积分变换第4讲

1、1在付氏变换中卷积的定义为：在付氏变换中卷积的定义为：.)()()()(2121dtfftftf 若当自变量为负时，认为函数值为若当自变量为负时，认为函数值为0 0，则上则上式可表示为：式可表示为：1 1、卷积的概念、卷积的概念.)()()()()()(02102121dtffdtfftftft 2拉氏变换下的卷积的定义为：拉氏变换下的卷积的定义为：)1(.)()()()(02121dtfftftft 变换下的卷积定义不同；变换下的卷积定义不同；2、拉氏变换下的卷积满足交换律：拉氏变换下的卷积满足交换律：);()()()(1221tftftftf 3、拉氏变换下的卷积满足拉氏变换下的卷积满足结

2、合律结合律和和分配律分配律.这些性质很容易根据（这些性质很容易根据（1 1）证明）证明. .3解解：根据（：根据（1）式，得）式，得例例1 1 求函数求函数ttfttfsin)(,)(21 的卷积的卷积. .sin)cos(|)cos()sin()()(00021ttdttdttftfttt 于是于是.sinsintttt 例例2 2 求函数求函数ttfttfcos)(,)(21 的卷积的卷积. .提示：提示：.cos1costtt 42 2、卷积定理、卷积定理同付氏变换一样，拉氏变换也有所谓卷积定理同付氏变换一样，拉氏变换也有所谓卷积定理. .或者或者则则的的条条件件，满满足足拉拉氏氏变变换

3、换存存在在定定理理设设),()(),()()(),(221121sftfsftftftf ll定理定理).()()()(2121sfsftftf l).()()()(21211tftfsfsf- l 这里的证明思想和傅立叶意义下卷积定理的这里的证明思想和傅立叶意义下卷积定理的证明类似，所以证明从略证明类似，所以证明从略. .5deett 0.tet tteesl )1(121解：解：例例3 求求2)1(1)( ssf的逆变换的逆变换.例例4 求求)1(1)(22 sssf的逆变换的逆变换.ttsslsin)1(1221 解：解：.sin tt ?)1(121 ssl6例例5 解下列积分方程：解

4、下列积分方程：).0()()()cos(2sin0 ttduuuttt解：本题的方程为卷积型的，即可表为解：本题的方程为卷积型的，即可表为).(cos)(2sintttt 因此，两端取因此，两端取拉氏变换拉氏变换，记，记),()(sftl 那么由那么由卷积定理卷积定理，得，得),(cos)(2sintltltltl ).()(121122sfsfsss 即即7.)1(1)(2 ssf最后一步，最后一步，取逆变换取逆变换：.0,)1(1)()(211 tteslsfltt得到象函数表达式为：得到象函数表达式为：)()(121122sfsfsss 由由).0()()()sin(0 ttfdxxft

5、xtt练习题练习题 求解下列积分方程：求解下列积分方程：81 1、反演积分公式、反演积分公式tetutf )()( 函数函数 f( (t t) )的的拉氏变换拉氏变换，实际上就是，实际上就是的的傅氏变换傅氏变换，即，即 .)(21)()(deifetutftit.)()()()( tdeetutfifsftittetutf )()( 因此，当因此，当 满足满足傅氏积分定理傅氏积分定理的条的条件时，在件时，在 f( (t t) )的的连续点连续点处，有处，有9，因因而而得得到到时时，注注意意到到这这样样当当1)(0 tut deifetftit)(21)( iitsistidsesfideif.

6、)(21)(21)(即即)1(.)(21)( iitsdsesfitf公式（公式（1 1）就是从）就是从像函数像函数f f( (s s) )求求像原函数像原函数 f( (t t) )的一般公式，称为的一般公式，称为反演积分公式反演积分公式. .10证明思路证明思路：如图，引进辅助半：如图，引进辅助半圆周，则形成闭合路径圆周，则形成闭合路径. 应用留数定理，令应用留数定理，令r+，并，并证明证明cr上的积分趋于上的积分趋于0，由此便，由此便可得到结论可得到结论.2 2、利用留数求逆变换、利用留数求逆变换定理定理, 0)()re()(,21 sfsssfsssn时时，且且当当内内），面面使使得得这

7、这些些奇奇点点都都在在半半平平选选取取的的所所有有奇奇点点（适适当当是是函函数数设设则有则有cr +ir.s2.s1.sn-ir)2(. ,)(re)(21)(1 nkktsiitssesfsdsesfitf11需要特别指出的是：需要特别指出的是：.)()()()()(11 nkktsksbesasbsaltfk)()()(sbsasf 若若为不可约为不可约真有理分式真有理分式，在这种情，在这种情况下，可以利用公式（况下，可以利用公式（2）.情形情形1 1 若若b(s)有有n个个单零点单零点则则,21nsss情形情形2 2 若若b(s)有有m 级零点级零点则则,ks.)()()(lim)!1(

8、1,)()(re)1( mstmksskstesbsassmsesbsask12例例1 1 求下列有理分式的拉氏逆变换：求下列有理分式的拉氏逆变换：.12)3(;)1(1)2(;)1(22222 ssssskskkkekkesbesatfktktnkktskk22)()()(1 .ktsh 解：（解：（1）显然显然 k 和和 k 为分母的一级零点，则为分母的一级零点，则 （2）0 和和 1 分别为分母的一级和二级零点，则分别为分母的一级和二级零点，则lim)1(lim)(120 sesetfstssts.1lim121ttststseteseste 13.12121)(2 ssssf12121

9、)(211 ssslltf)12(lim)(1 stsest.)2()(tett 12)(22 ssssf（3）为为假假有理分式，有理分式，于是分解于是分解注意到注意到 s = -1为为 f(s) 的的二阶极点二阶极点，故，故142)1)(2(1)( sssf例例2 求求的逆变换的逆变换.)1(11121)(2111 slslsltf于是于是.)1(11121)(2 ssssf解：解：显然显然.2tttteee 如何求？如何求？事实上，事实上，.)1(1;1211tkttesleksl 位移或微分性质位移或微分性质该题还可以其他办法求解该题还可以其他办法求解. .15 拉氏变换在线性系统分析中

10、的应用，要涉及到拉氏变换在线性系统分析中的应用，要涉及到响应响应、传递函数传递函数等专业术语，这在后面专业课中会等专业术语，这在后面专业课中会详细讨论详细讨论. 下面举例说明它在数学中的应用：用拉氏变换下面举例说明它在数学中的应用：用拉氏变换求解微分（常微分，偏微分）方程、积分方程求解微分（常微分，偏微分）方程、积分方程.此方法的原理：此方法的原理：应用变换的微分、积分公式，将未应用变换的微分、积分公式，将未知函数的微积分方程化为其象函数的代数方程，求知函数的微积分方程化为其象函数的代数方程，求解象函数，最后取逆变换便得到原方程的解！解象函数，最后取逆变换便得到原方程的解！1602620)()

11、()()()()(txtxtydttxtytyt(0)5, (0)6yx 满足的解.求方程组：求方程组：17解：解：方程两端取拉氏变换，并记方程两端取拉氏变换，并记 ( )( ), ( )( ),l x tx sl y ty s由微分、积分公式，得到由微分、积分公式，得到62( )( 5)2 ( )( )sy sy sx sss ( )( )6( )0sy ssx sx s这是一关于这是一关于x(s),y(s)的线性代数方程组，求解得的线性代数方程组，求解得2222(32)578( ), ( )34(34)sssx sy ssss ss18最后取逆变换。最后取逆变换。因为是因为是真有理分式，真有理分式，故此可用故此可用反反演公式化为留数计算，演