与平面向量相关的最值问题

1、与平面向量相关的最值问题与平面向量共线有关的最值问题是高考的热点与难点，常以中档小题、压轴小题出现解决此类问题需要先根据题中的向量关系得出未知元之间的关系式，再求出目标的最值本专题主要研究平面向量线性表示背景下的最值问题，并在解决问题的过程中体会数学思想方法的灵活运用.例题：如图，在扇形 OAB 中，AOB60°，C 为弧 AB 上的一动点，若OCxOAyOB(x，yR)，求 x4y 的取值范围变式 1 设点 A，B，C 为单位圆上不同的三点，若ABC，OBmOAnOC(m，

2、n4R)，则 mn 的最小值为_弧上的任意一点，设向量ACDEAP(，R)，求  的最小值变式 2 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 AB 的中点，P 为以 A 为圆心，AB 为半径的圆点 Q 满足AQ  AP  AC，则|BQ|的最小值为_串讲 1 已知ABC 是边长为 3 的等边三角形，点 P 是以 

3、A 为圆心的单位圆上一动点，2 1 33N 两点，设AMxAB，ANyAC(xy0)，求 4xy 的最小值，串讲 2 已知三角形 ABC 中 过中线 AD 的中点 E 任作一条直线分别交边 AB，AC 于 M，BD 相切的圆上，若APABAD，求  的最大值(2017· 新课标卷)在矩形 ABCD 中，AB1，AD2，动点 P 

4、在以点 C 为圆心且与(2018·洛阳三模 在ABC 中，点 P 满足BP2PC，过点 P 的直线与 AB，AC 所以直线分别交于点 M，N，若AMmAB，ANnAC(m0，n0)，求 m2n 的最小值解析：因为BP2PC，所以，APABBPAB  (ACAB)  AB  AC，4 分又因为AMmAB，ANnAC，所以AP  AM AN，7 分由于

5、 M，P，N 三点共线，所以   1，9 分答案：3.2 1 2 3331 2 3m3n123m3n所以 m2n  (m2n)èmnø è14 m  n ø è522n 2mö·   3，12 分3331 æ 1 2ö 

6、1æ    2n 2mö 1æm n ø当且仅当 mn1 时，等号成立，所以 m2n 的最小值为 3.14 分例题答案：1，4解法 1 建立如图所示的直角坐标系，A  ， 2   ，B(1，0)，设         0，因为OC  

7、;xOA  yOB ，所以(cosyC sin，2  2    y(1，0)，方法求解函数 t 的最值情况，因为 t 4sin   cos，当  0，  时，sin0，cos0，则 t  ，即函数 t 在  0，  时是单调递减的，所以当 0 时，tmax 4×

8、;13   ×04，当   时，tmin 4×  3               3            2   3   22设此扇形的半径为 1，

9、AOB 60°，所以xC cos，132313，sin)x ，2sinx，32 3sinsin3解得则 tx4y4cos， 0， 3 ，以下用导数ycos，32 33302 312 33×1，综上所述，x4y 的取值范围是1，4解法 2 建立解法 1 中的直角坐标系 xOy ，设此扇形的半径为 1，由于AOB 60°，则132A， 2 ，B(1，0

10、)，设 C(m ，n)，因为 C 为弧 AB 上的一个动点 ，则 m 2n2311321 2m 1，0n，由于OC xOA yOB ，所以(m ，n)x 2， 2 y(1，0)，从而xm  y，23nx，解得x2   3nym   n，3 ，332 3     

11、0;      3   2 333所以 x4y   n4× m   n  3 (2 3m n)，记 t2 3m n，则直线 l：n2 3m t 过弧 AB 上的点，当点 l过点 B(1，0)时 t 取得最大值 tmax&

12、#160;2 3，当1332 32l过点 A， 2 时，t 取得最小值 tmin  2 ，所以 x4y 3 t1，4解法 3 取 OB 的四等分点(靠近点O)D，连接 AD 交 OC 于点 E，设此扇形的半径为 1，则|OC|1，由于OCxOAyOB，则OCxOA4y×  OBxOA4yOD，因为  A，E，D

13、0; 共线，设OEOAOD，则  1，又因为 O，E，C 共线，设OCkOE，则OCkOEkOAkODxOA4yOD，所以 x4yk      ，当 E，D 重合时，|OE|取得最小值，x4y 取得最大值 4；当E，A 重合时，|OE|取得最大值，x4y 取得最小值 1，所以 x4y1，4(用等和线的知1 4|OC|1|OE|OE|识三言两语就能得出结果，用平面向量基本定理转化需要大量篇

14、幅)变式联想变式 1答案： 2.解法 1 因为ABC 4，所以AOC 2 ，不妨设 A(1，0)，C(0，1)，B(cos ，sin  )，  è，2 ø，则 cos  m，sin  nmncos  sin     2sinè 4 ø   2，

15、30;ö2æ  ö当且仅当 54时取等号解法 2 如图，因为ABC，所以4AOC ，不妨设 A(1，0)，C(0，1)，B(x，y)(优弧上的点)，由于OBmOAnOC，   2，当且仅当 xy    2时取等号2则(x，y)m(1，0)n(0，1)，即 xm，yn，所以 mnxy 2（x2y2）2，所以AOC 2 ，不妨设 A(1，0)，C(0，1)，B(

16、x，y)(优解法 3 如图，因为ABC4弧上的点)，则|OB|1，记 OB 的反向延长线交 AC 于点 D，则因为 A，D，C 共线，设ODOAOC，则 1，又因为 O，D，B 共线，设OBkOD(k0)，则OBkODkOAkOCmOAnOC，所以 mnk()k      ，当 D 位于 AC 中点时，|OD|取得最小值，mn 取得最小值 

17、0; 2，此|OB|1|OD|OD|时 xy    22.答案：  .的边长为 1，则 Eè2，0ø，C(1，1)，D(0，1)，A(0，0)，设 P(cos  ，sin  )，所以AC(1，1)，又ACDEAP.故 è2，1øìï2sin  2cos  ，故íïî (用等和线的知识三言两语就能得出

18、结果，用平面向量基本定理转化需要大量篇幅)变式 212解法 1 以 A 为原点，以 AB 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，设正方形 ABCDæ1öæ1ö (cos ，sin )(1，1)，ìï1cos 1，所以í2ïîsin 1，2cos sin32cos sin ，从而 32sin 2cos2cos

19、 sin（2cos sin ）3sin 32cos sin13sin 3                3sin 3                   ，记 f()12

20、cos  sin2cos sin                         ，由题意得，0  2 ，则 f()  66sin  3cos当 0 时，  的最小值为  .解法&

21、#160;2 如图，设正方形边长为 1，将向量DE沿 DA 平移至AF，则DEAF，连接 FP 并3sin 3éù                 2cos  sin（2cos sin ）20.所以 f()1在ë0， 2 û上单调递增，所以12延长交

22、 AC 的延长线于点 Q，由于 F，P，Q 共线，设AQxAFyAPxDEyAP，则 xy1，因为 A，C，Q 共线，设ACkAQ，则ACkAQk(xDEyAP)，又因为ACDEAP，由平面向量基本定理得 kx， ky，所以 kxkyk      ，当|AQ|最大时，  取得最小值，此时 P，B 重合，|AQ|2   2，所以()minkmin &

23、#160;.2答案：   7  .轴，竖直方向为 y 轴，建立平面直角坐标系，则 A(0，0)，Bè2，2   3ø，Cè2，2   3ø，设 P(cos  ，sin  )，AQ  AP  AC  (cos  ，sin  )，2   3&#

24、248;|AC|2|AQ|AQ|1(用等和线的知识三言两语就能得出结果，用平面向量基本定理转化需要大量篇幅！)说明：平面向量线性表示背景下的最值问题涉及平面向量的线性表示、平面向量基本定理、向量共线等知识点 ，解决此类问题通常是先合理设元将向量关系数量化进而得出未知元之间的关系式 ，再依据函数的单调性或基本不等式求目标函数的最值解决问题的关键是目标的有效选择与合理表征，等和线在解决线性目标函数问题时，比较快捷串讲激活串讲 123解法 1 以 A 为原点，水平方向为 xæ33öæ33&#

25、246;2 1 23331æ33ö3è2cos    ，  sin      3ö，BQBAAQè2，2   3øcos    ，  sin      3öè3cos  2，3sin  &#

26、160;  3ø，则|BQ|æ212è3232 øæ212è3232 ø      æ3 3 öæ2 2 öæ2cos  2ö2æ2sin     3ö2  7sin（）( 是以 sin &

27、#160; 7，è3øè3ø67 4                          29  3             

28、60;            7cos 217的非特殊角)，所以|BQ|  7sin（）67  49  3  7         7  .67  49  36712 7 3 72  

29、0;   29        3         3解法 2 如图，取 AC 的三等分点 D(靠近 A)，则AD  AC，又AQ  AP  AC，即AQ  APAD，及DQ  AP，因为点 P 是以 A

30、0;为圆心的单位圆上一动点，所以点 Q 是以点D 为圆心，  为半径的圆上的动点，又 BD   7，所以|BQ|的最小值为   7  .1 2 1 3332 2 3323BC2DC22BC·DCcosBCD 32222×3×2cos60°23答案：  .解法 1 由题意可知，M，E，N 三点共线，故设ME&#

31、160;MN(01)，而AE  AD(ABAC)，所以MEMN，即AEAM(ANAM)，即  (ABAC)xAB(yACxAB)，即è4xxøABè4yøAC0，所以串讲 2941 1241  4æ1ö æ1ö ì1xx0，í44î1y0，ìx即 íîy4， 4 è14ø  (1 

32、;)14（1） ，1故4x y11    1 æ 1 1 ö11  5 4 4是  .2941  1 5 9                      

33、0; 1             1· 4 44，当且仅当1 4 时，即 3时等号成立，故 4xy 的最小值解法 2 由于 M，E，N 共线，设AEAMAN，则 1，因为AMxAB，ANyAC，所以AExAByAC，由于 AD 为三角形 ABC 的中线，所以AD  AB

34、  AC，又因为 E 为 AD 中点，所以AE  AD  AB  ACxAByAC，所以1 1 221 1 1 244ìx1，í且 1，所以    4(xy0)，所以 4xy  ×(4xy)èxyø44î y1，1 1                  &#