2013年天津市高考数学试卷（文科）

1、2013年天津市高考数学试卷（文科）一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.共8小题,每小题5分,共40分.1（5分）已知集合A=xR|x|2，B=xR|x1，则AB=（）A（，2B1，2C2，2D2，12（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y2x的最小值为（）A7B4C1D23（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为（）A7B6C5D44（5分）设a，bR，则“（ab）a20”是“ab”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5（5分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x1）2+y2=5相切，且与直线ax

2、y+1=0垂直，则a=（）AB1C2D6（5分）函数f（x）=sin（2x）在区间0，上的最小值是（）A1BCD07（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间0，+）上单调递增，若实数a满足f（log2a）+f（）2f（1），则a的取值范围是（）AB1，2CD（0，28（5分）设函数f（x）=ex+x2，g（x）=lnx+x23若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）Ag（a）0f（b）Bf（b）0g（a）C0g（a）f（b）Df（b）g（a）0二填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9（5分）i是虚数单位复数（3+i）（12i）= 10（5分）已知一个正方体的所

3、有顶点在一个球面上若球的体积为，则正方体的棱长为 11（5分）已知抛物线y2=8x的准线过双曲线的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为 12（5分）在平行四边形ABCD中，AD=1，BAD=60°，E为CD的中点若，则AB的长为 13（5分）如图，在圆内接梯形ABCD中，ABDC，过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E若AB=AD=5，BE=4，则弦BD的长为 14（5分）设a+b=2，b0，则的最小值为 三解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15（13分）某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S=x+y+z评价该产品的等

4、级若S4，则该产品为一等品现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如表：产品编号A1A2A3A4A5质量指标（x，y，z）（1，1，2）（2，1，1）（2，2，2）（1，1，1）（1，2，1）产品编号A6A7A8A9A10质量指标（x，y，z）（1，2，2）（2，1，1）（2，2，1）（1，1，1）（2，1，2）（）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；（）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，（i）用产品编号列出所有可能的结果；（ii）设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率16（13分）在ABC中，内角A，B，C所对的边

5、分别是a，b，c已知bsin A=3csin B，a=3，cos B=（1）求b的值； （2）求sin（2B）的值17（13分）如图，三棱锥ABCA1B1C1中，侧棱A1A底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点（）证明EF平面A1CD；（）证明平面A1CD平面A1ABB1；（）求直线B1C1与平面A1CD所成角的正弦值18（13分）设椭圆=1（ab0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为（）求椭圆的方程；（）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点若=8，求k的值19（14分）已知首项为的等比数

6、列an的前n项和为Sn（nN*），且2S2，S3，4S4成等差数列（） 求数列an的通项公式；（） 证明20（14分）设a2，0，已知函数（） 证明f（x）在区间（1，1）内单调递减，在区间（1，+）内单调递增；（） 设曲线y=f（x）在点Pi（xi，f（xi）（i=1，2，3）处的切线相互平行，且x1x2x30，证明2013年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.共8小题,每小题5分,共40分.1（5分）已知集合A=xR|x|2，B=xR|x1，则AB=（）A（，2B1，2C2，2D2，1【分析】先化简集合A，解绝对值不等式

7、可求出集合A，然后根据交集的定义求出AB即可【解答】解：A=x|x|2=x|2x2AB=x|2x2x|x1，xR=x|2x1故选：D【点评】本题主要考查了绝对值不等式，以及交集及其运算，同时考查了运算求解的能力，属于基础题2（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y2x的最小值为（）A7B4C1D2【分析】先根据条件画出可行域，设z=y2x，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最小，只需求出直线z=y2x，过可行域内的点B（5，3）时的最小值，从而得到z最小值即可【解答】解：设变量x、y满足约束条件 ，在坐标系中画出可行域三角形，平移直线y2x=0经过点A（5，3）时，y2

8、x最小，最小值为：7，则目标函数z=y2x的最小值为7故选：A【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定3（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为（）A7B6C5D4【分析】利用循环结构可知道需要循环4次方可得到S2，因此输出的n4【解答】解：由程序框图可知：S=2=0+（1）1×1+（1）2×2+（1）3×3+（1）4×4，因此当n=4时，S2，满足判断框的条件，故跳出循环程序故输出的n的值为4故选：D【点评】正确理解循环结构的功能是解题的关键4（5

9、分）设a，bR，则“（ab）a20”是“ab”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件定义判断，结合不等式求解【解答】解：a，bR，则（ab）a20，ab成立，由ab，则ab0，“（ab）a20，所以根据充分必要条件的定义可的判断：a，bR，则“（ab）a20”是ab的充分不必要条件，故选：A【点评】本题考查了不等式，充分必要条件的定义，属于容易题5（5分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x1）2+y2=5相切，且与直线axy+1=0垂直，则a=（）AB1C2D【分析】由题意判断点在圆上，求出P与圆心连线的斜率就是直线axy+1=0的斜

10、率，然后求出a的值即可【解答】解：因为点P（2，2）满足圆（x1）2+y2=5的方程，所以P在圆上，又过点P（2，2）的直线与圆（x1）2+y2=5相切，且与直线axy+1=0垂直，所以切点与圆心连线与直线axy+1=0平行，所以直线axy+1=0的斜率为：a=2故选：C【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线的垂直，考查转化数学与计算能力6（5分）函数f（x）=sin（2x）在区间0，上的最小值是（）A1BCD0【分析】由题意，可先求出2x取值范围，再由正弦函数的性质即可求出所求的最小值【解答】解：由题意x，得2x，1函数在区间的最小值为故选：B【点评】本题考查正函数的最值的求法，解题

11、的关键是熟练掌握正弦函数的性质，能根据正弦函数的性质求最值7（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间0，+）上单调递增，若实数a满足f（log2a）+f（）2f（1），则a的取值范围是（）AB1，2CD（0，2【分析】由偶函数的性质将f（log2a）+f（）2f（1）化为：f（log2a）f（1），再由f（x）的单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出a的取值范围【解答】解：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（）=f（log2a）=f（log2a），则f（log2a）+f（）2f（1）为：f（log2a）f（1），因为函数f（x）在区间0，+）上单调递增，所以|log2

12、a|1，解得a2，则a的取值范围是，2，故选：A【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，以及对数函数的性质，属于基础题8（5分）设函数f（x）=ex+x2，g（x）=lnx+x23若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）Ag（a）0f（b）Bf（b）0g（a）C0g（a）f（b）Df（b）g（a）0【分析】先判断函数f（x），g（x）在R上的单调性，再利用f（a）=0，g（b）=0判断a，b的取值范围即可【解答】解：由于y=ex及y=x2关于x是单调递增函数，函数f（x）=ex+x2在R上单调递增，分别作出y=ex，y=2x的图象，f（0）=1+020，f（1）=e10，f（a）

13、=0，0a1同理g（x）=lnx+x23在R+上单调递增，g（1）=ln1+13=20，g（）=，g（b）=0，g（a）=lna+a23g（1）=ln1+13=20，f（b）=eb+b2f（1）=e+12=e10g（a）0f（b）故选：A【点评】熟练掌握函数的单调性、函数零点的判定定理是解题的关键二填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9（5分）i是虚数单位复数（3+i）（12i）=55i【分析】利用复数的运算法则即可得出【解答】解：（3+i）（12i）=36i+i2i2=55i故答案为55i【点评】熟练掌握导数的运算法则是解题的关键10（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上若球

14、的体积为，则正方体的棱长为【分析】设出正方体棱长，利用正方体的体对角线就是外接球的直径，通过球的体积求出正方体的棱长【解答】解：因为正方体的体对角线就是外接球的直径，设正方体的棱长为a，所以正方体的体对角线长为：a，正方体的外接球的半径为：，球的体积为：，解得a=故答案为：【点评】本题考查正方体与外接球的关系，注意到正方体的体对角线就是球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力11（5分）已知抛物线y2=8x的准线过双曲线的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为【分析】利用抛物线的标准方程y2=8x，可得，故其准线方程为x=2由题意可得双曲线的一个焦点为（2，0），即可得到c

15、=2再利用双曲线的离心率的计算公式可得=2，得到a=1，再利用b2=c2a2可得b2进而得到双曲线的方程【解答】解：由抛物线y2=8x，可得，故其准线方程为x=2由题意可得双曲线的一个焦点为（2，0），c=2又双曲线的离心率为2，=2，得到a=1，b2=c2a2=3双曲线的方程为故答案为【点评】熟练掌握双曲线抛物线的标准方程及其性质是解题的关键12（5分）在平行四边形ABCD中，AD=1，BAD=60°，E为CD的中点若，则AB的长为【分析】利用向量的三角形法则和平行四边形法则和数量积得运算即可得出【解答】解：，=+=1，化为，故答案为【点评】熟练掌握向量的三角形法则和平行四边形法则

16、和数量积得运算是解题的关键13（5分）如图，在圆内接梯形ABCD中，ABDC，过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E若AB=AD=5，BE=4，则弦BD的长为【分析】连结圆心O与A，说明OAAE，利用切割线定理求出AE，通过余弦定理求出BAE的余弦值，然后求解BD即可【解答】解：如图连结圆心O与A，因为过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E所以OAAE，因为AB=AD=5，BE=4，梯形ABCD中，ABDC，BC=5，由切割线定理可知：AE2=EBEC，所以AE=6，在ABE中，BE2=AE2+AB22ABAEcos，即16=25+3660cos，所以cos=，AB=AD=5，所以BD=2&#

17、215;ABcos=故答案为：【点评】本题考查切割线定理，余弦定理的应用，考查学生分析问题解决问题的能力以及计算能力14（5分）设a+b=2，b0，则的最小值为【分析】由题意得代入所求的式子，进行化简后，再对部分式子利用基本不等式求出范围，再由a的范围求出式子的最小值【解答】解：a+b=2，=，b0，|a|0，1（当且仅当b2=4a2时取等号），1，故当a0时，的最小值为故答案为：【点评】本题考查了基本不等式的应用，需要根据条件和所求式子的特点，进行变形凑出定值再进行求解，考查了转化和分类讨论的能力三解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15（13分）某产品

18、的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级若S4，则该产品为一等品现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如表：产品编号A1A2A3A4A5质量指标（x，y，z）（1，1，2）（2，1，1）（2，2，2）（1，1，1）（1，2，1）产品编号A6A7A8A9A10质量指标（x，y，z）（1，2，2）（2，1，1）（2，2，1）（1，1，1）（2，1，2）（）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；（）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，（i）用产品编号列出所有可能的结果；（ii）设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4

19、”，求事件B发生的概率【分析】（）用综合指标S=x+y+z计算出10件产品的综合指标并列表表示，则样本的一等品率可求；（）（i）直接用列举法列出在该样品的一等品中，随机抽取2件产品的所有等可能结果；（ii）列出在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4的所有情况，然后利用古典概型概率计算公式求解【解答】解：（）计算10件产品的综合指标S，如下表：产品编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10S4463454535其中S4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9共6件，故样本的一等品率为从而可估计该批产品的一等品率为0.6；（）（i）在该样本的一等品种，随机抽取2件产品的所有可能结果为A

20、1，A2，A1，A4，A1，A5，A1，A7，A1，A9，A2，A4，A2，A5，A2，A7，A2，A9，A4，A5，A4，A7，A4，A9，A5，A7，A5，A9，A7，A9共15种（ii）在该样本的一等品种，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7则事件B发生的所有可能结果为A1，A2，A1，A5，A1，A7，A2，A5，A2，A7，A5，A7，共6种所以p（B）=【点评】本题考查了随机事件，考查了用样本的数字特征估计总体的数字特征，考查了古典概型及其概率计算公式，是基础题16（13分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c已知bsin A=3csin B，a=3

21、，cos B=（1）求b的值； （2）求sin（2B）的值【分析】（） 直接利用正弦定理推出bsinA=asinB，结合已知条件求出c，利用余弦定理直接求b的值；（） 利用（）求出B的正弦函数值，然后利用二倍角公式求得正弦、余弦函数值，利用两角差的正弦函数直接求解的值【解答】解：（）在ABC中，有正弦定理，可得bsinA=asinB，又bsinA=3csinB，可得a=3c，又a=3，所以c=1由余弦定理可知：b2=a2+c22accosB，即b2=32+122×3×cosB，可得b=（）由，可得sinB=，所以cos2B=2cos2B1=，sin2B=2sinBcosB=

22、，所以=【点评】本题考查余弦定理，正弦定理以及二倍角的正弦函数与余弦函数，两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力17（13分）如图，三棱锥ABCA1B1C1中，侧棱A1A底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点（）证明EF平面A1CD；（）证明平面A1CD平面A1ABB1；（）求直线B1C1与平面A1CD所成角的正弦值【分析】（I）连接ED，要证明EF平面平面A1CD，只需证明EFDA1即可；（II）欲证平面平面A1CD平面A1ABB1，即证平面内一直线与另一平面垂直，根据直线与平面垂直的判定定理证得CD面A1ABB1，再根据面面垂直

23、的判定定理得证；（III）先过B作BGAD交A1D于G，利用（II）中结论得出BG面A1CD，从而BCG为所求的角，最后在直角BGC中，求出sinBCG即可得出直线BC与平面A1CD所成角的正弦值【解答】证明：（I）三棱柱ABCA1B1C1中，ACA1C1，AC=A1C1，连接ED，可得DEAC，DE=AC，又F为棱A1C1的中点A1F=DE，A1FDE，所以A1DEF是平行四边形，所以EFDA1，DA1平面A1CD，EF平面A1CD，EF平面A1CD（II）D是AB的中点，CDAB，又AA1平面ABC，CD平面ABC，AA1CD，又AA1AB=A，CD面A1ABB1，又CD面A1CD，平面A

24、1CD平面A1ABB1；（III）过B作BGA1D交A1D于G，平面A1CD平面A1ABB1，且平面A1CD平面A1ABB1=A1D，BGA1D，BG面A1CD，则BCG为所求的角，设棱长为a，可得A1D=，由A1ADBGD，得BG=，在直角BGC中，sinBCG=，直线BC与平面A1CD所成角的正弦值【点评】本题主要考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，以及直线与平面平行的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题18（13分）设椭圆=1（ab0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为（）求椭圆的方程；（）设A，B分别为椭圆的左，右顶点

25、，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点若=8，求k的值【分析】（）先根据椭圆方程的一般形式，令x=c代入求出弦长使其等于，再由离心率为，可求出a，b，c的关系，进而得到椭圆的方程（）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k26=0，再由韦达定理进行求解求得，利用=8，即可求得k的值【解答】解：（）根据椭圆方程为过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为，当x=c时，得y=±，=，离心率为，=，解得b=，c=1，a=椭圆的方程为；（）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由消去y

26、得，（2+3k2）x2+6k2x+3k26=0，x1+x2=，x1x2=，又A（，0），B（，0），=（x1+，y1）（x2y2）+（x2+，y2）（x1y1），=6（2+2k2）x1x22k2（x1+x2）2k2，=6+=8，解得k=【点评】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质等，考查方程思想在椭圆中一定要熟练掌握a，b，c之间的关系、离心率、准线方程等基本性质19（14分）已知首项为的等比数列an的前n项和为Sn（nN*），且2S2，S3，4S4成等差数列（） 求数列an的通项公式；（） 证明【分析】（）由题意得2S3=2S2+4S4，变形为S4S3=S2S4，进而求出公比q的值，代入通项公式进行化简；（）根据（）求出，代入再对n分类进行化简，判断出Sn随n的变化情况，再分别求出最大值，再求出的最大值【解答】（）解：设等比数列an的公比为q，2S2，S3，4S4等差数列，2S3=2S2+4S4，即S4