为所在边的中点，O为面对角线A1C1的中点（1）求证：面MNP面A1C1B；（2）求证：MOA1C1 考点：-平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定2155681专题：-数形结合分析：-（1）利用MN为D

25、D1C的中位线，可得MND1C，再由正方形的性质可得D1CA1B，可证MNA1B 同理证MPC1B，从而证得面MNP面A1C1B（2）连接C1M和A1M，利用勾股定理可得C1M=A1M，故A1C1M是等腰三角形，故有A1C1MO解答：-证明：（1）连接D1C，MN为DD1C的中位线，MND1C又D1CA1B，MNA1B同理MPC1B而MN与MP相交，MN，MP面MNP，A1B面A1C1B面MNP面A1 C1B（2）证明：连接C1M和A1M，设正方体的边长为a，正方体ABCDA1B1C1D1，C1M=A1M，又O为A1C1的中点，A1C1MO点评：-本题考查证明面面平行、线线垂直的方法，面面平行

26、 的判定定理应用，注意利用三角形的中位线的性质15（2010沈阳二模）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱BB1和DD1的中点（1）求证：平面B1FC1平面ADE；（2）试在棱DC上取一点M，使D1M平面ADE；（3）设正方体的棱长为1，求四面体A1FEA的体积考点：-平面与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定2155681专题：-计算题；证明题分析：-（1）证明四边形DFB1E为平行四边形，再利用ADB1C1，这样，面平面B1FC内有2条相交线B1C1和B1F平行于另一个平面（2）取DC中点M，证明D1MB1C1，D1MFC1，从而D1M平面B1FC1，

27、再根据平面B1FC1平面ADE，证得D1M平面ADE（3）等体积法，四面体A1FEA和四面体FEAA1等体积，而面体FEAA1的高是正方体棱长，面积是正方体一个面的面积，所以体积可求解答：-解：（1）证明：E、F分别为正方体ABCDA1B1C1D1棱BB1和DD1中点DFB1E且DF=B1E四边形DFB1E为平行四边形，即FB1DE，由ADB1C1（2分）又ADDE=D，B1C1B1F=B1平面B1FC平面ADE（4分）（2）证明：取DC中点M，连接D1M，由正方体性质可知，D1MB1C1，且DD1MC1D1F （5分）所以D1C1F=DD1M，又D1C1F+D1FC1=900 所以D1D1M

28、+D1FC1=900 所以D1MFC1（6分）又FC1B1C1=C1 D1M平面B1FC1又由（1）知平面B1FC1平面ADE 所以D1M平面ADE（8分）（3）解：由正方体性质有点F到棱AA1的距离及点E到侧面A1ADD1的距离都是棱长1（9分） （12分）点评：-本题考查面面平行的证明方法、线面垂直的证明方法及等体积法16（2011海淀区二模）已知直三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，且D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点（I） 求证：平面B1FC平面EAD；（II）求证：BC1平面EAD 考点：-平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定2155681专题：-证明题分析：-（

29、I）根据直三棱柱的结构特征及已知中直三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，结合D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点，由三角形的中位线定理，易得AEFB1，DEB1C，进而由面面平行的判定定理得到平面B1FC平面EAD；（II）根据直三棱柱的结构特征及已知中直三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，结合D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点，我们可判断出ABC是正三角形，进而得到ADBC1，DEBC1，结合线面垂直的判定定理即可得到BC1平面EAD解答：-证明：（）由已知可得AFB1E，AF=B1E，四边形AFB1E是平行四边形，AEFB1，（1分）AE平面B1FC，FB1平面B

30、1FC， AE平面B1FC； （2分）又 D，E分别是BC，BB1的中点， DEB1C，（3分）ED平面B1FC，B1C平面B1FC， ED平面B1FC； （4分）AEDE=E，AE平面EAD，ED平面EAD，（5分） 平面B1FC平面EAD（6分）（）三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，C1C面ABC，又AD面ABC，C1CAD（7分）又直三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D是BC边中点，ABC是正三角形，BCAD，（8分）而C1CBC=C，CC1面BCC1B1，BC面BCC1B1，AD面BCC1B1，（9分） 故 ADBC1（10分）四边形BCC1B1是菱形，BC1B1C，（11分

31、）而DEB1C，故 DEBC1，（12分）由ADDE=D，AD面EAD，ED面EAD，得 BC1面EAD（13分）点评：-本题考查的知识点是平面与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，其中（I）的关键是证得AEFB1，DEB1C，（II）的关键是证得ADBC1，DEBC117如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD为正方形，E为线段AD1的中点，F为线段BD1的中点（1）求证：EF平面ABCD；（2）设M为线段C1C的中点，当的比值为多少时，DF平面D1MB，并说明理由考点：-平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定2155681专题：-证明题；探究型分析：-（1）要证：EF平

32、面ABCD，只需证明EFAB，由直线与平面平行的判定定理可知EF平面ABCD（2）F为线段BD1的中点，当=时，易证DFBD1，再证MF平面BB1D1D，就能证明FMDF，即可证明DF平面D1MB解答：-解：（1）E为线段AD1的中点，F为线段BD1的中点，EFAB， EF平面ABCD，AB平面ABCD， EF面ABCD（2）当时，DF平面D1MB证明如下：连接AC，BD设AC与BD交于点O、连接OF，FM在长方体中，O是BD的中点， OFDD1且OF=DD1、而CMDD1且CM=DD1OFCM且OF=CM， 四边形OCMF是平行四边形 FMOCDD1平面ABCD， D1DOC，而OCBD，O

33、C平面BB1D1D， OCDF， FMDF， D1D=BDF为BD1的中点， DFBD1FMBD1=F， DF平面BD1M点评：-本题考查直线与平面平行和垂直的判断，考查学生逻辑思维能力，空间想象能力，是难题18如图（甲），在直角梯形ABED中，ABDE，ABBE，ABCD，且BC=CD，AB=2，F、H、G分别为AC，AD，DE的中点，现将ACD沿CD折起，使平面ACD平面CBED，如图（乙）（1）求证：平面FHG平面ABE；（2）记BC=x，V（x）表示三棱锥BACE的体积，求V（x）的最大值；（3）当V（x）取得最大值时，求二面角DABC的余弦值Pn（xn，yn）考点：-平面与平面平行的

34、判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；与二面角有关的立体几何综合题2155681专题：-计算题分析：（1）欲证平面FHG平面ABE，只需证明线面平行，故只需要在平面FHG中寻找两条相交直线与平面平行；（2）由于平面ACD平面CBED 且ACCD，所以AC平面CBED，故可表示三棱锥BACE的体积，利用基本不等式求最值，注意等号成立的条件；（3）求解二面角DABC的余弦值，建立空间直角坐标系，利用向量法求解，分别求出平面ACB的法向量，平面ABD的法向量，利用可以求解解答：-解：（1）证明：由图（甲）结合已知条件知四边形CBED为正方形如图（乙）F、H、G分别为AC，AD，DE的中点FHCD，HGAE（

35、1分）CDBE FHBEBE面ABE，FH面ABE FH面ABE（3分）同理可得HG面ABE又FHHG=H 平面FHG平面ABE（4分）（2）平面ACD平面CBED 且ACCDAC平面CBED（5分）V（x）=VABCE=BC=xAC=2x（0x2）V（x）=（7分） V（x）当且仅当x=42x即时取“=”V（x）的最大值为（9分）（3）以点C为坐标原点，CB为x轴建立空间直角坐标系 如右图示：由（2）知当V（x）取得最大值时，即BC=这时AC=，B，（10分）平面ACB的法向量设平面ABD的法向量为，（11分）由，得，令c=1得（12分）设二面角DABC为，则（14分）点评：-本题的考点是面

36、面平行的判断，主要考查证明面面平行，考查几何体的体积，考查二面角的平面角，关键是正确运用面面平行的判定，利用向量法求面面角，关键是求出相应的法向量19如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ平面PAO？考点：-平面与平面平行的判定2155681专题：-空间位置关系与距离分析：-首先确定当Q为CC1的中点时，平面D1BQ平面PAO证明QBPA，进而证明QB面PAO，再利用三角形的中位线的性质证明D1BPO，进而证明D1B面PAO，再利用两个平面平行的判定定理证得平面D1BQ平面PAO解答：-解：当

37、Q为CC1的中点时，平面D1BQ平面PAOQ为CC1的中点，P为DD1的中点，QBPA连接DBP、O分别为DD1、DB的中点，D1BPO又D1B平面PAO，QB平面PAO，D1B面PAO再由QB面PAO，且 D1BQB=B，平面D1BQ平面PAO点评：-本题考查平面与平面平行的一般方法，即在一个平面内找到2条相交直线和另一个平面平行，属于中档题20如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G为棱AD、AB、A1A的中点（1）求证：平面EFG平面CB1D1；（2）求证：平面CAA1C1平面CB1D1；（3）求异面直线FG、B1C所成的角考点：-平面与平面平行的判定；异面直线及其所成的角；

38、平面与平面垂直的判定2155681专题：-计算题；证明题分析：-（1）连接BD，根据三角形中位线定理，结合正方体的几何特征，我们易得EFB1D1，同理可得GEB1C，进而根据面面平行的判定定理即可得到平面EFG平面CB1D1；（2）根据正方体的几何特征，我们可得A1AB1D1，A1C1B1D1，进而根据线面垂直的判定定理，可得B1D1平面CAA1C1，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面CAA1C1平面CB1D1；（3）根据（1）中结论GEB1C，我们易得EGF即为异面直线FG、B1C所成的角，解三角形GEF即可得到答案解答：-解：（1）连接BD，在长方体ABCDA1B1C1D1中，对角线BD

39、B1D1，又E、F为棱AD、AB的中点 EFBD EFB1D1，同理可证：GEB1C，又EFGE=E，B1D1B1C=B1， 平面EFG平面CB1D1；（2）在长方体ABCDA1B1C1D1中，A1A平面A1B1C1D1，而B1D1平面A1B1C1D1，A1AB1D1，又在正方体A1B1C1D1中，A1C1B1D1，A1AA1C1=A1，B1D1平面CAA1C1，又B1D1平面CB1D1，平面CAA1C1平面CB1D1；（3）由（1）得GEB1C，故EGF即为异面直线FG、B1C所成的角由正方体的几何牲易得EF=EG=FG EGF为等边三角形，EGF=60°即异面直线FG、B1C所成

40、的角为60°点评：-本题考查的知识点是平面与平面平行的判定，异面直线及其所成的角，平面与平面垂直的判定，其中熟练掌握正方体的几何特征，分析出其中线段的平行和垂直关系，结合面面平行及面面垂直的判定定理，对结论进行论证是解答本题的关键21如图，ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC且EA=AB=2a，DC=a，F，G，H分别是EB，AB和BC的中点求证：（1）FG平面AEDC； （2）平面AEDC平面FGH （3）FD平面ABC 考点：-平面与平面平行的判定；直线与平面平行的判定2155681专题：-证明题；空间位置关系与距离分析：-（1）证FG平面AEDC，只要证明FGAE，且

41、AE平面AEDC，FG平面AEDC即可；（2）证平面AEDC平面FGH，只要证明平面FGH内的FG平面AEDC，GH平面AEDC，且FGGH=G即可；（3）证FD平面ABC，只要证明FDGC，且FD平面ABC，GC平面ABC即可，由FGDC，且FG=DC，得四边形FGCD是平行四边形，可证得解答：-证明：（1）F，G分别是EB，AB的中点，FG为EAB的中位线，FGAE；又AE平面AEDC，FG平面AEDC， FG平面AEDC；（2）G，H分别是AB和BC的中点，HG为CAB的中位线，HGAC；又AC平面AEDC，HG平面AEDC，GH平面AEDC；由（1）得FG平面AEDC，且FGGH=G，

42、FG平面FGH，GH平面FGH；平面AEDC平面FGH；（3）FG为EAB的中位线，且FGEA；EA平面ABC，DC平面ABC，EADC；FGDC，又FG=DC=a，四边形FGCD是平行四边形，FDGC，又FD平面ABC，GC平面ABC，FD平面ABC点评：-本题考查了直线与平面平行、平面与平面平行的判定知识，熟练地掌握线面平行、面面平行的判定方法是解答本题的关键22如图，已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点（1）求证：AF平面PEC；（2）设CD的中点为H，求证：平面EFH平面PBC；（3）求AC与平面PCD所

43、成的角的正弦值考点：-平面与平面平行的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角2155681专题：-空间位置关系与距离分析：-（1）取PC中点M，连接FM，EM，根据线面平行的判定定理只需证明AFEM；（2）根据面面平行的判定定理只需证明EH平面PBC，FH平面PBC，进而转化为证明EHBC，FHPC即可；（3）先证明AF平面PCD，连接FC，则ACF即为AC与平面PCD所成的角，在RTACF中，可求ACF的正弦值解答：-解：（1）取PC中点M，连接FM，EM，F、M分别为PD、PC的中点，FMDC，FM=DC，又E为AB的中点，AEDC，AE=DC，AEFM，AE=FM，四边形AFME

44、为平行四边形，AFME，又AF平面PEC，ME平面PEC， AF平面PEC（2）H为CD的中点，EHBC，又EH平面PBC，BC平面PBC，EH平面PBCF、H分别为PD、CD的中点，FHPC，又FH平面PBC，PC平面PBC，FH平面PBC又FHEH=H，FH平面EFH，EH平面EFH，平面EFH平面PBC（3）PA=AD=1，F为PD的中点，AFPD，PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD，又CDAD，PAAD=A，CD平面PAD，AF平面PAD，CDAF，又PDCD=D，AF平面PCD，连接FC，则ACF即为AC与平面PCD所成的角在等腰RTPAD中，AF=，在矩形ABCD中，AC

45、=，在RTAFC中，sinACF=AC与平面PCD所成的角的正弦值为点评：-本题考查线面平行、面面平行的判定及线面角的求解，考查学生的推理论证能力，解题关键是熟练掌握相关的定义、定理23如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，BCBC1，AB=BC1，E，F分别为线段AC1，A1C1的中点（1）求证：EF面BCC1B1； （2）求证：BE面AB1C1；（3）在线段BC1上是否存在一点G，使平面EFG平面ABB1A1，证明你的结论 考点：-平面与平面平行的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定2155681专题：-证明题分析：-（1）由题意可得：EFA1A，所以可得EFB1B，再

46、根据线面平行的判定定理可得线面平行（2）根据题意可得：BC平面ABC1，进而得到BEBC，即得到BEB1C1，因为AB=BC1，E为AC1的中点，所以BEAC1，由线面垂直的判定定理可得线面垂直（3）取BC1中点为G，连接GE、GF，由题意可得：GEAB，所以EG平面A1B1BA同理可证：EF平面A1B1BA再根据面面平行的判定定理可得面面平行解答：-证明：（1）因为E，F分别为线段AC1，A1C1的中点，所以EFA1A因为B1BA1A，所以EFB1B又因为EF平面BCC1B1，B1BBCC1B1，所以EF面BCC1B1（2）因为BCBC1，ABBC，ABC1B=B，所以BC平面ABC1因为B

47、E平面ABC1，所以BEBC又因为BCB1C1，所以BEB1C1因为AB=BC1，E为AC1的中点，所以BEAC1因为AC1B1C1=C1，所以BE面AB1C1（3）取BC1中点为G，连接GE、GF，又因为E为AC1的中点，所以GEAB因为EG平面A1B1BA，AB平面A1B1BA，所以EG平面A1B1BA同理可证：EF平面A1B1BA又因为EFEG=E，所以平面EFG平面ABB1A1所以在线段BC1上是存在一点G，使平面EFG平面ABB1A1点评：-解决此类问题的关键是熟练掌握有关线线、线面、面面平行与垂直的判定定理、性质定理24（2010广东模拟）已知四棱锥PABCD的三视图如图所示，其中

48、主视图、侧视图是直角三角形，俯视图是有一条对角线的正方形E是侧棱PC上的动点（1）求证：BDAE；（2）若E是PC的中点，且五点A，B，C，D，E在同一球面上，求该球的表面积考点：-球内接多面体；由三视图求面积、体积；球的体积和表面积2155681专题：-计算题；证明题分析：-（1）证明PC面ABCD，BDPC，证明BD面PAC，即可证明BDAE（2）几何体的外接球就是扩展为正方体的外接球，求出球的半径，即可求该球的表面积解答：-解：（1）证明：由已知PCBC，PCDC，BCDC=C，PC面ABCD（2分）BD面ABCDBDPC，又因为BDAC，PCAC=C，BD面PAC，又AE面PAC，BD

49、AE（7分）（2）解：以正方形ABCD为底面，EC为高补成正方体，此时对角线EA的长为球的直径，S球=4R2=3（14分）点评：-本题是中档题，考查直线与平面垂直，直线与直线垂直的证明，几何体的外接球的表面积的求法，考查空间想象能力，计算能力25A、B、C是半径为1的球面上三点，B、C间的球面距离为，点A与B、C两点间的球面距离均为，且球心为O，求：（1）AOB，BOC的大小； （2）球心到截面ABC的距离； （3）球的内接正方体的表面积与球面积之比考点：-球内接多面体；球面距离及相关计算2155681专题：-计算题分析：-（1）根据球面距离的定义可得AOB、BOC、AOC的大小；（2）欲求球

50、心O到截面ABC的距离，将它看成是三棱锥的高，从而球心到截面ABC的距离可通过三棱锥的等体积法解决（3）球的内接正方体的对角线的长，就是球的直径，据此求出正方体的棱长，求出两个表面积即可确定比值解答：-解：（1）球面距离=r（为劣弧所对圆心角），且B、C间的球面距离为，点A与B、C两点间的球面距离均为，故得AOB=，BOC=，AOC=；（2）OA=OB=OC=1，AB=AC=，BC=1，SOBC=，SABC=V0ABC=1=d，d=，球心到截面ABC的距离为，（3）设球的内接正方体棱长为a，根据球的直径为正方体的对角线，则a=2， a=， S正方体：S球面=6：4=2：点评：-本题主要考查了球的性质、点面间的距离计算，考查球的体积和表面积、球的内接体的知识，考查计算能力，空间想象能力，是基础题26（2012广州一模）如图，在四面体PABC中，PA=PB，CA=CB，D、E、F、G分别是PA、AC、CB、BP的中点（1）求证：D、E、F、G四点共面；（2）求证：PCAB；（3）若ABC和PAB都是等腰直角三角形，且AB=2，求四面体PABC的体积 考点：-空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面的基本性质及推论2155681专题：-综合题分析：-（1