第六讲多元函数的概念

1、第五讲第五讲多元函数的概念多元函数的概念一、多元函数的概念例例1 矩形面积s与长x，宽y有下列依赖关系 s=xy (x0,y0)，1、引例其中长x和宽y是两个独立的变量，在它们变化范围内，当x，y的值取定后，矩形面积s有一个确定值之对应.例例2 理想气体的压强p与容积v，绝对温度t之间有下列依赖关系), 0, 0( 为常量rtvvrtp其中v，t是独立取值的两个变量，在它们的变化范围内，对v，t的每一组值，压强p有一个确定值与之对应.2.二元函数的定义定义8.2 设有三个变量x，y，z，如果对于变量x，y的变化范围内所取的每一对值，变量z都按照一定的规则，有一个确定的值与之对应，则称z 为x，

2、y的二元函数，记作 z=f(x,y) 或 z=z(x,y)，其中x，y称为自变量，z称为函数(或因变量).自变量x，y的变化范围称为函数的定义域. 当自变量x，y分别取x0，y0时，函数z的对应值z0，记作z0=f(x0,y0)，称为二元函数z=f(x,y) 当x=x0，y=y0，时的函数值.类似地，可以定义三元函数u=f(x,y,z)以及三元以上的函数.二元以及二元以上的函数统称为多元函数.函数的定义域是函数概念的一个重要组成部分.建立函数，一般是根据实际问题确定函数的定义域. 对于由数学式子表示但未说明具体范围的函数z=f(x,y)，定义域为使函数z有意义的自变量取值的全体.求函数的定义域

3、，就是求出使函数有定义的所有自变量的取值范围.例例3 求出二元函数 的定义域.221yxz解解 自变量x，y必须满足不等式, 122 yx即为函数定义域.例例4 求函数z=ln(x+y)的定义域.解解 函数的定义域为 x+y0.例例5 求函数 的定义域(a0,b0).byaxzarcsinarcsin解解 函数的定义域由不等式组byax|，bybaxa ，即其图形是矩形内部(包括边界).例例6 求函数 的定义域.2211yxz解解 函数的定义域为, 0)(122yx. 1 22 yx即它的图形是单位圆内部(不包括边界).二元函数定义域的图形可以是全平面，也可以是一条或几条曲线围成的平面的一部分

4、，或者是零星的一些点.全平面，或者满足下述三个条件的平面点集称为平面开区域，简称平面区域.这三个条件是：(1) 其边界是由一条或几条曲线所组成,(2) 点集内不包含边界上的点,(3) 点集内任意两点，存在一条全部含于该点集内的折线，将该两点连接起来.)2( 点集内包含边界上所有的点.这种平面点集称为平面闭区域.如果一个区域可以被包围在一个以原点为圆心的某个圆内，则称此区域为有界区域，否则称其为无界区域.例例1 求出二元函数 的定义域.221yxz解解 自变量x，y必须满足不等式, 122 yx即为函数定义域.例例2 求函数z=ln(x+y)的定义域.解解 函数的定义域为 x+y0.例例3 求函数 的定义域(a0,b0).byaxzarcsinarcsin解解 函数的定义域由不等式组byax|，bybaxa ，即其图形是矩形内部(包括边界).例例4 求函数 的定义域.2211yxz解解 函数的定义域为, 0)(122yx. 1 22 yx即它的图形是单位圆内部(不包括边界).3.二元函数的几何意义函数z=f(x,y)的几何图形是一张曲面.这就是二元函数的几何意义. 而定义域d正是这曲面在oxy平面上的投