二次根式培优讲义

1、二次根式导学案第一课时二次根式复习（ 1）已知 x2a ，那么 a 是 x 的_; x 是 a 的_ 记为 _, a 一定是 _数。（ 2） 4 的算术平方根为2，用式子表示为4=_；正数 a 的算术平方根为 _，0 的算术平方根为 _；式子a0( a0) 的意义是。自主学习(1)16 的平方根是；(2) 一个物体从高处自由落下， 落到地面的时间是 t ( 单位：秒) 与开始下落时的高度 h( 单位：米) 满足关系式 h5t 2 。如果用含 h 的式子表示 t ，则 t =；(3) 圆的面积为 S，则圆的半径是；(4) 正方形的面积为 b3，则边长为。思考： 16 ， h，s ,b 3等式子的

2、实际意义 . 说一说他们的共同特征 .5定义 : 一般地我们把形如a （ a0 ）叫做二次根式， a 叫做 _。1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3 ，16，34，5 ，a (a0) ， x 2132、当 a 为正数时a 指 a 的，而 0 的算术平方根是，负数，只有非负数 a 才有算术平方根。所以，在二次根式a 中，字母 a 必须满足,a 才有意义。3、根据算术平方根意义计算：(1) (4) 2(2) (3)2（ ） (0.5) 2（）( 1)2343根据计算结果，你能得出结论：(a2，其中 a0 ,) _4、由公式 (a )2a(a0) ，我们可以得到公式 a =

3、 ( a )2 ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。如 ( 5 ) 2=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=(5 )2.练习： (1) 把下列非负数写成一个数的平方的形式：60.35(2) 在实数范围内因式分解x2742a -11.【例 1】下列式子，哪些是二次根式， 哪些不是二次根式：2 、 3 3 、 1 、 x （x>0）、0、42、x- 2 、1、 x y （x0，y? 0）xy【例 2】当 x 是多少时， 2x3 + 1在实数范围内有意义？x1【例 3】已知 y= 2 x + x2 +5，求 x 的值y若a1 +b1 =0，求 a2012+b2

4、012 的值练习： 1、 x 取何值时，下列各二次根式有意义？ 3x 4212x2 x32、（ 1）若 a3 3 a 有意义，则 a 的值为 _（2）若x在实数范围内有意义，则x 为（）。A. 正数B. 负数C. 非负数D.非正数3、(1)在式子12x1中， x 的取值范围是 _.x(2) 已知x24+ 2xy ，则xy_.0( 一) 填空题：321、2、若2x1y1 0 ，那么 x =， y =。53、当 x=时，代数式4x5 有最小值，其最小值是。4、在实数范围内因式分解：（ 1） x 29x2( )2）(x-)（2） x 23x2( )2）(x-)=（x+=（x+（二）选择题：1、一个数

5、的算术平方根是 a，比这个数大3 的数为（） A 、a3 B 、 a3C 、 a3D 、a 232、二次根式a1 中，字母 a 的取值范围是（） A 、 alB 、a1C 、a1D 、a13、已知x3 0 则 x 的值为（）A、 x>-3B、x<-3C、 x=-3D、 x 的值不能确定.4、下列计算中，不正确的是 （）。A、3= ( 3)2B、( 0.5)2C、0.62235(5 7)0.5=0.6 D、第二课时二次根式的性质复习（1）什么是二次根式， 它有哪些性质？（2）二次根式2有意义，则 x。x5（3）在实数范围内因式分解： x26 x 2( )2=（x+） (x-)自主学习

6、【探究一】1.根据算术平方根的意义填空：（ 4 ） 2=_；（ 2 ） 2=_；（ 9 ） 2=_；（ 3 ）2=_；（1 ） 2=_；（7 ） 2=_；（0 ）2=_32根据以上结果，你能发现什么规律？【归纳】二次根式的性质 ：（ a ）2=a（a0）【例 1】计算：（3 ）2（ 35 ） 2（5 ）2（7 ）2262【例 2】计算：（1）（ x1） 2（x0）（a2 ）2（a22a1 ） 2（ 4x2 12x 9 ）2【例 3】在实数范围内分解下列因式 :（1）x2-3（ 2）x4-4(3) 2x2-3【探究】1、计算：420.22(4)22025观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：

7、当a0时 ,a 22、计算：( 4)2( 0.2) 2(4) 2(20)25观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当a0时,a 23、计算：02当a时20 , a4、归纳总结将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：.aa0a 2a00a a 05、化简下列各式：（ 1）、 0.32（ 2）、 ( 0.5) 2（ 3）、 ( 6) 2（4）、2a 2 =（ a0）巩固练习1计算（1）（92（ ）（21222）（3）（6 ）（ ）（）(5)(23 32)(23 32)2 - 34 -3232把下列非负数写成一个数的平方的形式:53.4 1 （ ）6x x03在实

8、数范围内分解下列因式:x2-2x4-9 3x2-54 、化简下列各式(3)2 (3)2（1）aa（ ）2x 3 （ 2x -1.5)达标测试：1、填空：（1）、(2x1)2-(2x3)2( x2)=_.（ ）、4)2=2(（3）a、b、c 为三角形的三条边，则(a b c)2b a c _.2、已知 2x3，化简：( x2) 2x3二次根式的乘除法第一课时二次根式的乘法理解a ·b ab （a 0， b 0），ab =a ·b （a0，b0），并利用它们进行计算和化简复习（1）4×9=_，49=_；4×9_49.（2） 16 ×25 =_， 1

9、625 =_；16× 25_1625（3） 100 ×36 =_， 10036 =_100 × 36 _10036一般地，对二次根式的乘法规定为a · b ab （ a0，b0 反过来 :ab =a · b （a 0，b0）例 1、计算（1） 5× 7（2） 1× 9（3）3 6 ×210（4） 5a · 1 ay35例 2、化简（1）916（ 2）1681（3）81 100（4）9x2 y 2（5）54巩固练习（ 1） 计算： 16×85 5×2 15 12a 3 · 1a

10、y 23（2）化简 :20 ;18 ;24 ;54 ;12a2b2（ 3）判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：(4)(9)49412 ×25 =4× 12 ×25=4 12× 25=4 12=8 3252525随堂训练1、选择题（ 1）等式x1 ?x1x21 成立的条件是（）A x 1Bx-1C-1 x1Dx1 或 x-1（ 2）下列各等式成立的是（）A45×25=85B53×42=205C43×32=75D53×42=206.（ 3）二次根式( 2)26 的计算结果是（）AB2 6-2 6C6 D122、化

11、简（1）360 ；（ 2）32x 4；3、计算：（1） 1830 ；（2） 32 ；75第二课时二次根式的除法复习1、写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质2、计算：（1）38 ×（ -46 ）（2）12ab6ab33、填空： （1）9，9规律：99；16=_=_；_161616（ 2）16 =_，16=_；16 _16 ；36363636一般地，对二次根式的除法规定：a =a （ a 0， b>0）反过来，a =a （a0，b>0）bbbb【例 1】计算：（1） 12（ ） 31（ ）11（） 643283416482【例 2】化简：（1）3（ ） 64b2（ ）

12、9 x642364y29a2巩固练习1、计算：.（1） 12（ ） 31（ ）9x（4）5x328364y2169y22拓展延伸阅读下列运算过程：1333 ， 2252 53335555数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化 ”。利用上述方法化简：(1)2 =_ （）31 =_( )1 =_ _ ( )210 =_ _62125测试：1、选择题（1）计算 1 12 11 2 的结果是（）A25B2C 2D 2335777（2）化简 3 2的结果是（）A -2B -2C -6D-2273332、计算：（ 1）2（ 2）2x 3（3）11（4）9x488x41664 y2用两种方法计算

13、：（1） 64（2）6843第三课时最简二次根式复习（1）96x4=（）32=（3） 3=(4）32=252727【例 1】判断下列二次根式，哪些是最简二次根式？为什么？8 ；1 ；2.5 ； x 2y2 ； a 2b 2 ；42； 3a32【例 2】、化简 :.(1) 35(2)x2 y4x4 y 2(3)8x2 y3(4)81220例 3 、计算：212例 、比较下列数的大小（）2.8与 23与121541(2）7667334拓展延伸观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：11(21)21，21( 21)(21)221111(32)3232 ，32(32)(32

14、 )32同理可得：1=23 ， 32从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（11+1）（2009 1）的值213220092008（五）达标测试：1、选择题（ 1）如果x （y>0）是二次根式，化为最简二次根式是（）yAx （y>0） B xy （y>0） Cxy （y>0） D 都不对yy（ 2）化简二次根式 aaa22 的结果是A、a 2B 、-a 2 C 、 a 2D 、-a 22 、填空：（ 1）化简x4x2 y2 =_（x0（2）已知 x1，则 x1 的值等于 _.52x3 、计算：.（ 1）3713 3 111 4 )15 114(2)(4228742提高

15、1、计算：2ab5 ? (3a 3b )3b （ a>0, b>0）b2a2、若 x、y 为实数，且 y= x244 x21 ，求x y ? x y 的值。x23、观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：1=1(21)2 1 =2-1，21( 21)(21)211=1 ( 32)2)32 =3- 2，32( 32)(332同理可得：1=4 -3 ， 43从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（1+1+1+1）（2002 +1）的值23220021432001二次根式的加减第一课时二次根式的加减复习计算（1） 2x3x ；（2）2x23x25x2；（）x

16、 2x 3y；（4） 3a22a2a23探索新知学生活动：计算下列各式（1）2 2 +32 =（2）28 -38 +58 =（3） 7 +27+397=（4）33 -23 +2 =.所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，?再将同类二次根式进行合并例 1计算（ 1）8+ 18（2） 16x + 64x例 2计算（ 1）3 48-91+3 12（ 2）（ 48+ 20）+（ 12-5 ）3归纳：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并巩固练习(1)12(11 )(2)( 4820) ( 125)327(3)x1x1（ ）221x4y2y4x 9x (x6x)xy3x4课堂检测1 以下二次根式：12；22；2 ；27中，与3 是同类二次根式的是（）3A 和 B 和C和D和2下列各式： 3+3=6；1；24，其中错误的33=2277 =12 +6= 8=223有（）A 3个 B 2个 C 1个 D 0个3在下列各组根式中，是同类