《四边形》全章复习与巩固(基础)知识讲解

1、四边形全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 掌握多边形内角和与外角和公式，灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题；通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，知道四边形没有稳定性，了解它们这些性质在生产、生活中的广泛应用2. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形 的概念, 了解它们之间的关系. 掌握它们的性质和判别方法, 并能运用这些知识进行证明和计算.3. 掌握三角形中位线定理，并能灵活应用.4. 理解用多边形进行镶嵌的应用，能灵活运用公式解决有关问题.体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进

2、行简单推理的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、多边形及有关概念1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有 n 条边就叫做 n 边形三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.2. 正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角

3、也都相等的四边形才是正方形.3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.要点诠释：(1)从 n 边形一个顶点可以引(n3)条对角线，将多边形分成(n2)个三角形；(2)n 边形共有 n(n 3)2条对角线要点二、多边形的内角和及外角和公式1.内角和公式：n 边形的内角和为(n2)·180°(n3，n 是正整数) 要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；(2)内角和定理的应用：已知多边形的边数，求其内角和；已知多边形内角和，求其边数.2.多边形外角和：

4、n 边形的外角和恒等于 360°，它与边数的多少无关.要点诠释：(1)外角和公式的应用：已知外角度数，求正多边形边数；已知正多边形边数，求外角度数.(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：n 边形的内角和等于(n2)·180°(n3，n 是正整数)，可见多边形内角和与边数 n 有关，每增加 1 条边，内角和增加 180°.要点三、平行四边形1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2.性质与判定性质：（1）边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；（2）角的

5、性质：平行四边形邻角互补，对角相等；（3）对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；（4）平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.判定：（1）.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）.对角线互相平分的四边形是平行四边形.3.平行线的性质（1）平行线间的距离都相等（2）等底等高的平行四边形面积相等要点四、特殊的平行四边形1.矩形、菱形、正方形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.有一组邻边相等并且有一个内

6、角是直角的平行四边形 叫做正方形.2.矩形的性质与判定性质： 1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.判定： 1. 有三个角是直角的四边形是矩形.2. 对角线相等的平行四边形是矩形.3. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.3.菱形的性质与判定性质： 1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；3.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴.判定： 1. 四条边相等的四边形是菱形.2.对角线

7、互相垂直的平行四边形是菱形.3. 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.4 正方形的性质与判定性质： 1.正方形四个角都是直角，四条边都相等.2.正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.3.正方形是轴对称图形，有 4 条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.判定： 1.有一组邻边相等的矩形是正方形.2.有一个内角是直角的菱形是正方形.5.三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.要点五、镶嵌的概念和特

8、征用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同.要点诠释：（1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于 360°；相邻的多边形有公共边.(2)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为 360°.(3)只用一种正多边形镶嵌地面，当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角 360°时，就能铺成一个平面图形.事实上，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用.【典型例题】类型一、多边形1、一个多

9、边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（）A四边形B五边形C六边形D八边形【思路点拨】首先设此多边形是 n 边形，由多边形的外角和为 360°，即可得方程 180（ n 2）360，解此方程即可求得答案【答案】A；【解析】解：设此多边形是 n 边形，多边形的外角和为 360°，180（ n 2）360，解得： n 4这个多边形是四边形【总结升华】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识此题难度不大，注意多边形的外角和为 360°

10、;， n 边形的内角和等于 180°（ n 2）举一反三：【变式】一个多边形除了一个内角外，其余各内角和为 2750°，求这个多边形的内角和是多少？【答案】设这个多边形的边数为 ，这个内角为，则，即.等式左边是 180°的整数倍，等式右边也是 180°的整数倍.又，此时.这个多边形的内角和是：.2一个十二边形有几条对角线.【思路点拨】根据多边形对角线条数公式，把边数代入计算即可【答案与解析】解： 过十二边形的任意一个顶点可以画 9 条对

11、角线， 十二个顶点可以画 12×9 条对角线，但每条对角线在每个顶点都数了一次， 实际对角线的条数应该为 12×9÷254（条） 十二边形的对角线共有 54 条.【总结升华】对于一个 n 边形的对角线的条数，我们可以总结出规律条，牢记这个公式，以后只要用相应的 n 的值代入即可求出对角线的条数，要记住这个公式只有在理解的基础之上才能记得牢.举一反三：【变式】一个多边形共有 20 条对角线，则多边形的边数是（ ）.A6

12、B7C8D9【答案】C；类型二、四边形的不稳定性3. 如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形（四边形具有不稳定性）常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即 AB、CD)，这样做的数学道理是什么?【答案与解析】解：应用了三角形的稳定性.【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用实际生活中，将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性类型二、平行四边形4、如图，在YABCD 中，点 E 在 AD 上，连接 BE，DFBE 交 BC 于点 F，AF 与

13、0;BE 交与点 M，CE 与 DF 交于点 N求证：四边形 MFNE 是平行四边形【答案与解析】证明：四边形 ABCD 是平行四边形.ADBC，ADBC（平行四边形的对边相等且平行）又DFBE（已知）四边形 BEDF 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）DEBF（平行四边形的对边相等）ADDEBCBF，即 AECF又AECF四边形 AFCE 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）AFCE四边形 MFNE

14、 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）【总结升华】 要证明一个四边形是平行四边形首先要根据已知条件选择一种合理的判定方法，如本题中已有一边平行，只须说明另一边也平行即可，故选用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明.举一反三：【变式】如图，等腰ABC 中，D 是 BC 边上的一点，DEAC，DFAB，通过观察分析线段DE，DF，AB 三者之间有什么关系，试说明你的结论【答案】ABDEDF，理由：DEAC，DFAB，四边形 AEDF 是平行四边形，CEDBDFAE等腰ABC，BC，B

15、EDB，DEBE，ABAEBEDFDE类型三、特殊的平行四边形5、已知：如图，D 是ABC 的边 AB 上一点，CNAB，DN 交 AC 于点 M，MAMC求证：CDAN；若AMD2MCD，求证：四边形 ADCN 是矩形【思路点拨】根据两直线平行，内错角相等求出DACNCA，然后利用“角边角”证明AMD 和CMN 全等，根据全等三角形对应边相等可得 ADCN，然后判定四边形 ADCN 是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；根据三角形的

16、一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出MCDMDC，再根据等角对等边可得 MDMC，然后证明 ACDN，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证【答案与解析】证明：CNAB，DACNCA， íMA = MC     ，ïÐAMD = ÐCMN在AND 和CMN 中，ìÐDAC = ÐNCAïîAMDCMN（ASA），ADCN，又ADCN，四边形

17、 ADCN 是平行四边形，CDAN；AMD2MCD ，AMDMCDMDC，MCDMDC，MDMC，由知四边形 ADCN 是平行四边形，MDMNMAMC，ACDN，四边形 ADCN 是矩形【总结升华】要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或对角线相等举一反三：【变式】（2015 秋抚州校级期中）在平行四边形 ABCD 中，过点 D 作 DEAB 于点 E，点 F 在边

18、 CD 上，DF=BE，连接 AF，BF（1）求证：四边形 BFDE 是矩形；（2）若 CF=9，BF=12，DF=15，求证：AF 平分DAB【答案】证明：（1）四边形 ABCD 为平行四边形，DCAB，即 DFBE，又DF=BE，四边形 DEBF 为平行四边形，又DEAB，DEB=90°，四边形 DEBF 为矩形；（2）四边形 DEBF 为矩形，BFC=90°，CF=9，BF=12，BC=AD=BC=15，AD=

19、DF=15，=15，DAF=DFA，ABCD，FAB=DFA，FAB=DFA，AF 平分DAB【高清课堂417084 四边形全章复习例 2】6、如图,在菱形 ABCD 中，BAD80°，AB 的垂直平分线交对角线 AC 于点 F，E 为垂足，连结 DF，则CDF 等于()A.80°B.70°C.65°D.60°【答案】D；【解析】解：连结 BF，由 FE 是 AB 的中垂线，知

20、 FBFA，于是FBAFAB40°.CFB40°40°80°,由菱形 ABCD 知，DCCB，DCFBCF，CFCF，于是DCFBCF，因此CFDCFB80°,在CDF 中, CDF180°40°80°60°.【总结升华】运用菱形的性质可以证明线段相等、角相等、线段的平行及垂直等问题，关键是要记住它们的判定和性质.举一反三：【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形 ABCD 是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请

21、说明理由【答案】四边形 ABCD 是菱形；证明：由 ADBC，ABCD 得四边形 ABCD 是平行四边形过 A，C 两点分别作 AEBC 于 E，CFAB 于 FCFBAEB90°AECF（纸带的宽度相等）ABECBF，RtABERtCBFABBC四边形 ABCD 是菱形.7、（2015 春上城区期末）如图，矩形 ABCD 中，AD=6，DC=8，菱形 EFGH 的三个顶点 E

22、，G，H 分别在矩形 ABCD 的边 AB，CD，DA 上，AH=2，连结 CF（1）若 DG=2，求证：四边形 EFGH 为正方形；（2）若 DG=6，求FCG 的面积【思路点拨】（1）通过证明 RtDHGAEH，得到DHG=AEH，从而得到GHE=90°，然后根据有一个角为直角的菱形为正方形得到四边形 EFGH 为正方形；（2）作 FQCD 于 Q，连结 GE，如图，利用ABCD 得到AEG=

23、QGE，再根据菱形的性质得HE=GF，HEGF，则HEG=FGE，所以AEH=QGF，于是可证明AEHQGF，得到 AH=QF=2，然后根据三角形面积公式求解【答案与解析】（1）证明：四边形 EFGH 为菱形，HG=EH，AH=2，DG=2，DG=AH，在 RtDHG 和AEH 中，RtDHGAEH，DHG=AEH，AEH+AHG=90°，DHG+AHG=90°，GHE=90°，四边形 EFGH 为菱形，四边形 EFGH 为正方形；（2）解：作 FQCD&

24、#160;于 Q，连结 GE，如图，四边形 ABCD 为矩形，ABCD，AEG=QGE，即AEH+HEG=QGF+FGE，四边形 EFGH 为菱形，HE=GF，HEGF，HEG=FGE，AEH=QGF，在AEH 和QGF 中，AEHQGF，AH=QF=2，DG=6，CD=8，CG=2，FCG 的面积= CGFQ= ×2×2=2【总结升华】本题考查了正方形的判定与性质：正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定；正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质也考查了菱形和矩形的性质举一反三：【变式】