2017年辽宁省沈阳市高考数学二模试卷(文科)

1、2017 年辽宁省沈阳市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60 分）1（5 分）已知复数 z=1+2i，则 z? =（）A34i B5+4i C 3 D52（5分）已知集合 A=x|x22x3<0，B=x| x| <2 ，则 AB=（）Ax|2<x<2 Bx| 2<x<3 Cx| 1<x<3 Dx| 1<x<2 3（5 分）祖暅原理： “幂势既同，则积不容异 ”它是中国古代一个涉及几何体 体积的问题， 意思是两个同高的几何体， 如在等高处的截面面积恒相等， 则体积 相等设 A，B 为两个同高的几

2、何体， p：A，B的体积相等， q：A，B 在等高处 的截面面积恒相等，根据祖暅原理可知， p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件4（5 分）直线 x3y+3=0与圆（x1）2+（y3）2=10相交所得弦长为（）ABC 4 D35（5 分）下列命题中错误的是（）A如果平面 外的直线 a不平行于平面 ，平面 内不存在与 a 平行的直线 B如果平面 平面 ，平面 平面 ， =，l 那么直线 l平面 C如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 D一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交 6（5分）已知数列 an满足 a

3、n+1an=2，a1=5，则| a1|+| a2|+ +| a6| =（）A9 B15 C18 D307（5 分）在平面内的动点（ x，y）满足不等式，则 z=2x+y 的取值范围是（ ）A（， +） B（， 4 C4， +） D 2，2 8（5 分）某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A4 B8 CD9（5 分）函数 y= 的大致图象是（ ）ABC第28页（共 20页）D10（5分）若关于 x的方程 2sin（2x+ ）=m 在0， 上有两个不等实根，则 m 的取值范围是（ ）A（1， ） B 0，2 C 1，2） D 1， 11（5 分）运行如图所示的程序框图，则输出结果为（）ABCD

4、12（5 分）对? x（0， ），8xlogax+1恒成立，则实数 a的取值范围是 （ ）A（0， ）B（0， C ，1） D ， 1）二、填空题（本小题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分）13（ 5 分）某班级有 50 名同学，一次数学测试平均成绩是 92，其中学号为前 30 名的同学平均成绩为 90，则后 20名同学的平均成绩为14（ 5 分）已知函数 f（ x）=exsinx，则 f （0）=15（5分）等比数列 an中各项均为正数， Sn是其前 n项和，且满足 2S3=8a1+3a2， a4=16，则 S4=16（5 分）过双曲线=1（a>b>0）的左焦点 F1作斜率

5、为 1 的直线，分别与渐近线相交于 A，B 两点，若=，则双曲线的离心率为三、解答题（本题共 70 分）17（12 分）已知点，Q（ cosx，sinx），O 为坐标原点， 函数（ 1）求函数 f（ x）的解析式及最小正周期；（2）若 A 为ABC的内角， f（A）=4，BC=3，ABC的面积为，求 ABC的周长18（12 分）某手机厂商推出一款 6寸大屏手机，现对 500名该手机使用者 （200 名女性， 300 名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如表： 女性用户：分值区 50， 60) 60， 70) 70， 80) 80， 90) 90， 100间频数2040805010

6、男性用户分值区 50， 60) 60， 70) 70， 80) 80， 90) 90， 100间频数457590 60 30）完成下列频率分布直方图， 并比较女性用户和男性用户评分的波动大小 （不 要求计算具体值，给出结论即可） ；）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取 20 名用户，再从这 20名用户中满足评分不低于 80分的用户中任意抽取 2 名用户，求 2名用户评分都 小于 90 分的概率19（ 12 分） 如图，四棱锥 PABCD的底面 ABCD为矩形， PA底面 ABCD， AD=AP=2， AB=2 ，E为棱 PD 的中点（）证明： PD平面 ABE；（ ）求三棱锥 CPB

7、D外接球的体积20（12 分）已知函数 f（x）=axlnx（1）过原点 O 作曲线 y=f（x）的切线，求切点的横坐标；（2）对? x 1， +），不等式 f（x）a（2xx2），求实数 a的取值范围21（ 12 分）已知椭圆 C：，F1，F2 分别是其左、右焦点，以F1F2 为直径的圆与椭圆 C有且仅有两个交点（ 1）求椭圆 C 的方程；（2）设过点 F1且不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆于 A，B两点，线段 AB的垂直，求线段 AB 长的取平分线与 x 轴交于点 P，点 P横坐标的取值范围是值范围 选修 4-4 ：坐标系与参数方程选讲 轴为极轴，建立极坐标系，曲线22（ 10分）已知在平

8、面直角坐标系 xOy中，以坐标原点 O为极点，以 x 轴正半C1 的极坐标方程为 =4cos，直线 l 的参数方程（1）求曲线 C1的直角坐标方程及直线 l 的普通方程；（2）若曲线 C2的参数方程为（为参数），曲线 C1上点 P的极角为 ，Q为曲线 C2上的动点，求 PQ的中点 M 到直线 l 距离的最大值 选修 4-5 ：不等式选讲 23已知 a>0，b>0，函数 f（x）=| x+a|+| 2xb| 的最小值为 1 （ 1）求证： 2a+b=2；（ 2）若 a+2btab 恒成立，求实数 t 的最大值2017 年辽宁省沈阳市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题

9、（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60 分）1（5 分）已知复数 z=1+2i，则 z? =（）A34i B5+4i C 3 D5【解答】 解： z? =（1+2i）（12i） =12+22=5 故选： D2（5分）已知集合 A=x|x22x3<0，B=x| x| <2 ，则 AB=（）Ax|2<x<2 Bx| 2<x<3 Cx| 1<x<3 Dx| 1<x<2 【解答】 解：集合 A= x| x22x3<0 = x| 1<x<3，B= x| x| <2 = x| 2<x<2 故选： D3（5

10、 分）祖暅原理： “幂势既同，则积不容异 ”它是中国古代一个涉及几何体 体积的问题， 意思是两个同高的几何体， 如在等高处的截面面积恒相等， 则体积 相等设 A，B 为两个同高的几何体， p：A，B的体积相等， q：A，B 在等高处 的截面面积恒相等，根据祖暅原理可知， p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解答】 解：由 q? p，反之不成立p 是 q 的必要不充分条件故选： B4（5 分）直线 x3y+3=0与圆（x1）2+（y3）2=10相交所得弦长为（）ABC 4 D3【解答】解：圆（x1）2+（y3）2=10的圆心坐标为（ 1，3

11、），半径 r= ，圆心到直线 x3y+3=0 的距离 d= ，故弦 AB=2=，故选 A5（5 分）下列命题中错误的是（）A如果平面 外的直线 a不平行于平面 ，平面 内不存在与 a 平行的直线 B如果平面 平面 ，平面 平面 ， =，l 那么直线 l平面 C如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 D一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交 【解答】解：如果平面 外的直线 a不平行于平面 ，则a与相交，则 内不 存在与 a平行的直线，故 A 正确； 如图： ，=，a ，=，b =，l在内取一点 P，过 P作 PAa于 A，作 PBb于 B，由面面垂直的性质可得

12、PA l，PBl，则 l，故 B 正确；如果平面 平面 ，那么平面 内的直线与平面 有三种位置关系：平行、相 交、异面，故 C 错误； 一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交，故 D 正 确故选： C6（5分）已知数列 an满足 an+1an=2，a1=5，则| a1|+| a2|+ +| a6| =（）A9 B15 C18 D30【解答】 解：an+1an=2，a1=5，数列 an是公差为 2 的等差数列 an= 5+2（n1） =2n7数列 an的前 n 项和 Sn=n26n令 an=2n 7 0， n 3 时， | an| = ann4 时，| an| =an则|

13、a1|+| a2|+ +| a6| =a1a2a3+a4+a5+a6=S62S3=626×62（326× 3） =18 故选： C7（5分）在平面内的动点（ x，y）满足不等式，则 z=2x+y的取值范围是（ ）A（， +） B（， 4 C 4， +） D 2，2【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图，化目标函数 z=2x+y 为 y=2x+z，由图可知， z=2x+y 的取值范围是（， +） 故选： A8（5 分）某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A4 B8 C D【解答】解：由题意三视图可知，几何体是四棱锥，底面边长为 2 的正方形， 条侧棱垂直正方形的一个顶点

14、，长度为 2， 所以几何体的体积是：故选 DAB9（5 分）函数 y= 的大致图象是（ ）CDx>0 时， y>0，当 x<0解答】 解：由函数定义域排除 A，函数的值域可知时， y<0，排除 C，D 故选： B10（ 5 分）若关于 x 的方程 2sin（2x+ ）=m 在 0， 上有两个不等实根， 则 m 的取值范围是（ ）A（1， ） B 0，2 C 1，2） D 1， 【解答】 解：方程 2sin（ 2x+ ）=m 可化为sin（2x+ ）= ，当 x0， 时，2x+ ， ，得 < 11m<2m 的取值范围是 1，2）故选： C解答】 解：输入 a=

15、1， b=2，则输出结果为（1）f（m）<0，f（1）=1<0，f（ m）=f（ > 0， fa=1， b= ，| 1 | = > ，m= ，f（1）=1，f（m）=f（ ）< 0，f（1）f（m）>0，a=，b= ，| = > ，f（m）=f（ ）< 0，f（a）f（m）> 0，| = < 0.2，退出循环，输出m=故选： A12（5 分）对? x0， ），8xlogax+1恒成立，则实数 a的取值范围是 （0， C ，1）A（0， ）【解答】 解： a当 0<x< 时，函数 y=8x 1 的图象如下图所示：BD ，1）

16、0，1）（ 1，+），对任意 x（ 0，1）点时，），总有 8xlogax+1 恒成立，则 y=logax 的图象恒在 y=8x 1 的图象的上方（如图中虚线所示） y=logax 的图象与 y=8x1的图象交于（ a= ， 故虚线所示的 y=logax 的图象对应的底数 a 应满足 a<1故选： C、填空题（本小题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分）13（ 5 分）某班级有 50 名同学，一次数学测试平均成绩是 92，其中学号为前 30 名的同学平均成绩为 90，则后 20名同学的平均成绩为 95 【解答】解：设学号为 31号到 50号同学的平均成绩为 x，则 92×5

17、0=90×30+20x，解得： x=95，故答案为： 9514（ 5 分）已知函数 f（ x）=exsinx，则 f （0）= 1 【解答】 解：根据题意，函数 f（x）=exsinx， 其导数 f （ x）=（ex） sin+xex（sinx）=xseinx+excosx， 则 f （ 0） =e0sin0+e0cos0=1； 故答案为： 115（5分）等比数列 an中各项均为正数， Sn是其前 n项和，且满足 2S3=8a1+3a2， a4=16，则 S4= 30 【解答】 解：设等比数列 an 的公比为 q>0，2S3=8a1+3a2，a4=16， 2a1（ 1+q+q2

18、）=a1（ 8+3q），=16，解得 a1=q=2 则 S4=3016（5 分）过双曲线故答案为： 30 =1（a>b>0）的左焦点 F1作斜率为 1 的直线，分别与渐近线相交于 A，B 两点，若=，则双曲线的离心率为【解答】 解：设 F1（c，0），则过 F1作斜率为 1的直线为： y=x+c， 而渐近线的方程是： y=± x，由得： A（， ），化为 b=3a，c= a， e= = 故答案为 三、解答题（本题共 70 分）17（12 分）已知点，Q（ cosx，sinx），O 为坐标原点， 函数（ 1）求函数 f（ x）的解析式及最小正周期；（2）若 A 为ABC的内

19、角， f（A）=4，BC=3，ABC的面积为，求 ABC的周长【解答】 解：（1）， =4 2sin（ x+ ），f（x）的最小正周期为 2； （6 分）（ 2）因为 f（A）=4，所，因为 0<A< ，所以，因为，所以 bc=3，根据余弦定理 ，所以 ，即三角形的周长为（12 分）18（12 分）某手机厂商推出一款 6寸大屏手机，现对 500名该手机使用者 （200 名女性， 300 名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如表： 女性用户：分值区 50，60） 60，70） 70， 80） 80，90） 90，100频数 男性用户 分值区 50，60） 60，70）

20、间频数 45 752040805010 70， 80) 80， 90) 90， 100906030（）完成下列频率分布直方图， 并比较女性用户和男性用户评分的波动大小 （不 要求计算具体值，给出结论即可） ；（）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取 20 名用户，再从这 20 名用户中满足评分不低于 80分的用户中任意抽取 2 名用户，求 2名用户评分都 小于 90 分的概率【解答】 解：（）对于女性用户，各小组的频率分别为： 0.1，0.2， 0.4，0.25， 0.05，其相对应的小长方形的高为 0.01， 0.02，0.04，0.025，0.005， 对于男性用户，各小组的频率分

21、别为： 0.15，0.25，0.30，0.20，0.10，其相对应 的小长方形的高为 0.015，0.025， 0.03，0.02，0.01，直方图如图所示：由直方图可以看出女性用户比男性用户评分的波动大（）运用分层抽样从男性用户中抽取 20名用户，评分不低于 80分有 6人，其 中评分小于 90 分的人数为 4，从 6 人人任取 2 人，则 80，90）分数段抽取 4 人，分别记为 A，B，C，D，90，100分数段抽取 1 人，记为 E，M则基本事件空间包含的基本事件有： （ A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C）， （B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，

22、E），（A，M），（B，M），（C，M），（D， M），（E，M）共 15 种2 名用户评分都小于 90 分的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（ B， C）， （B，D），（C，D）共 6 种故 2 名用户评分都小于 90 分的概率 P= = 19（ 12 分） 如图，四棱锥 PABCD的底面 ABCD为矩形， PA底面 ABCD， AD=AP=2， AB=2 ，E为棱 PD 的中点（）证明： PD平面 ABE；（ ）求三棱锥 CPBD外接球的体积【解答】 证明：（）以 A为原点， AB为 x轴，AD为 y轴，AP为 z轴，建立空 间直角坐标系，P（0，0，2），D（0，2，0

23、）， A（ 0，0，0），B（2 ，0，0），E（0，1，1）， =（0，2， 2）， =（2 ，0，0）， =（0，1，1），=0，=0，PDAB，PDAE， ABAE=A， PD平面 ABE解：（） AD，AP，AB两垂直，底面 ABCD为矩形，三棱锥 CPBD外接球即以 AB，AD，AP 为棱的长方体的外接球，三棱锥 CPBD外接球的半径 R=3，三棱锥 CPBD外接球的体积 V= =3620（12 分）已知函数 f（x）=axlnx（1）过原点 O 作曲线 y=f（x）的切线，求切点的横坐标；（2）对? x 1， +），不等式 f（x）a（2xx2），求实数 a的取值范围【解答】 解：

24、（1）设切点为（ x0， ax0lnx0），直线的切线方程为 y（ax0lnx0）=（ a ）（xx0），又切线过原点 ax0+lnx0= ax0+1，所以 lnx0=1，解得 x0=e，所以切点的横坐标为 e（4 分）（2）因为不等式 axlnxa（2xx2）对? x 1，+）恒成立，所以 ax2ax lnx 0 对? x 1， +）恒成立设 g（x） =ax2axlnx， g（x） =2ax a 当 a0 时， g（x）在 1， +）上单调递减，即 g（x）g（1）=0，a0 不符合题意当 a>0 时，设 ，在 1，+）上单调递增，即 a1（ i）当 a1 时，由 h（x）0，得 g

25、'（x） 0， g（ x）在 1，+）上单调 递增，即 g（x）g（1）=0，a1 符合题意；（ ii）当 0<a<1 时， a1<0，? x01，+）使得 h（x0） =0，则 g（x）在 1，x0）上单调递减，在（ x0， +）上单调递增， g（x0）<g（1）=0，则 0< a<1 不合题意 综上所述， a 1（12 分）21（ 12 分）已知椭圆 C：，F1，F2 分别是其左、右焦点，以F1F2 为直径的圆与椭圆 C有且仅有两个交点 （ 1）求椭圆 C 的方程；2）设过点 F1且不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆于 A，B两点，线段 AB的垂直平分线与 x 轴交于点 P，点 P横坐标的取值范围是，求线段 AB 长的取 值范围【解答】解：（1）根据题意，因为以 F1F2 为直径的圆与椭圆 C有且仅有两个交点， 所以 b=c=1，即 a= ， 即椭圆 C 的方程为2）根据题意，过点 F1且不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆于 A，B两点，即直线AB的斜率存在，设直线 AB 的方程为 y=k（x+1），联立，得（ 1+2k2）x2+4k2x+2k2 2=0，设 A（x1，y1），B（x2， y2）， AB的中点为 M（x0， y0），设直线 AB 的垂直平分线方程为 令y=0，得；即线段 AB 长的范围是（，2 ）